怀化市2019-2020学年高二第二学期期末数学复习检测试题

提高练习
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线方程为22
221(0)x y a b a b
-=>>，它的一条渐近线与圆()2222x y -+=相切，则双曲线的
离心率为（ ） A ．2
B ．2
C ．3
D ．22
2．设随机变量X ～B （n ，p ），且E （X ）＝1.6，D （X ）＝1.28，则 A ．n ＝8，p ＝0.2
B ．n ＝4，p ＝0.4
C ．n ＝5，p ＝0.32
D ．n ＝7，p ＝0.45
3．10
(e 2)x x dx -=⎰( ) A ．e
B ．e 1-
C ．e 2-
D ．2e -
4．函数()sin ln sin x x f x x x -⎛⎫
⎪+⎝⎭
＝的图象大致是 ( )
A ．
B ．
C ．
D ．
5．已知抛物线2:2(0)C y px p =>和直线:60l x y --=，过点(2,0)且与直线l 垂直的直线交抛物线C 于,P Q 两点，若点,P Q 关于直线l 对称，则p =( ) A ．1
B ．2
C ．4
D ．6
6．已知x ，y 的取值如下表示：若y 与x 线性相关，且0.95y x a =+，则a =（ ） x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7
A ．2.2
B ．2.6
C ．2.8
D ．2.9
7．由半椭圆22221(0)x y x a b +=≥与半椭圆22
221(0)y x x b c +=≤合成的曲线称作“果圆”，如图所示，其中
2
2
2
a b c =+，0a b c >>>．由右椭圆22221(0)x y x a b
+=≥的焦点0F 和左椭圆22
221(0)y x x b c +=≤的焦点
1F ，2F 确定012F F F △叫做“果圆”的焦点三角形，若“果圆”的焦点为直角三角形．则右椭圆
22
221(0)x y x a b
+=≥的离心率为（ ）
A ．
2
3
B ．
3 C ．
2 D ．
13
8．.盒子里有25个外形相同的球，其中10个白的，5个黄的，10个黑的，从盒子中任意取出一球，已知它不是白球，则它是黑球的概率为 A ． B ． C ． D ．
9．以下四个命题中是真命题的是 ( )
A ．对分类变量x 与y 的随机变量2k 观测值k 来说，k 越小，判断“x 与y 有关系”的把握程度越大
B ．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0
C ．若数据123,,,...n x x x x 的方差为1，则1232,2,2,...2n x x x x 的方差为2
D ．在回归分析中，可用相关指数2R 的值判断模型的拟合效果，2R 越大，模型的拟合效果越好
10．已知函数()()
2
lg 1932f x x x =++，则()1ln2ln
2f f ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
( ) A ．-2 B ．0 C ．2
D ．4
11．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b
+=>>与双曲线22
222:1(0,0)x y C m n m n -=>>有相同的焦点12F F ，，
点P 是两曲线的一个公共点，且1260F PF ︒
∠=，若椭圆离心率12
e =
则双曲线2C 的离心率2e =（ ） A 7B ．
62
C ．3
D ．4
12．已知函数ln ()x
f x x
=，关于x 的方程1()()f x m f x -=有三个不等的实根，则m 的取值范围是（ ） A ．1
(,)e e -∞- B ．1(,)e e
-∞- C ．1
(,)e e
-+∞
D ．1(,)e e
-+∞
二、填空题：本题共4小题
13．在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则
BD =________.
14．在极坐标系中，已知(2,0)A 到直线l ：sin()4
m π
ρθ-=，(0)m >的距离为2，则实数m 的值为
__________． 15．若双曲线
的渐近线与圆
相切，则
_________.
16．若实数,x y 满足不等式组,2,36,y x x y y x ≤⎧⎪
+≥⎨⎪≥-⎩
则2x y +的最小值是_____，最大值是______．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数3()32f x x ax =-+，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为30x y m ++=. （Ⅰ）求实数a ，m 的值； （Ⅱ）求()f x 在区间[1,2]上的最值. 18．
的内角
的对边分别为
，已知
.
(1)求； (2)若
，且
，是
上的点，
平分
，求
的面积.
19．（6分）如图，12,l
l 是通过某城市开发区中心O 的两条南北和东西走向的街道，连结M ，N 两地之间的铁路线是圆心在2l 上的一段圆弧，若点M 在点O 正北方向3公里；点N 到的12,l l 距离分别为4公里和5公里.
（1）建立适当的坐标系，求铁路线所在圆弧的方程；
（2）若该城市的某中学拟在点O 的正东方向选址建分校，考虑环境问题，要求校址到点O 的距离大于426O 的最短距离（注：校址视为一个点）
20．（6分）已知定义在区间(0,2)上的函数()ln m
f x x x
=
+，m R ∈.
（Ⅰ）证明：当1m =时，()1f x ≥；
（Ⅱ）若曲线()y f x =过点(1,0)A 的切线有两条，求实数m 的取值范围.
21．（6分）已知函数()f x =
A ，关于x 的不等式()2
330x a x a -++<的解集为B ．
（1）求集合B ；
（2）已知:x A α∈，:x B β∈，若α是β的必要不充分条件，试求实数a 的取值范围．
22．（8分）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且11a =，1237a a a ++=，数列{}n n b a -的前n 项和
为2n S n =.
（Ⅰ）求n a ；
（Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和n T ．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A 【解析】
方法一：双曲线的渐近线方程为bx y a
=±
，则0bx ay ±=，圆的方程()2
222x y -+=，圆心为
()
2,0,r ==a b =，则离心率e =
方法二：因为焦点()2,0F c -到渐近线的0bx ay ±=距离为b ，则有平行线的对应成比例可得知2b c
=，
即,c =则离心率为e =选A.
2．A 【解析】
列方程组()1.6
1 1.28
np np p =⎧⎨-=⎩，解得8,0.2n p ==.
3．C
【解析】 【分析】
根据定积分的运算公式，可以求接求解. 【详解】
解:1
21
00(e 2)(e )|e 2x x x dx x -=-=-⎰，故选C.
【点睛】
本题考查了定积分的计算，熟练掌握常见被积函数的原函数是解题的关键. 4．A 【解析】 因为sin sin ()ln()ln()()sin sin x x x x
f x f x x x x x
-+--===--+ ，所以舍去B,D;
当(0,
)2
x π
∈时，sin sin 0sin sin 01,ln()0sin sin x x x x
x x x x x x x x
--<-<+∴<
<∴<++
所以舍C ，选A.
点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题． 5．B 【解析】 【分析】
由于直线l 与直线PQ 垂直，且直线l 的斜率为1，所以直线PQ 的斜率为1-，而直线PQ 过点(2,0)，所以可求出直线PQ 的方程，将直线PQ 的方程与抛物线方程联立成方程组，求出PQ 的中点坐标，然后将其坐标代入:60l x y --=中可求出p 的值. 【详解】
解：由题意可得直线PQ 的方程为2y x =-+，设1122(,),(,)P x y Q x y ，
由222y x y px
=-+⎧⎨=⎩，得2
(42)40x p x -++=， 所以12121242,()42x x p y y x x p +=++=-++=-， 所以PQ 的中点坐标为(2,)p p +-， 因为点,P Q 关于直线l 对称，
所以260p p ++-=，解得2p = 故选：B 【点睛】
此题考查直线与抛物线的位置关系，点关于直线的对称问题，属于基础题. 6．B 【解析】 【分析】
求出,x y ，代入回归方程可求得a ． 【详解】 由题意013424x +++=
=， 2.2 4.3 4.8 6.7
4.54
y +++==，
所以4.50.952a =⨯+， 2.6a =． 故选：B. 【点睛】
本题考查回归直线方程，掌握回归直线方程的性质是解题关键．回归直线一定过中心点(,)x y ． 7．B 【解析】 【分析】
根据“果圆”关于x 轴对称，可得012F F F △是以1F 2F 为底的等腰三角形，由012F F F △是直角三角形，得出
10290F F F ∠=︒，01
F O FO =.再建立关于a ，b ，c 之间的关系式，求出结果. 【详解】
解：连接01F F ，02F F ，根据“果圆”关于x 轴对称， 可得012F F F △是以1F 2F 为底的等腰三角形，
012F F F △是直角三角形， ∴10290F F F ∠=︒，01
F O FO =. 又
0F O 和1
FO 分别是椭圆22221(0)x y x a b
+=≥和 22
221(0)y x x b c +=≤的半焦距，
∴c =222c b c =-.
222b a c =-，∴2222c a c =-.
即223c a =，∴3
3
c e a ==
. 故选：B. 【点睛】
本题考查椭圆的标准方程与简单几何性质，属于中档题. 8．D 【解析】
解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是从盒子中取出一个不是白球的小球，共有5+10=15种结果， 满足条件的事件是取出的球是一个黑球，共有10种结果， ∴根据等可能事件的概率得到P=故选D ．
9．D 【解析】 【分析】
依据线性相关及相关指数的有关知识可以推断，即可得到答案. 【详解】
依据线性相关及相关指数的有关知识可以推断，选项D 是正确的． 【点睛】
本题主要考查了线性相指数的知识及其应用，其中解答中熟记相关指数的概念和相关指数与相关性之间的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 10．D 【解析】
令()())
22lg 193g x f x x x =-=+，
则()()))
22lg 193lg
1930g x g x x x x x +-=+++=，
据此可得：
()()()()()1ln 2ln 2ln 22ln 22ln 2ln 244.
f f
g g g g ⎛⎫
+ ⎪
⎝⎭
⎡⎤⎡⎤=++-+⎣⎦⎣⎦⎡⎤=+-+⎣⎦= 本题选择D 选项. 11．B
【解析】 【分析】
设1||PF s =，2||PF t =，由椭圆和双曲线的定义，解方程可得s ，t ，再由余弦定理，可得a ，m 与c 的关系，结合离心率公式，可得1e ，2e 的关系，计算可得所求值． 【详解】
设1||PF s =，2||PF t =，P 为第一象限的交点， 由椭圆和双曲线的定义可得2s t a +=，2s t m -=， 解得s a m =+，t a m =-， 在三角形12F PF 中，1260F PF ∠=︒，
可得22222222242cos6022()c s t st a m am a m am a m =+-︒=++++---， 即有22234a m c +=，
可得22
2234a m c c
+=，
即为
2212
134e e +=，
由1e =
2e =，
故选B ． 【点睛】
本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，主要是离心率，考查解三角形的余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 12．B 【解析】 【分析】
利用导数讨论函数()f x 的性质后可得方程()t f x =至多有两个解．因为()()1
f x m f x -
=有三个不同的解，故方程1t m t
-=有两个不同的解1t t =，2t
t =且110,t e ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，()21,0t e
⎧⎫∈-∞⋃⎨⎬⎩⎭
，最后利用函数
()21g t t mt =--的图像特征可得实数m 的取值范围．
【详解】
()2
1ln 'x
f x x
-=
，
当0x e <<时，()'0f x >，()f x 在()0,e 上为增函数； 当x e >时，()'0f x <，()f x 在(),e +∞上为减函数； 所以()f x 的图像如图所示：
又1x >时，()0f x >，又()f x 的值域为1,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦， 所以当0t ≤或1
t e
=时，方程()t f x =有一个解， 当1
0t e
<<
时，方程()t f x =有两个不同的解， 所以方程1t m t -=即210t mt --=有两个不同的解()12110,,,0t t e e ⎛⎫⎧⎫∈∈-∞⋃⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭
， 令()2
1g t t mt =--，故()00
10
g g e ⎧<⎪⎨⎛⎫
> ⎪⎪⎝⎭
⎩ ，解得1m e e <-，故选B ． 【点睛】
复合方程()g f x m =⎡⎤⎣⎦的解的个数问题，其实质就是方程组()()g t m
t f x ⎧=⎪⎨=⎪⎩
的解的个数问题，后者可先利用导数等工具刻画()f x 的图像特征，结合原来方程解的个数得到t 的限制条件，再利用常见函数的性质刻画()g t 的图像特征从而得到参数的取值范围． 二、填空题：本题共4小题 13．
1225
【解析】 【分析】
根据题意，由于题目中给出了较多的边和角，根据题目列出对应的正余弦定理的关系式，能较快解出BD 的长度. 【详解】
根据题意，以点A 为原点，AC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系。

过点B 作BE 垂直AC 交AC 于点E ，则11
622
ABC S AC BE AB BC ∆=
⋅=⋅=,又因为在Rt ABC ∆中，225AC AB BC =+=,所以
125BE =
,165AE =,故1225
BD =. 【点睛】
本题主要考查学生对于正余弦定理的掌握，将几何问题转化为坐标系下的问题是解决本题的关键. 14． 1 【解析】 分析：sin 4m πρθ⎛
⎫
-
= ⎪⎝
⎭
可化为20x y m -+=，利用点(
)
2,0A 到直线l ：sin 4m πρθ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，
(0)m >的距离为2，求出m 的值.
详解：sin 4m πρθ⎛
⎫
-
= ⎪⎝
⎭
可化为20x y m -+=， 点(
)
2,0A
到直线l ：sin 4m πρθ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，(0)m >的距离为2，
2222
m
+∴
=，
又
0m >，
1m ∴=.
故答案为：1.
点睛：求解与极坐标有关的问题的主要方法
(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用； (2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解．
使用后一种方法时，应注意若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标． 15．
【解析】 【分析】
先求出双曲线的渐近线方程，然后利用渐近线与圆相切，转化为圆心到渐近线的距离等于半径，因此可得出的值。

【详解】
双曲线的渐近线方程为
，即
，
圆，圆心坐标为，半径为，
由于双曲线的渐近线与圆相切，则，故答案为：。

【点睛】
本题考查双曲线的渐近线，考查直线与圆的位置关系，在求解直线与圆相切的问题时，常有以下两种方法进行转化：
（1）几何法：圆心到直线的距离等于半径；
（2）代数法：将直线方程与圆的方程联立，利用判别式为零进行求解。

考查化归与转化思想，考查计算能力，属于中等题。

16．3 9
【解析】
【分析】
根据约束条件画出可行域，将问题转化为求解2y x z =-+在y 轴截距的最大值和最小值，由图象可知2y x z =-+过B 时，z 最小；过C 时，z 最大，求出,B C 坐标，代入可得结果.
【详解】
由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：
令2z x y =+，则求z 的最大值和最小值即为求2y x z =-+在y 轴截距的最大值和最小值
由2y x =-平移可知，当2y x z =-+过B 时，z 最小；过C 时，z 最大
由2y x x y =⎧⎨+=⎩得：()1,1B ；由36
y x y x =⎧⎨=-⎩得：()3,3C min 2113z ∴=⨯+=，max 2339z =⨯+=
本题正确结果：3；9
【点睛】
本题考查线性规划中的最值问题的求解，关键是能够将问题转化为直线在y 轴截距的最值问题的求解，属于常考题型.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（Ⅰ）最大值为2-，最小值为242-.（Ⅱ）最大值为2-，最小值为242-.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）切点(1,)y 在函数3
()32f x x ax =-+上，也在切线方程为30x y m ++=上，得到一个式子，切线的斜率等于曲线()y f x =在1x =的导数，得到另外一个式子，联立可求实数a ，m 的值；（Ⅱ）函数()
f x 在闭区间的最值在极值点或者端点处取得，通过比较大小可得最大值和最小值.
【详解】
解：（Ⅰ）2
()33f x x a '=-，
∵曲线3()32f x x ax =-+在1x =处的切线方程为30x y m ++=， ∴(1)333(1)333f a f a m =-=-⎧⎨=-=--'⎩
解得2a =，0m =. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，3()62f x x x =-+，则2()36f x x '=-，
令()0f x '=，解得2x =±，
∴()f x 在[1,2)上单调递减，在(2,2]上单调递增，
又(1)1623f =-+=-，3(2)26222f =-⨯+=-，()()322622242f =-⨯+=-，
∴()f x 在区间[1,2]上的最大值为2-，最小值为242-.
【点睛】
本题主要考查导函数与切线方程的关系以及利用导函数求最值的问题.
18．（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）先利用二倍角公式将题目等式化成关于的方程，求出即可求出角
（2）根据角平分线定义先求出
，再依锐角三角函数的定义求出，最后依据三角形面积公式求出。

【详解】
（1）解：因为，所以，
即. 因为，所以，解得. 所以或（舍去）,
因此,.
（2）因为，，所以，因为，所以， 又因为为的角平分线，所以， 在中，所以，所以， 所以.
【点睛】
本题主要考查了二倍角公式的应用，以及三角形面积的求法。

19．（1）22(4)25x y -+=（04,35)x y ≤≤≤≤；（2）5km .
【解析】
【分析】
（1）以垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，设圆心坐标为(,0)x ，由圆心到,M N 两点的距离相等求出x ，即圆心坐标，再求出半径，可得圆方程，圆弧方程在圆方程中对变量,x y 加以限制即可。

（2）设校址坐标为(,0)a ，4a >，根据条件列出不等式，由函数单调性求最值解决恒成立问题。

【详解】
（1）以直线2l 为x 轴，1l 为y 轴，建立如图所求的直角坐标系，则(0,3)M ，(4,5)N ，设圆心为(,0)C x ，则22
9(4)25x x +=-+，解得4x =。

即(4,0)C ，圆半径为32435r =+=，∴圆方程为22(4)25x y -+=，
∴铁路线所在圆弧的方程为22(4)25x y -+=（04,35)x y ≤≤≤≤。

（2）设校址为B (,0)a ，4a >，(,)P x y 是铁路上任一点， 22()26x a y -+≥
04x ≤≤22()25(4)26x a x -+--04x ≤≤恒成立， 整理得2(82)170a x a -+-≥对04x ≤≤恒成立，
记2
()(82)17f x a x a =-+-，
∵4a >，∴820a -<，()f x 在[0,4]上是减函数， ∴4(4)0
a f >⎧⎨≥⎩，即244(82)170a a a >⎧⎨-+-≥⎩，解得5a ≥。

即校址距点O 最短距离是5km 。

【点睛】
本题考查求点的轨迹方程、求圆的方程，考查不等式恒成立问题。

不等式恒成立可转化为通过求函数的最值得以解决，属于中档题。

20． (1)见证明；(2)
24ln 203
m -<< 【解析】
【分析】
（1）利用导数求得函数单调性，可证得()min 1f x ≥；（2）利用假设切点的方式写出切线方程，原问题转化为方程221ln 10m m x x x
++
--=在()0,2上有两个解；此时可采用零点存在定理依次判断零点个数，得到m 范围，也可以先利用分离变量的方式，构造新的函数，然后讨论函数图像，得到m 范围. 【详解】
（1）证明：1m =时，()1ln f x x x
=+ ()22111x f x x x x
-=-+=' ()f x ∴在(]0,1上递减，在[)1,2上递增 ()()min 11f x f ∴==
()1f x ∴≥
（2）当0m =时，()ln f x x =，()0,2x ∈，明显不满足要求；
当0m ≠时，设切点为()()00,x f x （显然01x ≠），则有()()
0001f x f x x '=-
000200ln 1
m x x m x x x +-∴=-，整理得()020021ln 10*m m x x x ++--= 由题意，要求方程()*在区间()0,2上有两个不同的实数解
令()221ln 1m m g x x x x +=+-- ()()()3
21x m x g x x --⇒=' ①当21m >即12m >
时，()g x 在()0,1上单调递增，在()1,2上单调递减112m ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭或先单调递减再递增()1m > 而()()1120g me e e ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭
，()10g m =>， ()3212ln21ln2048m g +=+-≥->，()12ln204g m m m
=+> ()g x ∴在区间()0,1上有唯一零点，在区间()1,2上无零点，
所以此时不满足题要求. ②当12
m =时，()0g x '≥ ()g x ⇒在()0,2上单调递增 ∴不满足在区间()0,2上有两个不同的实数解
③当021m <<即102
m <<
时，()g x 在()0,2m 上单调递增，在()2,1m 上单调递减，在()1,2上单调递增. ()21ln 10m e e m m g e e m +-⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭
，()10g m => ()g x ∴在区间()0,2上有唯一零点，所以此时不满足题要求.
④当0m <时，()g x 在()0,1上单调递减，在()1,2上单调递增，
()()1120g me e e ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭
，()10g m =<，()322ln24m g -=+ 当()20g ≤即24ln23
m -≤
时，()g x 在区间()0,2上有唯一零点，此时不满足题要求. 当()20g >即24ln203m -<<时，()g x 在区间()0,1和()1,2上各有一个零点
设零点为12,x x ，又这时()221x m m f x x x x
'-==-显然在区间()0,2上单调递减 ()()12f x f x ∴≠''，此时满足题目要求.
综上所述，m 的取值范围是
24ln203m -<< （2）解法二：设切点为000,ln m x x x ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭
由解法一的关于0x 的方程()00200
211ln 10x m x x x -+-+=在区间内()0,2有两解 显然12
不是方程的解 故原问题等价于22
ln 12x x x x m x
+-=-在区间内()0,2有两解 设()()221ln ln 1212x x x x x x x x g x x x
+-+-==--，02x <<且12x ≠ 则()()()
2112ln 12x x x x g x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭-'=，02x <<且12x ≠ 令()12ln h x x x =
+，02x <<，则()221221x h x x x x -=-+=' 又10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭，()0h x '<；1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0h x '> ()()min 12ln402h x h x h ⎛⎫⇒≥==-> ⎪⎝⎭
， 故110,,122x ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，()0g x '>；()1,2x ∈，()0g x '< 从而110,,,122x ⎛
⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，()g x 递增，()1,2x ∈，()g x 递减 令()1ln t x x x x =+-，02x << ()ln t x x ∴'=
由于()0,1x ∈时()0t x '<，()1,2x ∈时()0t x '>
()()()min 10t x t x t ∴≥== 故10,2x ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭，()0g x >；1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，()0g x ≤， 而1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()()10g x g ≤=，12x →时，()g x →-∞
故22ln 12x x x x m x
+-=-在区间内()0,2有两解()20g m ⇔<< 解得：24ln203
m -<<
【点睛】
本题主要考查导数的几何意义、导数在研究函数中的应用.难点在于将原问题转化为方程根的个数的问题，此时根无法确切的得到求解，解决此类问题的方式是灵活利用零点存在定理，在区间内逐步确定根的个数. 21．（1）当3a <时，(),3B a =；当3a =时，B φ=；当3a >时，()3,B a =
（2）[]2,7
【解析】
【分析】
（1）由含参二次不等式的解法可得，只需3a <，3a =，3a >即可得解；
（2）由函数定义域的求法求得(]
2,7A =，再结合命题间的充要性求解即可.
【详解】
解：（1）因为()2330x a x a -++<，所以()(3)0x a x --<， 当3a <时，3a x <<；当3a =时，方程无解；当3a >时，3x a <<，
故当3a <时，不等式的解集为(),3B a =；
当3a =时，不等式的解集为B φ=；
当3a >时，不等式的解集为()3,B a =.
（2）解不等式3202x x +-≥-，即702x x -≤-，即(7)(2)020x x x --≤⎧⎨-≠⎩
，解得27x <≤， 即(]
2,7A =，
由:x A α∈，:x B β∈，若α是β的必要不充分条件，
可得B 是A 的真子集，
则当3a <时，则2a ≥，即23a ≤<；
当3a =时，显然满足题意；
当3a >时，则7a ≤，即37a <≤，
综上可知：27a ≤≤，
故实数a 的取值范围为[]2,7.
【点睛】
本题考查了函数定义域的求法、含参二次不等式的解法及充要条件，重点考查了分类讨论的数学思想方法及简易逻辑，属中档题.
22．（Ⅰ）12n n a ；（Ⅱ）221n n +-.
【解析】
【分析】
（I ）将已知条件转化为1,a q ，由此求得q 的值，进而求得n a 的通项公式.（II ）利用1n n S S --求得n n b a -的表达式，由此求得n b 的表达式，利用分组求和法求n T 的值.
【详解】
（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比q
1237a a a ++=即217q q ++=，
解得：2q =或3- ，
又{}n a 的各项为正，0q ∴>，故2q = ∴ 12n n a -=
（Ⅱ）设n n n c b a =-，数列{}n c 前n 项和为2n S n =.
由11,1,, 2.
n n n S n c S S n -=⎧=⎨-≥⎩解得21n c n =-. 21n n b a n ∴-=-
.121212n n n b n a n -∴=-+=-+,
()()11213+21122n n n T b b b n -⎡⎤∴=++
+=++-+++⎣⎦ 22122112
n
n n n -=+=+--. 【点睛】
本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查数列通项公式的求法，考查分组求和法，所以中档题.
同步练习
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若函数2()ln =++a f x x x x 在1x =处取得极小值，则()f x 的最小值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 2．如表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产品x （吨）与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为0.80.9y x =+，那么表中t 的值为（ ）
A ．4.5
B ．3.75
C ．4
D ．4.1
3．已知定义在(1,1)-上的函数()f x 与函数1()ln 1x g x x
-=+有相同的奇偶性和单调性，则不等式(1)(23)0f x f x -+-<的解集为（）
A ．4
(,)3-∞ B ．4
(1,)3 C ．4
(,)3+∞ D ．4
(,2)3
4．设随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，(1)P p ξ>=，则(10)P ξ-<<=（ ）
A ．12p
B ．1p -
C ．12p -
D ．12
p - 5．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 ( )
A ．215π
B ．320π
C ．2115π-
D ．3120
π- 6．已知函数ln ,0(),0x x f x ax x >⎧=⎨
⎩，若方程()()f x f x -=-有五个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．（0，+∞） B ．（0，1） C ．（－∞，0） D ．（0，1e
） 7．函数2()ln f x x x =-
零点所在的大致区间为（ ） A ．(1,2) B ．(2,3) C ．11,e ⎛⎫
⎪⎝⎭和(3,4) D ．(,)e +∞
8．已知随机变量ξ服从正态分布2(2)N σ，，(4)0.84P ξ=≤，则(0)P ξ=≤（ ）
A ．0.16
B ．0.32
C ．0.68
D ．0.84 9．设函数()y f x =在(,)a b 上的导函数为()f x '，()f x '在(,)a b 上的导函数为()f x ''，若在(,)a b 上，()0f x ''<恒成立，则称函数()f x 在(,)a b 上为“凸函数”，已知当2m ≤时，3211()62f x x mx x =-+在
(1,2)-上是“凸函数”，则()f x 在(1,2)-上 ( )
A ．既有极大值,也有极小值
B ．既有极大值,也有最小值
C ．有极大值,没有极小值
D ．没有极大值,也没有极小值
10．已知()x
ae f x x =，[]1,3x ∈且()()1212
2f x f x x x
-<-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．28(,
]e
-∞ B ．39
[
,)e
+∞ C ．28
[
,)e
+∞ D ．39 ,
e ⎛
-∞⎤ ⎥⎝⎦
11．若函数的导函数的图像关于原点对称，则函数的解析式可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．如图，F 1，F 2分别是双曲线22
221x y a b
-=(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，以坐标原点O 为圆心，|OF 1|为半
径的圆与该双曲线左支交于A ，B 两点，若△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为( )
A 3
B ．2
C 31－
D 31
二、填空题：本题共4小题
13．设n A 为1(1)n x ++的展开式中含1n x -项的系数，n B 为1(1)n x -+的展开式中二项式系数的和，则能使
n n A B ≥成立的n 的最大值是________．
14．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ,过1F 作圆222x y a +=的切线，交双
曲线右支于点M ，若1245F MF ∠=．
，则双曲线的渐近线方程为__________．
15．设直线l ：x+y ﹣2＝0的倾斜角为α，则α的大小为_____． 16．已知复数2i 3i 1i
z
--（i
为虚数单位），则复数z 的模为_____.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数2
21()ln ()2
f x ax x x a a x =+
-+． （1）若1a =-，证明：()0f x >；
（2）若()f x 只有一个极值点，求a 的取值范围．
18．已知函数()(1)x f x ax e =-，a R ∈. （1）讨论()f x 的单调性；
（2）若1a =，求证：当1x >-时，()ln(1)1x
f x e x x ≥+--.
19．（6分）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：()3
1f x x =，()()233,2x
f x f x ==，
()42121
x x f x -=+，()()56sin ,cos .
2f x x f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ （I ）从中任意拿取2张卡片，若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数，在此条件下，求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率；
（II ）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望.
20．（6分）中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”.为了了解人们]对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研.人社部从网上年龄在15∽65岁的人群中随机调查100人，调査数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下： 年龄 [)15,25 [)25,35 [)35,45 [)45,55 [)55,65
支持“延迟退
休”的人数
15
5
15
28
17
（1）由以上统计数据填22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异； 45岁以下 45岁以上 总计 支持 不支持 总计
（2）若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动.现从这8人中随机抽2人
①抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率. ②记抽到45岁以上的人数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望. 参考数据：
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++
21．（6分）一个盒子内装有8张卡片，每张卡片上面写着1个数字，这8个数字各不相同，且奇数有3个，偶数有5个．每张卡片被取出的概率相等．
（Ⅰ）如果从盒子中一次随机取出2张卡片，并且将取出的2张卡片上的数字相加得到一个新数，求所得新数是偶数的概率；
（Ⅱ）现从盒子中一次随机取出1张卡片，每次取出的卡片都不放回盒子，若取出的卡片上写着的数是偶数则停止取出卡片，否则继续取出卡片．设取出了ξ次才停止取出卡片，求ξ的分布列和数学期望．
22．（8分）已知矩阵1101M -⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
.
（1）求直线31y
x 在M 对应的变换作用下所得的曲线方程；
（2）求矩阵M 的特征值与特征向量.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B 【解析】 【分析】
先对函数求导，根据题意，得到3a =，再用导数的方法研究函数单调性，进而可求出结果. 【详解】
因为2
()ln =+
+a
f x x x x
， 所以21
()2'=-+a f x x x x
，
又函数2
()ln =+
+a
f x x x x
在1x =处取得极小值， 所以(1)210'=-+=f a ，所以3a =，
因此3322222
31232(1)(1)(223)(1)
()2+--+-++-'=-+===
x x x x x x x f x x x x x x x ， 由()0f x '>得1x >；由()0f x '<得01x <<，
所以函数()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增； 所以min ()(1)134==+=f x f ； 故选B 【点睛】
本题主要考查导数的应用，根据导数的方法研究函数的单调性，最值等，属于常考题型. 2．C 【解析】 【分析】
根据回归直线必过(),x y ，求出,x y 代入回归直线可构造出方程求得结果. 【详解】
由数据表可知：3456 4.54x +++==， 3.55 5.51444
t t
y ++++==
由回归直线可知：0.80.9y x =+，即：140.8 4.50.94
t
+=⨯+，解得：4t = 本题正确选项：C 【点睛】
本题考查利用回归直线求解实际数据点的问题，关键是能够明确回归直线必过点(),x y ，属于基础题. 3．D 【解析】 【分析】
先判断()g x 的奇偶性及单调性，即可由()f x 为奇函数性质及单调性解不等式，结合定义域即可求解. 【详解】
函数1()ln
1x
g x x -=+，定义域为()1,1-； 则11()ln ln ()11x x
g x g x x x
+--==-=--+，即()g x 为奇函数， 12()ln
ln 111x g x x x -⎛⎫==-+ ⎪++⎝⎭
，
函数21y x
=
+在()1,1-内单调递减，由复合函数的单调性可知1()ln 1x g x x -=+在()1,1-内单调递减，
由题意可得函数()f x 为在()1,1-内单调递减的奇函数，
所以不等式(1)(23)0f x f x -+-<变形可得(1)(23)f x f x -<--， 即(1)(32)f x f x -<-，
则111
1321132x x x x -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪->-⎩，解不等式组可得021243x x x ⎧
⎪<<⎪<<⎨⎪⎪>
⎩
，即4,23x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，
故选：D. 【点睛】
本题考查了函数奇偶性及单调性的判断，对数型复合函数单调性性质应用，由奇偶性及单调性解抽象不等式，注意定义域的要求，属于中档题. 4．D 【解析】
分析：由题可知，正态曲线关于0ξ=对称，根据(1)P p ξ>=，即可求出(10)P ξ-<< 详解：
随机变量ξ服从正态分布()0,1N
∴正态曲线关于0ξ=对称
(1)P p ξ>=
∴ 1
(10)2
P p ξ-<<=
- 故选D.
点睛：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本题解题的关键是正态曲线的对称性. 5．C 【解析】 【分析】
本题首先可以根据直角三角形的三边长求出三角形的内切圆半径，然后分别计算出内切圆和三角形的面积，最后通过几何概型的概率计算公式即可得出答案. 【详解】
2251213+=， 设内切圆的半径为r ，则51213r r -+-=，解得2r .
所以内切圆的面积为24r ππ=， 所以豆子落在内切圆外部的概率42P 111
155122
ππ
=-
=-
⨯⨯，故选C ．
【点睛】
本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误． 6．D 【解析】 【分析】
由方程的解与函数图象的交点关系得：方程()()f x f x -=-有五个不同的实数根等价于()y f x =的图象与()()y g x f x ==--的图象有5个交点，作图可知，只需y ax =与曲线y lnx =在第一象限有两个交点即可。

利用导数求过某点的切线方程得：过原点的直线与y lnx =相切的直线方程为1
y x e
=，即所求a 的取值范围为1
0a e
<<，得解． 【详解】
设()()g x f x =--，则()y g x =的图象与()y f x =的图象关于原点对称，
方程()()f x f x -=-有五个不同的实数根等价于函数()y f x =的图象与()y g x =的图象有5个交点，由图可知，只需y ax =与曲线y lnx =在第一象限有两个交点即可， 设过原点的直线与y lnx =切于点0(P x ，0)y ，由1()f x x
'=， 则过原点的直线与y lnx =相切，000
1
()y lnx x x x -=-， 又此直线过点(0,0)，所以01lnx =， 所以0x e =，即f '（e ）1e
=
， 即过原点的直线与y lnx =相切的直线方程为1
y x e
=， 即所求a 的取值范围为1
0a e
<<，故选B ． 【点睛】
本题主要考查了方程的解与函数图象的交点个数问题的关系应用及利用导数求切线方程。

7．B 【解析】 【分析】
判断函数单调递增，计算(2)0f <，(3)0f >得到答案. 【详解】 函数2()ln f x x x =-
在()0,∞+上单调递增，2
(2)ln 220f =-<，2(3)ln 303
f =->， 故函数在(2,3)有唯一零点. 故选：B . 【点睛】
本题考查了零点存在定理，确定函数的单调性是解题的关键.
8．A 【解析】
由正态分布的特征得(0)P ξ≤＝1(4)10.840.16P ξ-≤=-=，选A. 9．C 【解析】
此题考查函数极值存在的判定条件
思路：先根据已知条件确定m 的值，然后在判定 因为1m ≤时，3213
()562
f x x mx x =
-++在(1,2)-上是“凸函数”所以()0f x ''<在(1,2)-上恒成立，得213
()222f x x mx -+'=在(1,2)-是单调递减，()f x '的对称轴要满足
222111
1
22m m m m m --=≥∴≥≤⇒=⨯又 213
()203122
f x x x x x =-+∴≥'≥≤或[]-1∞，与[]3+∞，()f x 单调递增[]1,3单调递减，当1x =时()
f x 有极大值，当3x =时()f x 有极小值 所以()f x 在()1,2x ∈-上有极大值无极小值 10．D 【解析】 【分析】
由题意可构造函数()2x
ae g x x x
=-，由()0g x '≤在[]1,3x ∈上恒成立，分离参数并构造新的函数()h x ，
利用导数判断其单调性并求得最小值，即可求出a 的取值范围. 【详解】 由[]1,3x ∈，
()()12122f x f x x x -<-得
()()112212
022f x x f x x x x ---⎡⎤⎦-<⎣恒成立， 令()()2g x f x x =-，即()2x
ae g x x x
=-，[]1,3x ∈，
则()g x 在[]1,3x ∈上单调递减，
所以()2
1()20x ae x g x x
-'=-≤在[]1,3x ∈上恒成立， 当1x =时，(1)20g '=-≤成立，
当13x <≤时，()2120x ae x x
--≤等价于()221x
x a e x ≤-，。