高三数学整理解排列组合应用问题的十种思考方法 试题

“解排列、组合应用问题〞的思维方法
一、优先考虑：对有特殊元素〔即被限制的元素〕或者特殊位置〔被限制的位置〕的排列，
通常是先排特殊元素或者特殊位置，再考虑其它的元素或者其它的位置。

例1．〔1〕由0、1、2、3、4、可以组成个无重复数字的三位数。

〔2〕由1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数一共有个。

〔3〕 5个人排成一排，其中甲不排在两端也不和乙相邻排列的排列一共有种。

二、“捆〞在一起：有要求元素相邻〔即连排〕的排列问题，可以先将相邻的元素看作一
个“整体〞与其它元素排列，然后“整体〞内部再进展排列。

例2．〔1〕有3位教师、4名学生排成一排照相，其中教师必须在一起的排法一共有种。

〔2〕有2位教师和6名学生排成一排，使两位教师之间有三名学生，这样的排法一共有种。

三、插空档：有要求元素不相邻〔即间隔排〕的排列问题，可以制造空档插空。

例3．〔1〕五种不同的收音机和四种不同的电视机陈列一排，任两台电视机不靠在一起，有种陈列方法。

〔2〕6名男生6名女生排成一排，要求男女相间的排法有种。

四、减去特殊情况〔即逆向考虑〕：先算暂时不考虑限制条件的排列或者组合种数，然后
再从中减去所有不符合条件的排列或者组合数。

例4．〔1〕以正方体的顶点为顶点的四面体一共有 个。

〔2〕 由0、1、2、3、4、可以组成 个无重复数字的三位数。

〔3〕集合A 有8个元素，集合B 有7个元素，B A 有4个元素，集合C 有3个元素且满足以下条件：Φ≠Φ≠⊂B C A C B A C ,,的集合C 有几个。

〔4〕从6名短跑运发动中选4人参加4⨯100米的接力赛，假如其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，一共有多少种参赛方案？
五、先组后排：排列、组合综合题，通常都是先考虑组合后考虑排列。

例5〔1〕用1、2、3、⋯9这九个数字，能组成由3个奇数数字、2个偶数数字的不重复的五位数有 个。

〔2〕有8本不同的书，从中取出6本，奖给5位数学优胜者，规定第一名〔仅一人〕得2本，其它每人一本，那么一共有 种不同的奖法。

〔3〕有五项工作，四个人来完成且每人至少做一项，一共有 种分配方法。

六、除以排列数：对某些元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制排列后，再除去
规定顺序元素个数的全排列。

例6〔1〕有4名学生和3位教师排成一排照相，规定两端不排老师且教师顺序固定不变，
那么不同的排法有 种。

〔2〕由0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字，十位
数字小于百位数字，那么这样的数一共有 个。

〔3〕书架上放有5本书〔1~5册〕，如今要再插入3本书，保持原有的相对顺序不变，有 种放法。

七、对象互调：有些排列或者组合题直接就题论题很难入手，但换个角度去考虑便顺利求
得结果又易理解。

例7．〔1〕一部电影在四个单位轮放，每单位放映一场，可以有种放映次序。

〔2〕一排有8个座位，3人去坐，要求每人左右两边都有空位的坐法有种。

〔3〕有6个座位3人去坐，要求恰好有两个空位相连的不同坐法有种。

八、分情况研究：分情况研究〔即分类计算〕复杂的排列、组合综合题，常常通过画简图、
按元素的性质“分类〞；按事件发生的连续过程“分步〞等方法。

分情况研究求得结果，尤其对含数字“0〞的排列，常分“有0〞及“无0〞两种情况研究，在“有0〞时，排列的“首位〞又是“特殊〞位置要优先考虑。

例8．〔1〕从编号为了1、2、3 ⋯ 9的九个球中任取4个球，使它们的编号之和为奇数，再把这四个球排成一排，一共有多少种不同的排法？
〔2〕用0、1、2、3⋯9这十个数字组成五位数，其中含有三个奇数字与两个偶数字的五位数有多少个？
〔3〕用0、1、2、3、4五个数字组成的无重复的五位数中，假设按从小到大的顺序排列23140是第几个数？
排列与组合(考虑方法1～8训练)
一．优先考虑
1．现有6名同学站成一排：
〔1〕甲不站排头也不站排尾有多少种不同的排法？
〔2〕甲不站排头，且乙不站排尾有多少种不同的排法？
,2,1,0，5组成无重复数字的5位数，一共可以组成多少个？
2．用4,3
二．插空
3．有6名同学站成一排：甲、乙、丙不相邻有多少种不同的排法？
4．有4男4女排成一排，要求〔1〕女的互不相邻有种排法；〔2〕男女相间有种排法。

三．捆在一起
5．由1、2、3、4、5组成一个无重复数字的5位数，其中2、3必须排在一起，4、5不能排在一起，
那么不同的5位数一共有_________个。

6．有2位教师和6名学生排成一排，使两位教师之间有三名学生，这样的排法一共有种。

四．逆向考虑
7．某小组有6名同学，现从中选出3人去参观展览，至少有1名女生入选时的不同选法有16种，那么小组中的女生数为________。

8．6名同学站成一排乙不站排尾有多少种不同的排法？
五．先组后排
9．有4名学生参加3相不同的小组活动，每组至少一人，有种参加方式。

10．从两个集合{}4,3,2,1和{}7,6,5中各取两个元素组成一个四位数，可组成个数。

六．除以排列数
11．书架上放有6本书，如今要再插入3本书，保持原有的相对顺序不变，有种放法。

12．9人〔个子长短不同〕排队照相，要求中间的最高，两旁依次从高到矮一共有种排
法。

七．对象互调：
13．某人射击8枪命中4枪，这4枪中恰有3枪连在一起的不同种数是。

14．三个人坐在一排7个座位上，
〔1〕假设3个人中间没有空位，有种坐法。

〔2〕假设4个空位中恰有3个空位连在一起，有种坐法。

八．分情况〔即分类〕
,2,1,0组成无重复数字的5位数，假设按从小到大的顺序排列，那么数12340 15．用4,3
是第_____个数。

16．某车间有8名会车工或者钳工的工人，其中6人会车工，5人会钳工，现从这些工人中选出
2人分别干车工和钳工，问不同的选法有多少种？
九．和、整除、倍数、约数问题。

例9．和：〔1〕用0、1、2、3、4、5、6这七个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？这些三位数的和是多少？
整除：〔2〕用0、1、2、3、4、5组成无重复数字的五位数，其中
Ⅰ、能被5整除的数有多少个？
Ⅱ、能被3整除的数有多少个？
Ⅲ、能被6整除的数有多少个？
倍数：〔3〕在1、2、3 100这100个自然数中，每次取不等的两数相乘，使它们的积
是7的倍数，这样的取法一共有多少种？〔取7,11与取11,7认为是同一种取法〕
〔4〕在1、2、3 30这三十个数中，每取两两不等的三个数，使它们的和是3的倍数，一共有多少种不同的取法？
约数：〔5〕数2160一共有多少个正约数〔包括1和本身在内〕？其中一共有多少个正的偶约数？
十、分配、分组问题：解题时要注意“均匀〞与“非均匀〞的区别、分配与分组〔分堆〕
的区别。

例10．〔1〕将12本不同的书
Ⅰ、分给甲、乙、丙三人，每人各得4本有种分法。

Ⅱ、平均分成三堆，有种分法。

〔2〕7本不同的书
Ⅰ、全局部给6个人，每人至少一本，一共有种不同的分法。

Ⅱ、全局部给5个人，每人至少一本，一共有种不同的分法。

〔3〕六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，假设按以下分配方法，问各有多少种分法？
a、甲一本、乙二本、丙三本；有种分法。

b、一人一本、一人二本、一人三本；有种分法。

c、甲一本、乙一本、丙四本；有种分法。

d、一人一本、一人一本、一人四本；有种分法。

排列与组合(考虑方法全训练)
一～八：
1．5名男生和2名女生站成一列，男生甲必须站在正中间，2名女生必须站在甲前面，不同
的站法一共有 种(用数字答题)。

2．8人排成一排, 其中甲、乙、丙三人中有2人相邻,但这3人不同时相邻的排法有______种.
3．现有6张同排连座号的电影票, 分给3名教师与3名学生, 要求师生相间而坐, 那么不同的分法
数为________.
4．在200件产品中有3件是次品，如今从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有 种。

5．现从某校5名学生HY 中选出4人分别参加“资源〞、“生态〞、和“环保〞三个夏令营，要求每个夏令营活动至少有选出的一人参加，且每人只参加一个夏令营活动，那么不同的参加方案的种数是___________.(写出详细数字)
6．将A 、B 、C 、D 、E 、排成一排，其中按A 、B 、C 顺序〔即A 在B 前，C 在B 后〕
的排列总数为 。

7．假如从一排10盏灯中关掉3盏灯，那么关掉的是互不相邻的3盏灯的方法有 。

8．〔1〕如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻
地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，那么不同的着
色方法一共有 种。

〔以数字答题〕
〔2〕同室4人各写了一张贺年卡先集中起来，然后每人从中取回一张别人送出的贺卡，这4张贺年卡不同的分配方式有__________种。

九．和、整除、倍数、约数问题
17．(1) 由2、3、4、5
组成无重复数字的四位数，求：①这些数的数字之和；②这些数的
和。

〔2〕由0、2、5、7、9这5个数字可组成多少个无重复数字且能被3整除的四位数？
18．〔1〕在1、2、3、4 、…、50这50个自然数中，每次取出2个〔无论先后〕，使他
们的积是13的倍数，这样的取法有多少种？
〔2〕① 420一共有多少个正约数？② 14175一共有多少个正约数？
十．分配、分组问题：
19．六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，假设按以下分配方法，问各有多少种分法？ ① 甲一本、乙二本、丙三本；有 种分法。

② 一人一本、一人二本、一人三本；有 种分法。

③ 甲一本、乙一本、丙四本；有 种分法。

④ 一人一本、一人一本、一人四本；有 种分法。

20．一般地，现有n 6本不同的书，
①分给甲、乙、丙三人，甲得n 本、乙得n 2本、丙得n 3本，那么有 种分法。

②分给三人，一人得n 本、一人得n 2本、另一人得n 3本，那么有 种分法。

③分给三人，甲、乙各得n 本、丙得n 4本，那么有 种分法。

④分给三人，其中二人各得n 本，另一人得n 4本，那么有 种分法。

⑤分成三堆，一堆n 本、一堆n 2本、一堆n 3本，那么有 种分法。

⑥分成三堆，有二堆各n 本，还有一堆n 4本，那么有 种分法。

排 列 与 组 合 (考虑方法1～8训练) 参考答案
一．优先考虑：
1．〔1〕法一：〔先考虑特殊元素甲〕4805514
=P P 种；法二：〔先考虑特殊位置头尾〕480425=P P 种； 〔2〕法一：55P (甲在尾)+ 441414
P P P (甲不在尾)=120+384=504； (或者法二：5042445566=+-P P P 种)； 2．先考虑首位再其它： 6004515
=P C 。

二．插空： 3．14434
3=P P ；4．〔1〕2880454=P P ；〔2〕1152244=P P 。

三．捆在一起： 5． 242322=P P P ； 6．57604236=P P P 。

四．逆向考虑： 7．令小组中的女生数为x ，那么：2163636=⇒=--x C C x ； 8．60056=-P P 。

五．先组后排： 9．36324
=P C ；10．43242324P C C 。

六．除以排列数： 11．504/69=P P 〔即50439=P 〕；12．70)/(448=P P P 。

七．对象互调： 13．2025=P ；14． 〔1〕30315
=P C ；〔2〕72243=P P 。

八．分情况〔即分类〕： 15．9123=++P P ； 16．2715131213
23=++C C C C P 。

排 列 与 组 合 (考虑方法全训练) 参考答案
一 ～ 八：
1．3314P P C 〕
即：先前，再后〕；2．21600262355=P P P ；3．72；4．=--41971351975200C C C C ；5．18032445=P C C 〔即：先组，再捆，后排〕；6．120；7．56；8．〔1〕72234
4=+P P ；〔2〕9． 九．和、整除、倍数、约数问题
17．〔1〕①由2、3、4、5组成无重复数字的四位数有4P 个，而每一个数的各位数字之和都是177532=+++，所以所有四位数的数字之和是408)7532(4=+++P 。

②如2在个，十，百，千位上的情况各有3P 次，同理3，5，7的情况与2一样，所以这些数的和为：113322)1000100101()7532(3=+++⋅+++P 。

〔2〕不含2的有：18313
=P P ；不含5的情况也为：18313=P P ，故一共有36无重复数字且能被3整除的四位数。

18．〔1〕∵由85.313
150131≤≤⇒≤≤k k ，∴这50个自然数中有3个是13 的倍数，∴有1441471323=+C C C 种取法。

〔2〕① ∵75324202⋅⋅⋅=，∴正约数有：242223=⨯⨯⨯ 个。

② ∵7531417524⋅⋅=，∴正约数有：24234=⨯⨯ 个。

十．分配、分组问题：
19．分析：① 先甲16C ，再乙25C ，后丙33C ，那么有602516332516
==C C C C C 〔种〕。

② 将①中甲、乙、丙的顺序变化，那么有36032516
=P C C 〔种〕。

③ 先甲16C ，再乙15C ，后丙44C ，那么有301516441516
==C C C C C 〔种〕。

④ 在③中将甲、乙、丙看成三堆：21516
/P C C ，再将此三堆全排列：90)/(321516 P P C C 〔种〕。

20．①n n n n C C 256；②3256P C C n n n n ；③n n n n C C 56〔或者写成n n n n C C 246〕；④3256)/(P P C C n n n n ；⑤n n n n C C 256；⑥2256/P C C n n n n。