高中数学人教A版选修-创新应用课下能力提升(五)含解析c

6．已知 sin θ＋cos θ＝15且π2≤θ≤34π，则 cos 2θ＝________.
2Sn
1
2
7．设数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 a1＝1， n ＝an＋1－3n2－n－3，n∈N*.
(1)求 a2 的值；
{ } (2)证明数列 an 是等差数列；
n
{ } (3)若 Tn是数列

∵a，b，c，d 为正实数，
∴只需证 a(b＋d)＜b(a＋c)，即证 ad＜bc.
只需证ab＜dc.而ab＜dc成立，
5
a＋c
a＋c
∴a＜ .同理可证 ＜c.
b b＋d
b＋d d
故 A 正确．
5．解析：由条件知 lg xy＝lg(x－2y)2，
所以 xy＝(x－2y)2，即 x2－5xy＋4y2＝0，
因为 a＋b＝1，
即证 2a＋1· 2b＋1≤2.
因为 a≥－12，b≥－12，
所以 2a＋1≥0,2b＋1≥0，
所以
2a＋1·
2b＋1≤
2a＋1
＋ 2
2b＋1
2 a＋b＋1 ＝ 2 ＝2.
即 2a＋1· 2b＋1≤2 成立，因此原不等式成立．
7．证明：法一：要证 a3＋b3＞a2b＋ab2 成立，
＝n－11 －1n(n≥2)，
( ) ( ∴
Tn＝
1 a1＋
1＋ a2
…＋
1 an＝
1 12＋
1 22＋
1 32＋
…＋
1 n2＜
1＋
1 4＋
12－13
13－14 ＋ …＋
) ＋
( ) n－1 1－1n ＝1＋14＋12－1n＝74－1n＜74.
6
( ) 8．证明：要证 f
1 x＋2
为偶函数，只需证明其对称轴为直线
只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)成立．
又因为 a＋b＞0，
3
所以只需证 a2－ab＋b2＞ab 成立．
即需证 a2－2ab＋b2＞0 成立，
即需证(a－b)2＞0 成立．
而依题设 a≠b，则(a－b)2＞0 显然成立．
由此命题得证． 法二：a≠b⇔a－b≠0⇔(a－b)2＞0⇔a2－2ab＋b2＞0⇔a2－ab＋b2＞ab. 因为 a＞0，b＞0，
即 c(b＋c)＋(a＋b)a＝(a＋b)(b＋c)，
所以只需证 c2＋a2＝b2＋ac.
因为△ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列， 所以 B＝60°， 所以 cos B＝a2＋2ca2c－b2＝12， 即 a2＋c2－b2＝ac 成立．
所以(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1 成立．
0，－cos C＞0，cos C＜0，从而角 C 必为钝角，△ABC 一定为钝角三角形．
2．解析：选 B 由 a＜ 3＋ 8－1 得 a＜( 3＋ 8－1)2.
而( 3＋ 8－1)2＝3＋8＋1＋2 24－2 3－2 8＝12＋4 6－2 3－4 2≈12.68.
因此使不等式成立的正整数 a 的最大值为 12.
x＝0，即只需证－2ba
1 －2 ＝
0，
只需证 a＝－b(中间结果)，
由已知，抛物线 f(x＋1)的对称轴 x＝－2ba－1 与抛物线 f(x)的对称轴 x＝－2ba关于 y 轴对
称．
( ) 所以－2ba－1＝－ －2ba .
于是得 a＝－b(中间结果)．
( ) 所以 f
1 x＋2
为偶函数．
7
A．f(x)＝1 x
C．f(x)＝ex
B．f(x)＝(x－1)2 D．f(x)＝ln(x＋1)
a＋ b
a＋b
2．已知 a＞0，b＞0，m＝lg 2 ，n＝lg 2 ，则 m 与 n 的大小关系为( )
A．m＞n B．m＝n
C．m＜n D．不能确定
1
3．设函数 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数，若 f(1)＞1，f(2)＝3aa＋－14，则 a 的
2．解析：选 A 由 a＞0，b＞0，得 ab＞0，
所以 a＋b＋2 ab＞a＋b，
所以( a＋ b)2＞( a＋b)2，
a＋ b a＋b 所以 2 ＞ 2 ，
a＋ b
a＋b
所以 lg 2 ＞lg 2 ，
即 m＞n，故选 A.
3．解析：选 D ∵f(x)以 3 为周期，
∴f(2)＝f(－1)．
又 f(x)是 R 上的奇函数，
法二：(综合法)
因为△ABC 的三内角 A，B，C 成等差数列， 所以 B＝60°.
由余弦定理，有 b2＝c2＋a2－2accos 60°. 所以 c2＋a2＝ac＋b2，
两边加 ab＋bc，得
c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
两边同时除以(a＋b)(b＋c)，得
c
a
a＋b＋b＋c＝1，
3．证明：∵△ABC 为锐角三角形，
) ∴A，B，C∈ 0，π ， (2
由正弦定理及条件，可得 3sin B＝2
3sin Asin B.
2
∵B∈ 0，π
(2
)，
∴sin B≠0.∴3＝2
3sin A．∴sin A＝ 23.
0，π
π
) ∵A∈ 2 ，∴A＝ .
(3
) 又 cos B＝cos C，且 B，C∈ 0，π .
( ) ( ) x
即y
x 2－5 y
＋4＝0，所以xy＝4 或xy＝1.
又 x＞2y，故xy＝4，所以 log 2xy＝log 24＝4.
答案：4
6．解析：因为 sin θ＋cos θ＝15 ，所以 1＋sin 2θ＝215 ，所以 sin 2θ＝－2245 .因为π2 ≤θ≤34π，
所以 π≤2θ≤32π.所以 cos 2θ＝－ 1－sin22θ＝－275.
课下能力提升(五) [学业水平达标练]
题组 1 综合法的应用
1．在△ABC 中，若 sin Asin B＜cos Acos B，则△ABC 一定是( )
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．等边三角形
2．使不等式 3＋ 8＞1＋ a成立的正整数 a 的最大值是( )
A．13 B．12 C．11 D．10
8．已知△ABC 的三个内角 A，B，C 为等差数列，且 a，b，c 分别为角 A，B，C 的对
边，求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.
[能力提升综合练]
1．下列函数 f(x)中，满足“对任意 x1，x2∈(0，＋∞)，当 x1＜x2 时，都有 f(x1)＞f(x2)”
的是( )
∴f(－1)＝－f(1)，
则 f(2)＝f(－1)＝－f(1)．
再由 f(1)＞1，可得 f(2)＜－1，
即3aa＋－14＜－1，解得－1＜a＜34.
4．解析：选 A
ac 先取特殊值检验，∵b＜d，
可取 a＝1，b＝3，c＝1，d＝2，
则ba＋＋dc＝25，满足ab＜ba＋＋dc＜dc. 要证ab＜ba＋＋dc，
5．解析：用分析法证明 2 ≥ab 的步骤为：要证 2 ≥ab 成立，只需证 a2＋
b2≥2ab，也就是证 a2＋b2－2ab≥0，即证(a－b)2≥0.
由于(a－b)2≥0 显然成立，所以原不等式成立．
答案：a2＋b2－2ab≥0 (a－b)2≥0 (a－b)2≥0
6．证明：要证 2a＋1＋ 2b＋1≤2 2，只需证 2(a＋b)＋2＋2 2a＋1· 2b＋1≤8.
1 an
的前 n 项和，求证：T ＜n .7
4
( ) 1
8．设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若函数 f(x＋1)与 f(x)的图象关于 y 轴对称，求证：f x＋2
为偶函数．
答案
[学业水平达标练]
1．解析：选 C 由 sin Asin B＜cos Acos B 得 cos Acos B－sin Asin B＞0，即 cos(A＋B)＞
4
) ( ) 所以
c ＋1 a＋b
＋
a ＋1 ＝3，
( b＋c
即a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c，
所以(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.
[能力提升综合练]
( ) 1．解析：选 A 本题就是找哪一个函数在(0，＋∞)上是减函数，A 项中，f′(x)＝1 x
1
1
′＝－x2＜0，∴f(x)＝x在(0，＋∞)上为减函数．
3．在锐角△ABC 中，已知 3b＝2 3asin B，且 cos B＝cos C，求证：△ABC 是等边三
角形．
题组 2 分析法的应用
4. 3 a－3 b<3 a－b成立的充要条件是( )
A．ab(b－a)>0 B．ab>0 且 a>b
C．ab<0 且 a<b D．ab(b－a)<0
a2＋b2 5．将下面用分析法证明 2 ≥ab
所以 a＋b＞0，
(a＋b) (a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)． 所以 a3＋b3＞a2b＋ab2.
8．证明：法一：(分析法)
要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1，
1
1
3
即证a＋b＋b＋c＝a＋b＋c，
a＋b＋c a＋b＋c 只需证 a＋b ＋ b＋c ＝3，
ca 化简，得a＋b＋b＋c＝1，
的步骤补充完整：要证a2＋2 b2≥ab，只需证
a2＋
b2≥2ab，也就是证________，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立．
6．已知 a≥－12，b≥－12，a＋b＝1，求证： 2a＋1＋ 2b＋1≤2 2.
题组 3 综合法与分析法的综合应用
7．设 a，b∈(0，＋∞)，且 a≠b，求证：a3＋b3＞a2b＋ab2.
(2
∴B＝C.
又 B＋C＝23π，∴A＝B＝C＝π3. 从而△ABC 是等边三角形．
4. 解析：选 D 3 a－3 b<3 a－b，
⇔(3 a－3 b)3<(3 a－b)3，
⇔a－b－33 a2b＋33 ab2<a－b，
⇔3
3 a2b，
⇔ab2<aab2b<，
⇔ab(b－a)<0.
a2＋b2
a2＋b2
取值范围是( )
A．a＜34
B．a＜34，且 a≠－1
C．a＞34或 a＜－1
D．－1＜a＜34
4．已知
a，b，c，d c
为正实数，且ab＜dc，则(
)
a a＋c＜ A.b＜b＋d d
B.ba＋＋dc＜ab＜dc
C.ab＜dc＜ba＋＋dc
D．以上均可能
5．若 lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，则 log 2xy＝________.
7 答案：－25
2S1
1
2
7．解：(1)当 n＝1 时， 1 ＝2a1＝a2－3－1－3＝2，
解得 a2＝4.
1
2
(2)证明：2Sn＝nan＋1－3n3－n2－3n.①
1
2
当 n≥2 时，2Sn－1＝(n－1)an－3(n－1)3－(n－1)2－3(n－1)．②
①－②，得 2an＝nan＋1－(n－1)an－n2－n.
整理得 nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，
an＋1 an
an＋1 an
即n＋1＝ n ＋1，n＋1－ n ＝1，
a2 a1 当 n＝1 时， 2 － 1 ＝2－1＝1.
{ } an
所以数列
是以 1 为首项，1 为公差的等差数列．
n
an (3)由(2)可知 n ＝n，即 an＝n2.
∵1＝1＜ 1 an n2 n n－1