[高考总复习资料]数学深化复习+命题热点提分专题05函数﹑基本初等函数的图像与性质文

专题05 函数﹑基本初等函数的图像与性质 文
1．函数y ＝log 32x －
的定义域为( )
A ．[1，＋∞)
B ．(1，＋∞)
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞ D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1
【答案】：A
【解析】：由log 3(2x －1)≥0得2x －1≥1，x ≥1.因此函数的定义域是[1，＋∞)，故选A.
2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
log 12x ，x >0，
3x ，x ≤0，
则f (f (4))的值为( )
A ．－1
9
B ．－9 C.19 D ．9
【答案】：C
【解析】：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
log 12x ，x >0，
3x ，x ≤0，
所以f (f (4))＝f (－2)＝1
9
.
3．函数y ＝lg|x |( )
A ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增
B ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减
C ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增
D ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减 【答案】：B
4．函数f (x )＝2|log 2x |－⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪x －1x 的图象为( )
【答案】：D
【解析】：由题设条件，当x ≥1时，f (x )＝2log 2x －⎝
⎛⎭⎪⎫x －1x ＝1x
；
当0<x <1
时，
f (x )＝2－lo
g 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x ＝1x －⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x ＝x .故f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
1x ，x ≥1，x ，0<x <1.其图象如图所
示．故选D.
5．对于函数y ＝f (x )，部分x 与y 的对应关系如下表：
数列{x n }满足：x 1＝1，且对于任意n ∈N *
，点(x n ，x n ＋1)都在函数y ＝f (x )的图象上，则x 1＋x 2＋…＋x 2 017
＝( )
A ．7 554
B ．7 540
C ．7 561
D ．7 564
【答案】：C
6．已知函数y ＝sin ax ＋b (a >0)的图象如图所示，则函数y ＝log a (x ＋b )的图象可能是( )
【答案】：C
【解析】：由题图可知0<a <1,0<b <1.故选C.
7．已知偶函数f (x )满足：当x 1，x 2∈(0，＋∞)时，(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0恒成立．设a ＝f (－4)，
b ＝f (1)，
c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A ．a <b <c
B ．b <a <c
C ．b <c <a
D ．c <b <a
【答案】：C
【解析】：因为f (x )为偶函数，故f (－4)＝f (4)．因为(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0，故函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，故f (－4)＝f (4)>f (3)>f (1)，即a >c >b ，故选C.
8．下列区间中，函数f (x )＝|lg(2－x )|在其上为增函数的是( ) A ．(－∞，1]
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，43
C.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫0，32
D ．[1,2)
【答案】：D
9．已知函数f (x )＝ln(1＋x 2
)，则满足不等式f (2x －1)<f (3)的x 的取值范围是( )
A ．(－∞，2)
B ．(－2,2)
C ．(－1,2)
D ．(2，＋∞)
【答案】：C
【解析】：易知f (－x )＝f (x )，故函数f (x )是偶函数，由复合函数单调性知函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴f (2x －1)<f (3)⇒f (|2x －1|)<f (3)，从而|2x －1|<3，解得－1<x <2，故选C.
10．已知函数f (x )满足：①定义域为R ；②∀x ∈R，都有f (x ＋2)＝f (x )；③当x ∈[－1,1]时，f (x )＝－|x |＋1.则方程f (x )＝1
2
log 2|x |在区间[－3,5]内解的个数是( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8 【答案】：A
【解析】：画出y 1＝f (x )，y 2＝12
log 2|x |的图象如图所示，由图象可得所求解的个数为5.
11.已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的【解析】式可能是( )
A ．x 2
cos x B ．sin x 2
C ．x sin x
D ．x 2
－16x 4
【答案】：B
12．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )
A ．f (－25)<f (11)<f (80)
B ．f (80)<f (11)<f (－25)
C ．f (11)<f (80)<f (－25)
D ．f (－25)<f (80)<f (11) 【答案】：D
【解析】：由f (x －4)＝－f (x )得f (x ＋2－4)＝f (x －2)＝－f (x ＋2)，由f (－x )＝－f (x )得f (－x －2)＝－f (x ＋2)，所以f (－2＋x )＝f (－2－x )，所以直线x ＝－2是函数f (x )图象的一条对称轴．同理得直线
x ＝2是函数f (x )图象的一条对称轴，所以函数f (x )的周期是8，所以f (－25)＝f (－1)＝－f (1)，f (11)
＝f (3)＝f (1)，f (80)＝f (0)．由f (x )是奇函数，且在区间[0,2]上是增函数，得f (0)＝0，f (1)>0，－f (1)<0，则－f (1)<f (0)<f (1)，故选D.
13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
1x
， x >1，－x －2， x ≤1，
则f [f (2)]＝________；函数f (x )的值域是________．
【答案】：－5
2
[－3，＋∞)
【解析】：由题意得f (2)＝12，f [f (2)]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12－2＝－52.因为当x >1时，1x ∈(0,1)；当x ≤1时，－x －2∈[－3，＋∞)，所以函数f (x )的值域为[－3，＋∞)．
14．若函数f (x )＝2x
＋a ·2－x
为奇函数，则实数a ＝________. 【答案】：－1
【解析】：依题意得f (0)＝1＋a ＝0，所以a ＝－1.
15．已知函数f (x )＝2
2x ＋1＋sin x ，则f (－2 017)＋f (－2 016)＋f (0)＋f (2 016)＋f (2 017)＝________.
【答案】：5
16．已知定义在R 上的函数f (x )满足：
①函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称；
②∀x ∈R，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34－x ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫34＋x ；
③当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－3
2，－34时，f (x )＝log 2(－3x ＋1)．
则f (2 017)＝________. 【答案】：－2
【解析】：由①知f (x )为奇函数．又由②可得f (x )是以3为周期的周期函数，所以f (2 017)＝f (1)＝－f (－1)＝－log 2[－3×(－1)＋1]＝－log 24＝－2.
17.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x
－a ，x ≤0，
ln x ，x ＞0
有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________.
【答案】 (0，1]
【解析】 当x ＞0时，由f (x )＝ln x ＝0，得x ＝1. 因为函数f (x )有两个不同的零点，则当x ≤0时， 函数f (x )＝2x －a 有一个零点，令f (x )＝0得a ＝2x
， 因为0＜2x
≤20
＝1，所以0＜a ≤1， 所以实数a 的取值范围是0＜a ≤1.
18.已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对x ∈R 都有f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)成立.当x 1，x 2∈[0，2]，且x 1≠x 2时，都有
f （x 1）－f （x 2）
x 1－x 2
＜0，给出下列命题：
①f (2)＝0；
②直线x ＝－4是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴； ③函数y ＝f (x )在[－4，4]上有四个零点； ④f (2 014)＝0.
其中所有正确命题的序号为________. 【答案】 ①②④
19.定义在[－1，1]上的奇函数f (x )，已知当x ∈[－1，0]时，f (x )＝14x －a
2
x (a ∈R).
(1)写出f (x )在[0，1]上的【解析】式； (2)求f (x )在[0，1]上的最大值.
【解析】 (1)∵f (x )是定义在[－1，1]上的奇函数， ∴f (0)＝0，∴a ＝1，
∴当x ∈[－1，0]时，f (x )＝14x －1
2x .
设x ∈[0，1]，则－x ∈[－1，0]， ∴f (－x )＝
14－x －12
－x ＝4x －2x
， ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝2x
－4x
. ∴f (x )在[0，1]上的解析式为f (x )＝2x
－4x
. (2)f (x )＝2x
－4x
，x ∈[0，1]，
令t ＝2x
，t ∈[1，2]，g (t )＝t －t 2
＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122
＋1
4
，
∴g (t )在[1，2]上是减函数，
∴g (t )max ＝g (1)＝0，即x ＝0，f (x )max ＝0.
20.已知函数f (x )＝ax 2
－2ax ＋2＋b (a ≠0)在区间[2，3]上有最大值5，最小值2. (1)求a ，b 的值；
(2)若b ＜1，g (x )＝f (x )－2m
x 在[2，4]上单调，求m 的取值范围.
21.已知函数f (x )＝－x 2
＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e
2
x
(x ＞0).
(1)若g (x )＝m 有实根，求m 的取值范围；
(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根. 【解析】 (1)∵x ＞0，∴g (x )＝x ＋e 2
x
≥2e 2
＝2e ，
等号成立的条件是x ＝e.
故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，因而只需m ≥2e，
则g (x )＝m 就有实根.故m ∈[2e ，＋∞).
(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )＝f (x )中函数g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点， 作出g (x )＝x ＋e
2
x
(x ＞0)的大致图象.
∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2
. 其对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2
. 故当m －1＋e 2
＞2e ，即m ＞－e 2
＋2e ＋1时，
g (x )与f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根.
∴m 的取值范围是(－e 2
＋2e ＋1，＋∞). 22．已知函数f (x )＝x 2＋a x
(x ≠0，a ∈R)． (1)判断函数f (x )的奇偶性；
(2)若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．
23．f (x )的定义域为R ，对任意x ，y ∈R ，有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且当x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－2.
(1)证明：f (x )是奇函数； (2)证明：f (x )在R 上是减函数；
(3)求f (x )在区间[－3，3]上的最大值和最小值．
【解析】：(1)函数f (x )的定义域R 关于原点对称，又由f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )， 得f [x ＋(－x )]＝f (x )＋f (－x )， ∴f (x )＋f (－x )＝f (0)．
又f (0＋0)＝f (0)＋f (0)，
∴f (0)＝0.从而有f (x )＋f (－x )＝0， ∴f (－x )＝－f (x )．由于x ∈R ， ∴f (x )是奇函数．
(2)任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则
f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)－f [x 1＋(x 2－x 1)]＝f (x 1)－[f (x 1)＋f (x 2－x 1)]＝－f (x 2－x 1)．
∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0. ∴f (x 2－x 1)＜0.
∴－f (x 2－x 1)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，从而f (x )在R 上是减函数．
(3)由于f (x )在R 上是减函数，故f (x )在[－3，3]上的最大值是f (－3)，最小值是f (3)，由f (1)＝－2，得
f (3)＝f (1＋2)＝f (1)＋f (2)＝f (1)＋f (1＋1)＝f (1)＋f (1)＋f (1)＝－6， f (－3)＝－f (3)＝6.从而f (x )在区间[－3，3]上的最大值是6，最小值是－6.
24．已知函数f (x )＝e x －e －x
(x ∈R ，且e 为自然对数的底数)． (1)判断函数f (x )的奇偶性与单调性．
(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2
－t 2
)≥0对一切x 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．
(2)由(1)知f (x )是增函数和奇函数， 由f (x －t )＋f (x 2
－t 2
)≥0对x ∈R 恒成立， 则f (x －t )≥f (t 2
－x 2
)．
∴t 2
－x 2
≤x －t ⇔x 2
＋x ≥t 2
＋t 对x ∈R 恒成立⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋122
min 对一切x ∈R 恒成立⇔⎝ ⎛⎭
⎪⎫
t ＋122
≤
0⇔t ＝－1
2
.
即存在实数t ＝－12
，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2
)≥0对一切x 都成立．。