2017年高考(全国新课标)数学(文)大二轮复习(检测)专题整合突破专题五立体几何2-5-1a含答案

一、选择题
1．在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( )
答案D
解析由题目所给的几何体的正视图和俯视图，可知该几何体为半圆锥和三棱锥的组合体，如图所示，可知侧视图为等腰三角形，且轮廓线为实线，故选D.
2．[2016·重庆测试］某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.错误!B。

错误!
C.错误!
D.错误!
答案B
解析依题意,题中的几何体是由一个直三棱柱与一个三棱锥所组成的,其中该直三棱柱的底面是一个直角三角形(腰长分别为1、2）、高为1;该三棱锥的底面是一个直角三角形(腰长分别为1、2)、高为1,因此该几何体的体积为错误!×2×1×1＋错误!×错误!×2×1×1＝
错误!，选B 。

3．［2016·唐山统考］三棱锥P －ABC 中，PA⊥平面ABC 且PA ＝2，△ABC 是边长为错误!的等边三角形,则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A .4π3 B ．4π
C ．8π
D ．20π 答案 C
解析 由题意得,此三棱锥外接球即为以△ABC 为底面、以PA 为高的正三棱柱的外接球,因为△ABC 的外接圆半径r ＝错误!×错误!×错误!＝1，外接球球心到△ABC 的外接圆圆心的距离d ＝1,所以外接球的半径R ＝错误!＝错误!，所以三棱锥外接球的表面积S ＝4πR 2＝8π，故选C 。

4．［2016·武昌调研]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A．18＋2πB．20＋π
C．20＋π
2
D．16＋π
答案B
解析由三视图可知，这个几何体是一个边长为2的正方体割去了相对边对应的两个半径为1、高为1的错误!圆柱体，其表面积相当于正方体五个面的面积与两个错误!圆柱的侧面积的和,即该几何体的表面积S＝4×5＋2×2π×1×1×错误!＝20＋π,故选B。

5．［2016·陕西质检]某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为( )
A。

错误!B。

错误!
C.7
3
D．3
答案A
解析根据几何体的三视图,得该几何体是下部为直三棱柱,上部为三棱锥的组合体，如图所示．则该几何体的体积是V几何体＝V三
＋V三棱锥＝错误!×2×1×1＋错误!×错误!×2×1×1＝错误!。

故应选A。

棱柱
6．已知边长为1的等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C－AB－D的余弦值为错误!，若A、B、C、D、E在同一球面上，则此球的体积为( )
A．2πB.错误!π
C。

2πD。

错误!π
答案D
解析如图,取AB的中点为M，连接CM，取DE的中点为N，连接MN，CN，可知∠CMN即为二面角C－AB－D的平面角，利用余弦定理可求CN＝错误!＝CM,所以该几何体为正四棱锥，半径R ＝错误!，V＝错误!πR3＝错误!,故选D.
二、填空题
7．［2016·广西南宁检测]设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1、S2，体积分别为V1、V2.若它们的侧面积相等且错误!＝错误!，则错误!的值是________．
答案9 4
解析设甲、乙两个圆柱的底面半径分别为r1，r2，高分别为
h1，h2,则有2πr1h1＝2πr2h2,即r1h1＝r2h2，又V1
V2
＝错误!，∴错误!＝错误!，∴
错误!＝错误!，则错误!＝错误!2＝错误!.
8．[2016·山西太原一模]已知在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD,AB＝2AD＝2CD＝2，将直角梯形ABCD沿AC折叠成三棱锥D－ABC，当三棱锥D－ABC的体积取最大值时，其外接球的体积为________．
答案错误!π
解析当平面DAC⊥平面ABC时，三棱锥D－ABC的体积取最大值．此时易知BC⊥平面DAC，∴BC⊥AD，又AD⊥DC，∴AD⊥平面BCD，∴AD⊥BD，取AB的中点O，易得OA＝OB＝OC＝
OD＝1，故O为所求外接球的球心，故半径r＝1，体积V＝4
3
πr3＝错误!
π。

9．[2016·云南玉溪一模]表面积为60π的球面上有四点S、A、
B、C，且△ABC是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为错误!,若平面SAB⊥平面ABC，则三棱锥S－ABC体积的最大值为________．
答案27
解析设球O的半径为R，则有4πR2＝60π，解得R＝错误!.由于平面SAB⊥平面ABC，所以点S在平面ABC上的射影D在AB上，如图，当球心O在三棱锥S－ABC中,且D为AB的中点时，SD最大,三棱锥S－ABC的体积最大．设O′为等边三角形ABC的中心，则OO′⊥平面ABC，即有OO′∥SD。

由于OC＝15,OO′＝错误!，则CO′＝CO2－OO′2＝23,则DO′＝错误!,则△ABC是边长为6的等边三角形,则△ABC的面积为错误!×6×3错误!＝9错误!。

在直角梯形SDO′O中，作OM⊥SD于M，则OM＝DO′＝3,DM＝OO′＝错误!，∴SD＝DM＋MS＝错误!＋错误!＝3错误!，所以三棱锥S－ABC体积的最大值为错误!×9错误!×3错误!＝27。

三、解答题
10．[2016·达州一模]已知几何体A－BCED的三视图如图所示，
其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形,正视图为直角梯形,已知几何体A－BCED的体积为16.
（1）求实数a的值;
（2)将直角三角形△ABD绕斜边AD旋转一周，求该旋转体的表面积．
解（1）由该几何体的三视图知AC⊥平面BCED，且EC＝BC ＝AC＝4，BD＝a,体积V＝错误!×4×错误!＝16,所以a＝2.
（2）在Rt△ABD中，AB＝4错误!，BD＝2，所以AD＝6，
过点B作AD的垂线BH，垂足为点H，易得BH＝错误!，
该旋转体由两个同底的圆锥构成，圆锥底面半径为BH＝错误!.
所以圆锥底面周长为c＝2π·错误!＝错误!，两个圆锥的母线长分别为42和2，故该旋转体的表面积为S＝错误!×错误!(2＋4错误!）＝错误!。

11．［2016·河北五校联盟质检］如图，在四棱锥P－ABCD中,底面ABCD为直角梯形，AD∥BC,∠ADC＝90°，平面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点，PA＝PD＝2，BC＝错误!AD＝1，CD＝错误!,M 是棱PC的中点．
(1）求证：PA∥平面MQB；
（2)求三棱锥P－DQM的体积．
解(1)证明：连接AC,交BQ于点N，连接MN,CQ，
∵BC∥AD且BC＝错误!AD，
即BC∥AQ，BC＝AQ，∴四边形BCQA为平行四边形,且N为AC的中点,又点M是棱PC的中点，
∴MN∥PA，又∵PA⊄平面MQB，MN⊂平面MQB，则PA∥平面MQB.
(2）连接DM,则V P－DQM＝V M－PDQ，
∵平面PAD⊥底面ABCD，CD⊥AD，
∴CD⊥平面PAD，
∴点M到平面PAD的距离为错误!CD,
∴V P－DQM＝V M－PDQ＝错误!S△PDQ·错误!CD＝
错误!·错误!·QD·PQ·错误!CD＝错误!。

12．［2016·鹰潭二模］如图1所示，直角梯形ABCD，∠ADC ＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝错误!AB＝2，点E为AC的中点，将△ACD沿AC折起，使折起后的平面ACD与平面ABC垂直（如图2),在图2所示的几何体D－ABC中．
（1)求证：BC⊥平面ACD；
(2）点F在棱CD上,且满足AD∥平面BEF，求几何体F－BCE 的体积．
解(1)证明:在图1中，由题意知，AC＝BC＝2错误!，
所以AC2＋BC2＝AB2,所以AC⊥BC
因为E为AC的中点，连接DE，则DE⊥AC，
又平面ADC⊥平面ABC，
且平面ADC∩平面ABC＝AC,DE⊂平面ACD，从而ED⊥平面ABC,
所以ED⊥BC
又AC⊥BC，AC∩ED＝E，
学必求其心得，业必贵于专精
所以BC⊥平面ACD。

(2）取DC的中点F，连接EF，BF，
因为E是AC的中点，所以EF∥AD，
又EF⊂平面BEF,AD⊄平面BEF,所以AD∥平面BEF，
由（1）知，DE为三棱锥B－ACD的高，
因为三棱锥F－BCE的高h＝错误!DE＝错误!×错误!＝错误!，S△BCE＝错误!S△ABC＝错误!×错误!×2错误!×2错误!＝2，
所以三棱锥F－BCE的体积为：
V F－BCE＝错误!S△BCE·h＝错误!×2×错误!＝错误!。