第9讲 极值点偏移(含答案)

2020
本讲义由作业帮周永亮老师（白哥）独家编撰，侵权必究
知识精讲
1．对极值点偏移问题的认知
直线与函数交于，两点，在区间的极值
点为，极值点偏移问题的本质实则是探讨与的大小关系．
极值点偏移第9讲
２．极值点左偏与右偏
若函数在时取得极值，则称为函数的极值点．
（１）极值点不偏移：
比如二次函数的极值点为，作直线与函数交于，两点，则的重点为．所以，对于
二次函数，它的极值点左右两侧图像对称．如图（1）所示，此时我们认为极值点居中，没
有发生偏移.
（2）通常情况下，函数并不是对称函数，所有一定会发生极值点偏移的情况，
①当是，此时就是极值点左偏，如图①；
②当是，此时就是极值点右偏，如图②；
3．对数均值不等式
对数均值不等式：当 ,且时， ,
对数均值不等式是解决极值点偏移问题的有力工具，除去解决极值点偏移问题，对数均值
不等式还可以解决部分的双参问题．
2020
知识札记
1
（1） （★★★★☆）
函数有两个零点，，且
，下列说法错误的是（ ）
A.
B.
C. 有极小值点，且
D.答案: C
由题意可得
且，故
由对数平均不等式链可得
故，，
故选：
解答:（2） （★★★★☆）
已知为常数，函数有两个极值点
，（），则（ ）
A. B.
C.
和的大小关系不确定
D.答案: A
由题意可得
（），
故
，
又，
故则，即
故选：
解答:考点1 概念辨析，对数均值不等式的灵活应用经典例题
9
3（★★★★☆）（2013·湖南【文】）
已知函数．
（）求的单调区间；
（）证明：当（）时，．
（）易知函数的定义域为
解答:
当时，
当时，
函数的单调递增区间为，单调递减区间为
（）当时，由于，，得到
同理，当时，
当（）时，不妨设
由（）可知：，
2（★★★★☆）
已知函数（）．如果，且，证明：．解答:
令，解得；令，解得
在上递增，在上递减
，，不妨设
且时，，时，
构造函数，
则
在上递增，
即在上恒成立
由，得
即
，，在递减
，即
考点2 不含参问题，构造函数解决极值点偏移问题（对数均值不等式备用）
4（★★★★☆）（2011·辽宁【理】）
已知函数．
（）讨论的单调性；
（）设，证明：当时，；
（）若函数的图象与轴交于，两点，线段中点的横坐标为，证明：．
（）函数的定义域为
解答:
①若，则由，得，且当时，
当时，
所以在上单调递增，在上单调递减
②当时，恒成立，因此在上单调递增
（）设函数，则
当时，，而
所以
考点3 含参问题，参数不影响，构造函数解决（对数均值不等式备用）
下面证明：，
即证
此不等式等价于
令，则
当时，，单调递减
即
，恒成立
而
从而，
由于，，在上单调递增
即
5（★★★★☆）
已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若函数有两个零点，（），证明：．（1）（）
解答:
（）
当时，恒成立，在上单调递增
当时，令，解得：，令，解得：
在上单调递减，在上单调递增
综上所述，当时，在上单调递增
当时，在上单调递减，在上单调递增
（2）由（1）可知，当时，不满足函数有两个零点
当时，在上单调递减，在上单调递增
，
设（）
（）
在上单调递减
故当时，
（）由（）可得，当时，函数的图象与轴至多有一个交点故，从而的最大值为
不妨设，，
则
由（）得，
又在单调递减
，于是
由（）知，
7（★★★★☆）（2016·山西晋中市一模【理】）
已知直线：与函数的图象相切，且．
（1）求实数，的值；
（2）若在曲线上存在两个不同的点，关于轴的对称点均在直线上，证明：．
考点5 含参问题，消参重新构造函数，解决极值点偏移问题（对数均值不等式备用）6（★★★★★）（2017·辽宁大连市期末【文】）
已知函数（）有两个不同的零点，．
1．求实数的取值范围．
2．求证：．
1．由题意可得
解答:
令
即，构造函数
易得在上为减函数，上为增函数
所以在处取得极小值，故
2．构造函数，整理得
当时，
故当时，为减函数，且
所以，即当时，
设，则，
因为在上为减函数
所以，即
考点4 极值点偏移问题中的乘法构造（对数均值不等式备用）
而，，在上单调递增
，即
原不等式成立
8（★★★★☆）
已知函数（），若函数有两个不同的零点，，求证：．
，为函数的两个不同的零点
解答:
，
所以，
（1）
解答:
设直线：与函数的图象的切点为
则①
②
所以③
由①②③解得，
（2）由（1）得
，两点关于轴的对称点分别为，
，均在直线上
，
因为，
所以，
构造函数，，则
又因为，,
所以，在单调递减，在单调递增
若证明，,即证明：
因为，当时，
设，所以，
即证明：
又因为，,即证明：
即证明：
构造函数
所以，
因为，，所以
所以，在单调递减，所以，
所以，原不等式得证.
9（★★★★☆）
已知函数，当时，设函数的个极值点为，，，且，求证：．
由题意得，
解答:
设（），则
极小值
因为函数有个极值点满足
所以，则
当时，，
所以的递增区间有和，递减区间有，，
此时函数有个极值点，且
所以当时，，是函数的两个零点
即，可得
考点6 多零点问题的极值点偏移问题
构造函数，所以
所以，，
所以，在单调递增，单调递减
又因为，，当时，恒成立，
设，若证，，即证明：
又因为，，即证明：
又因为，，即证明
构造函数（）
所以，
又因为，所以，所以在单调递增，
所以，
所以，原不等式得证.
10（★★★★★）（2019·江苏盐城市三模）
设函数（为自然对数的底数，）．
（1）当时，求函数的图象在处的切线方程；
（2）若函数在区间上具有单调性，求的取值范围；
（3）若函数有且仅有个不同的零点，，，且，，求证：．
（1）当时，，，，
解答:
故的图象在处的切线方程为，即
（2）
①若函数在区间上单调递增，则恒成立，得恒成
立
②若函数在区间上单调递减，则恒成立，得恒成
立
令，，有零点且
所以在上单调递减，在上单调递增
要证
又因为
所以要证
设，，且
又
所以在上单调递增
，故在上单调递减
所以
从而得证
综上所述，当时，
的取值范围是
（3）由，可得，
由，解得
函数有且仅有个不等于的零点
由，可得：
令，
令，则
令，则
则函数在上单调递增，在上单调递减
故有且仅有个零点，且个根大于，一个根小于
函数有且仅有个不同的零点，，，且，
，与为的两个不等的实根
令，
两式相减可得：
两式相加可得：
设
令，，
令，
令，可知：在上恒成立
在上单调递增
，在上恒成立
在上单调递增
1（★★★★☆）
已知函数（），其图象与轴交于不同的两点，，且．
（1）求实数的取值范围；
（2）证明：．
（1）由，得
解答:
令（），则
由，解得
所以在区间上单调递增
由，解得
所以在区间上单调递减
于是在处取得极小值，且
又函数的图象与轴交于不同的两点
当无限趋近于时，无限趋近于，
所以
（2）由（1）知
在（1）的条件下，令，
则
令，则
易知在上单调递减
所以，于是
所以在上单调递增
则，即
所以
又在区间上单调递增
所以，即
课后练习
2（★★★★★）（2018·江苏南京市模拟）
已知函数，，设．
（1）若在处取得极值，且，求函数的单调区间．
（2）若时，函数有两个不同的零点，．
①求的取值范围；②求证：．
（1）因为（）
解答:
所以
由可得
又因为在处取得极值
所以
所以，经检验，满足题意
所以
所以，其定义域为
令得，
当时，
当时，
所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减
（2）当时，，其定义域为
①
当时，，在上单调递增，不合题意
当时，令，解得；令，解得
在上单调递增，在上单调递减
因为有个不同零点
所以，即
此时，，且
又在和上都连续
所以在和上各有一个零点
②由题意得，
所以，
构造函数，所以
所以，，
3（★★★★★）（2019·广东深圳市模拟【理】）
已知函数，其定义域为．（其中常数是自然对数的底数）
（1）求函数的递增区间；
（2）若函数为定义域上的增函数，且，证明：．（1）已知
解答:
①若，由解得
函数的递增区间为
②若，则
极大值极小值
函数的增区间为和
③若，则
函数的递增区间为
④若，则
极大值极小值
函数的递增区间为和
所以，在单调递增，单调递减
又因为，，当时，恒成立，
设，若证，，即证明：
又因为，，即证明：
又因为，，即证明
构造函数（）
所以，
又因为，所以，所以在单调递增，
所以，
所以，原不等式得证.
综上，若，的递增区间为
若，的递增区间为，若，的递增区间为
若，的递增区间为，（2）函数为上的增函数
，即
注意到
故
不妨设
欲证，只需证
只需证
即证
即证
令，（）只需证明
下证，即证
因为
当时，即
易知当时，
，即单调递增
即
从而得证。