苏教版必修第二册123复数的几何意义课件_3

所以 z ＝
a2＋b2＝
2.
(2)由(1)知 mz＋1z＝am＋bmi＋a＋1 bi ＝am＋bmi＋aa2－＋bbi2＝am＋a2＋bm－2bi. 因为 mz＋1z∈R，所以 bm－b2＝0. 因为 b≠0 所以 m＝12.
复数的模的求解思路 解决复数的模的求解问题，应先把复数表示成标准的代数形式，再根据复数 的模的定义求解．
第12章 复 数
复数的几何意义
数学
01
预习案 自主学习
02
探究案 讲练互动
Hale Waihona Puke 03自测案 当堂达标04
应用案 巩固提升
1．复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面叫作__复__平__面__，x轴叫作__实__轴__，y轴叫 作 _虚__轴___ ． 实 轴 上 的 点 都 表 示 实 数 ； 除 了 原 点 外 ， 虚 轴 上 的 点 都 表 示 _纯__虚__数___．
(2)因为 z＝－2i，m∈R，
所以(m＋z)2＝(m－2i)2＝m2－4mi＋4i2＝(m2－4)－4mi，
又因为复数(m＋z)2
m2－4>0， 所表示的点在第一象限，所以－4m>0， 解得
m＜－2，
即 m∈(－∞，－2)时，复数所表示的点在第一象限．
探究点 2 复数与复平面内的向量 已知 O 为坐标原点，向量 OZ1，OZ2 分别对应复数 z1，z2，且 z1＝a＋3 5
1．已知 z＝(m＋3)＋(m－1)i(m∈R)在复平面内对应的点在第四象限，则实
数 m 的取值范围是( )
√A．(－3，1)
C．(1，＋∞)
B．(－1，3) D．(－∞，－3)
解析：由题意得mm＋ －31><00， ，解得－3<m<1.
2．在复平面内，O 为原点，向量O→A对应的复数为－1－2i，若点 A 关于实
01
本部分内容讲解结束
(1)求|z|的值； (2)若 mz＋1z∈R，求实数 m 的值．
【解】 (1)z 为虚数，可设 z＝a＋bi(a，b∈R 且 b≠0)，
0 则2a＋2bi＋1－i＝a＋bi＋2－2i，
1
即|(2a＋1)＋(2b－1)i|＝|(a＋2)＋(b－2)i|，
所以2a＋12＋2b－12＝a＋22＋b－22， 整理可得 a2＋b2＝2，
2．在复平面内，O 为原点，向量O→A表示的复数为－1＋2i，若点 A 关于直
线 y＝－x 的对称点为 B，则向量O→B表示的复数为( )
A．－2－i
√B．－2＋i
C．1＋2i
D．－1＋2i
解析：由题意得 A(－1，2)，则 B(－2，1)，所以向量O→B表示的复数为－2
＋i.
探究点 3 复数的模 已知虚数 z 满足|2z＋1－i|＝|z＋2－2i|(i 为虚数单位).
利用复数与点的对应关系解题的步骤 (1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平 面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据． (2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解 方程(组)或不等式(组)求解．
0 1 已知复数 z＝bi(b∈R)，z1－＋2i是实数，i 是虚数单位．
解析：因为 z＝22＋ －22ii＝i，所以z＝1.故选 C．
4．(1)设复数 z＝a－i，i 是虚数单位，且|z|＝ 17 ，求 a 的值． (2)图中复平面内点 Z 表示复数 z，若复数2z＋m1－＋ii(m∈R)对应的点在第二 象限，求实数 m 的取值范围.
解：(1)因为 z＝a－i，|z|＝ 17，，所以|z|＝ a2＋1＝ 17， 所以 a2＝16，所以 a＝±4， (2)由图可得 z＝1＋2i， 所以2z＋m1－＋ii＝1＋2 2i＋（（m1－＋ii））（（11＋＋ii））＝m2 ＋（m＋2 3）i， 又因为复数2z＋m1－＋ii对应的点在第二象限，所以mm<＋03，>0， 所以－3<m<0.
4．复数加、减法的几何意义 如图所示，设复数 z1＝a＋bi，z2＝c＋di 对应的向量分别为 OZ1，OZ2，四 边形 OZ1ZZ2 为平行四边形，则与 z1＋z2 对应的向量是O→Z，与 z1－z2 对应 的向量是 Z2Z1．
两复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)原点是实轴和虚轴的交点．( √ ) (2)实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示纯虚数．( × ) (3)若|z1|＝|z2|，则z1＝z2.( × ) (4)若z为复数，则|z|＝1表示以原点为圆心，1为半径的圆.( √ )
1．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z在复平面内对应点的集合是
()
√A．1个圆
C．2个点
B．线段 D．2个圆
解析：由题意知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，即|z|＝3或|z|＝－1，
因为|z|≥0，所以|z|＝3，
所以复数z在复平面内对应点的集合是1个圆．
2．已知复数 z1＝m＋(m2－2m)i，z2＝1＋－m2＋3m－1i，其中 m∈R. (1)若复数 z1 为实数，求实数 m 的值； (2)求z1＋z2的最小值． 解：(1)由复数 z1 为实数，则 m2－2m＝0，解得 m＝2 或 m＝0， 即若复数 z1 为实数，则实数 m 的值为 2 或 0. (2)因为 z1＋z2＝(m＋1)＋(m－1)i, 所以z1＋z2＝ （m＋1）2＋（m－1）2＝ 2m2＋2， 故z1＋z2的最小值为 2，此时 m＝0.
轴的对称点为 B，则向量O→B对应的复数为( )
A．－2－i
B．2＋i
C．1＋2i
√D．－1＋2i
解析：由题意可知，点 A 的坐标为(－1，－2)，点 B 的坐标为(－1，2)，
故向量O→B对应的复数为－1＋2i.
3．已知复数 z 满足2＋z 2i＝2－2i，则z＝(
)
A． 3
B．2
√C．1
D． 2
1．已知平面直角坐标系中 O 是原点，向量O→A，O→B对应的复数分别为 2
－3i，－3＋2i，那么向量B→A对应的复数是( )
A．－5＋5i
√B．5－5i
C．5＋5i
D．－5－5i
解析：向量O→A，O→B对应的复数分别记作 z1＝2－3i，z2＝－3＋2i，根据复 数与复平面内的点一一对应，可得向量O→A＝(2，－3)，O→B＝(－3，2). 由向量减法的坐标运算可得向量B→A＝O→A－O→B＝(2＋3，－3－2)＝(5,－5)， 根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量B→A对应的复数是 5－5i.
a2＋2a－15＝0，
由于复数－z 1＋z2
是实数，则a＋5≠0，
解得 a＝3.
1－a≠0，
(2)由(1)可得 z1＝38＋i，z2＝－1＋i，则点 Z138，1，Z2－1，1，
因此，以 OZ1，OZ2 为邻边的平行四边形的面积为 S＝Z1Z2×1＝181.
复数与平面向量的对应关系 (1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时， 向量的终点对应的复数即为向量对应的复数，反之复数对应的点确定后, 从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量． (2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点 一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．
＋10－a2i，z2＝1－2 a＋2a－5ia∈R.若－z 1＋z2 是实数． (1)求实数 a 的值； (2)求以 OZ1，OZ2 为邻边的平行四边形的面积．
【解】 (1)由题意可得－z 1＝a＋3 5－10－a2i，
因为 z2＝1－2 a＋2a－5i，则－z 1＋z2＝a＋3 5＋1－2 a＋a2＋2a－15i，
解析：对于①，x∈R，y∈∁CR，即 y∈{虚数}，所以21x＝－－1＝ 3－y，y 不成立， 故①错误； 对于②，若两个复数不全是实数，则不能比大小，由于 2＋i，1＋i 均为虚 数，故不能比大小，故②错误； 对于③，若一个数是实数，则其虚部存在，为 0，故③错误； 对于④，若 z＝1i ＝－i，则 z3＋1＝1＋i，在复平面内对应点为(1，1)，在第 一象限，故④正确．故答案为④. 答案：④
2．复数1－2i在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
√D．第四象限
3．复数 z＝1＋3i 的模等于( )
A．2
B．4
√C． 10
D．2 2
4．下列说法中正确的是________．(填序号) ①若2x－1＋i＝y－3－yi，其中 x∈R，y∈∁CR，则必有21x＝－－1＝ 3－y，y；②2 ＋i>1＋i；③若一个数是实数，则其虚部不存在；④若 z＝1i ，则 z3＋1 在复 平面内对应的点位于第一象限．
(1)求z的值； (2)若复数(m＋z)2 所表示的点在第一象限，求实数 m 的取值范围．
解：(1)因为 z＝bi(b∈R)，所以z1－＋2i＝b1i＋－i2＝（（b1i＋－i2））（（11－－ii）） ＝（b－2）＋2 （b＋2）i＝b－2 2＋b＋2 2i. 又因为z1－＋2i是实数，所以b＋2 2＝0， 所以 b＝－2，即 z＝－2i.所以z＝2.
探究点1 复数与复平面内的点 已知复数z＝(a2－1)＋(2a－1)i，其中a∈R.当复数z在复平面内对应
的点Z满足下列条件时，求a的值(或取值范围). (1)在实轴上； (2)在第三象限．
【解】 (1)若 z 对应的点在实轴上，则有 2a－1＝0，解得 a＝12. (2)若 z 对应的点在第三象限，则有2aa2－－11<<00，，解得－1<a<12. 故 a 的取值范围是－1，12.
1．实轴上的点都表示实数，那么虚轴上的点都表示纯虚数吗？ 提示：虚轴上除了坐标原点以外的点都表示纯虚数． 2．复平面上的点和复数如何建立起一一对应关系？ 提示：建立直角坐标系，横轴为实轴，纵轴为虚轴，复数z＝a＋bi(a， b∈R)与点Z(a，b)对应．
2．复数的两种几何意义
3．复数的模 复数 z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为O→Z，则O→Z的模叫作复数 z＝a＋bi 的 模，记作|z|或|a＋bi|，且|z|＝|a＋bi|＝___a_2_＋__b_2 __．