函数的周期性和对称性常用结论

函数的周期性和对称性常用结论
1.若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”.
2.周期性：
（1）若()()f x a f b x +=+，则||T b a =-
（2）若()()f x a f b x +=-+，则2||T b a =-
（3）若1()()
f x a f x +=±，则2T a = （4）若1()()1()
f x f x a f x -+=+，则2T a = （5）若1()()1()f x f x a f x ++=
-，则4T a = 注：（3）、（4）、（5）要求知道并会推导，不要求死记
3.对称性
（1）若()()f a x f b x +=-，则()f x 的对称轴为2
a b x += （2）若()()f a x f b x c +=--+，则()f x 的图象关于点(,)22
a b c +中心对称 （3）函数()y f a x =+与()y f b x =-的图象关于2
a b x +=对称 4.若函数的图象同时具备两种对称性：即两条对称轴、两个对称中心、一条对称轴一个对称中心，则函数必定为周期函数，反之亦然。

（只需要知道这个结论，用的时候会推导即可）
（1）若()f x 的图象有两条对称轴x a =和x b =，则()f x 必定为周期函数，其一个周期为2||b a -；
（2）若()f x 的图象有两个对称中心(,0)a 和(,0)b ()a b ≠，则()f x 必定为周期函数，其一个周期为2||b a -；
（3））若()f x 的图象有一条对称轴x a =和一个对称中心(,0)b ()a b ≠，则()f x 必定为周期函数，其一个周期为4||b a -；。