1.1.1集合的含义与表示

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集合的表示法
例：用适当的方法表示下列集合：
（1）有限集
含有有限个元素的集合
（1）方程2−9=0的解的集合；
A={3, -3}={x | x - 9=0
三、集合与元素之间关系
若a在集合A中： 即a属于集合A，记: a ∈ A
若a不在集合A中：即a不属于集合A，记: a ∉ A
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[作答] ---- 写出所有符合题的字母的取值
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则
即a2−a＋1＝0，∵方程无实数解．
(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素．
所以a ≠
1
∈A(a≠1)．求证：
1−
1
1−
，
，所以集合A不可能是单元素集
(2)集合A不可能是单元素集．
[归纳提升]
1
∈A，
1−
解: (1)∵若a∈A时，则
∴2∈A时，则
1
1−2
∴−1∈A时，则
1
2
=−1∈ A，
1
P={(x, y) | y = x2 – 2x + 2}
（6）平面直角坐标系中第三象限所有的点
Q={(x, y) | x < 0, y < 0}
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重要的数集
湖泊
集合中每个对象叫做这个集合的元素
2.（？）中学高一新入学的所有学生
二、集合的表示
3. 10以内3的倍数
集合通常用大写的字母表示，如A、B、C …
4.方程 x2 - 1=0的所有解
元素通常用小写的字母表示，如a、b、c …
5.不等式x2−1＞0的实数解
思考：这些问题中所包含的对象有哪些？
并简单的描述集合的定义？
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[提示]
N＋(N*)是所有正整数组成的集合，
而N是由0和所有的正整数组成的集合，所以
N比N＋(N*)多一个元素0.．
4∈M，则实数x＝________
3
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集合的含义与表示
一、实例分析
集合的含义
1.中国天然湖中，湖水面面积大于3000km2的
一般地, 指定的某些对象的全体称为集合.
1−(−1)
1
又∵ ∈A时，∴
根据集合中元素的特性求值的三个步骤
1−
1
2
[求解] ---- 根据集合中元素的确定性，解出
1
2
= ∈ A，
字母所有取
[检验] ---- 根据集合中元素的互异性，对解
=2∈A
∴根据集合中元素的互异性可知，A中另外
1
1
两个元素为−1， ，即A={2，−1， }
2
2
出的进行检验
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题型示范---集合概念的问题
例1：已知集合A含有两个元素 x＋4，x2＋x.
1
若2∈A，则 x＝________.
综上所述 x = 1
设方程组的解集A ＝{(x, y)|
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思考：结合练习思考元素与集合之间有
第三种关系吗？
[提示]
Z；
没有，对于一个元素a与一个集合A
而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果．
N.
练3．由1，2，3构成的集合与由|a|，2，1构
±3
成的集合是同一个集合，则a＝________
练4．已知集合M有两个元素3和x＋1，且
思考：N与N＋(N*)有何区别？
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(2)解: ＋＝2
x＋y＝2
例2：写出方程组
的解集；
x－y＝0
例3：若a, b应满足什么条件时，集合A={x |
ax + b=0}分别是有限集，无限集，空集
}
－＝0 ＝1
＝{(x, y)|
} ＝{(1, 1)}
＝1
(3)解: ∵A ＝{x | ax = -b}




①∴若a ≠ 0时，则 x＝－ ，∴A={－ }
集合的表示法
（1）列举法
把集合中的元素一一列举出来，
元素间用逗号分开，写在大括
号内。
格式：A= {x1, x2, x3, ⋯, xn }
例：用适当的方法表示下列集合：
（1）方程2−9=0的解的集合；
A={3, -3}
（2）所有小于10的素数；
B={2, 3, 5, 7}
（3）不等式 x < 5的解的集合；
4．常见的数集有哪些？分别用什么符号表示？
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⑴确定性:
集合中的元素必须是确定的.
如：比较小的数
⑵互异性：
确定性
无序性
集合的元素必须是不相同的.
如：方程x2-2x+1=0的解集
互异性
⑶无序性:
集合中的元素是无先后顺序的.
如: {1，2}与{2，1}
名师点析
1.确定性的作用是判断一组对象能否组成集合.
2.互异性的作用是警示做题后要检验的元素满足互异性.
（2）无限集
（2）所有小于10的素数；
B={2, 3, 5, 7}
（3）不等式 x < 5的解的集合；
M={x | x < 5}
含有无限个元素的集合
（3）空集
不含任何元素的集合，
记作：∅
如：方程2 + x + 9=0的
解的集合；
（4）小于10的所有有理数
N={x| x < 10，x ∈ Q }
（5）抛物线 y=x2-2x+2 上的所有的点；
北师大版 （必修1）
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Q={(x, y) | x<0, y<0}
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M={x | x<5}
（2）描述法
用确定的条件表示某些对象
是否属于这个集合的方法
格式：A= {元素︱元素共同特征}
（4）小于10的所有有理数
N={x ∈ Q | x<5}
（5）抛物线 y=x2-2x+2 上的所有的点；
P={(x, y) | y = x2 – 2x + 2}
（6）平面直角坐标系中第三象限所有的点
②∴ 若a＝0时，
(1)解:∵2∈A，
∴①若x＋4＝2，则 x＝－2，
∴x2+x=2，而元素有互异性，故舍去
∴②若x2＋x＝2，则 x＝1或 x＝－2(舍去)
当b=0，则0⋅x + 0 = 0恒成立， ∴ x ∈ R
当b≠0，则0⋅x + b = 0无意义， ∴ x ∈ ∅
∴ a ≠ 0 时，为有限集， a=0,b=0时，
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课堂练习
练1．“young”中的字母构成一个集合，该集
合中的元素有 5 个；“book”中的字母构成
一个集合，该集合中的元素有 3
个．
练2． (教材习题改编)用适当的符号填空
(1)
1
2
(2) 2 ∉
∈ R；
(3) |− 3| ∉
Q；
(4) 0 ∈
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题型示范---元素特性的应用
例4：设A为实数集，且满足条件：若a∈A，
1
1−
解: (2)∵若A为单元素集，∴a=
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归纳总结
1
3
集合的含义
指定的某些对象的全体称为集合
集合的表示方法
列举法和描述法
2
4
元素与集合的关系
元素与集合之间是属于（∈）和不
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知识梳理·探新知
1.集合与元素的概念是什么？
2.如何用字母表示集合与元素？
3.元素与集合之间有哪两种关系？
属于的关系（∉）
元素的特征
确定性，互异性，无序性
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元素的特性
整数组成的集合，简称
整数集， 记作：Z
自然数组成的集合，简
称自然数集，记作：N
自然数
集
正整数
集
正整数组成集合，简称
正整数集，记作：N+或
N+
整数集
实数组成的集合，简称
为实数集，记作：R
有理数
集
实数集
有理数组成的集全，简
称有理数集 记作：Q
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为无限集， a=0,b ≠ 0时，为空集
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