人教A版高一数学必修一 2-1-2指数函数及其性质 学案

2.1.2指数函数的图象及性质（学案）
一、学习目标
1．理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法．
2．能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质． 二、自主学习
教材整理1 指数函数的定义；阅读教材P54，完成下列问题． 指数函数的定义
一般地，函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R .
三、合作探究
例1.(1)下列一定是指数函数的是( )
A ．y ＝a x
B ．y ＝x a (a >0且a ≠1)
C ．y ＝⎝⎛⎭
⎫12x D ．y ＝(a －2)a x
(2)函数y ＝(a －2)2a x 是指数函数，则( ) A ．a ＝1或a ＝3 B ．a ＝1 C ．a ＝3 D ．a >0且a ≠1
【自主解答】(1)A 中a 的范围没有限制，故不一定是指数函数；B 中y ＝x a (a >0且a ≠1)中
变量是底数，故也不是指数函数；C 中y ＝⎝⎛⎭⎫12x
显然是指数函数；D 中只有a －2＝1即a ＝3时为指数函数．
(2)由指数函数定义知⎩
⎪⎨⎪⎧
(a －2)2
＝1
a >0，且a ≠1，所以解得a ＝3. 【答案】 (1)C (2)C
归纳总结； 1．在指数函数定义的表达式中，要牢牢抓住三点：
(1)底数是大于0且不等于1的常数；(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上； (3)a x 的系数必须为1；
2．求指数函数的解析式常用待定系数法． 例2. 求下列函数的定义域和值域：
(1)y ＝1－3x ； (2)y ＝⎝⎛⎭
⎫23－|x|； (3)y ＝4x ＋2x ＋1
＋2. 【自主解答】 (1)要使函数式有意义，则1－3x ≥0，即3x ≤1＝30，因为函数y ＝3x 在R 上
是增函数，
所以x ≤0，故函数y ＝1－3x 的定义域为(－∞，0]．因为x ≤0，所以0<3x ≤1， 所以0≤1－3x <1.所以1－3x ∈[0,1)，即函数y ＝1－3x 的值域为[0,1)． (2)要使函数式有意义，则－|x |≥0，解得x ＝0，
所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫
23－|x |的定义域为{x |x ＝0}．
因为x ＝0，所以y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x |＝⎝⎛⎭⎫230＝1，即函数y ＝⎝⎛⎭
⎫23－|x |的值域为{y |y ＝1}． (3)因为对于任意的x ∈R ，函数y ＝4x ＋2x ＋1
＋2都有意义，所以函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2的定义域为R .
因为2x >0，所以4x ＋2x ＋
1＋2＝(2x )2＋2×2x ＋2＝(2x ＋1)2＋1>1＋1＝2，
即函数y ＝4x ＋2x ＋
1＋2的值域为(2，＋∞)．
归纳总结;1．函数y ＝a f (x )的定义域与y ＝f (x )的定义域相同． 2．函数y ＝a f (x )的值域的求解方法如下：
(1)换元，令t ＝f (x )；(2)求t ＝f (x )的定义域x ∈D ；
(3)求t ＝f (x )的值域t ∈M ；(4)利用y ＝a t 的单调性求y ＝a t ，t ∈M 的值域．
3．求与指数函数有关的函数的值域时，要注意与求其它函数(如一次函数、二次函数)值域的方法相结合，要注意指数函数的值域为(0，＋∞)，切记准确运用指数函数的单调性．
例3. (1)在同一坐标系中画出函数y ＝a x ，y ＝x ＋a 的图象，可能正确的是( )
(2)函数y ＝a
－|x |
(0＜a ＜1)的图象是( )
【自主解答】 (1)∵a 为直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距，对应函数y ＝x ＋a 单调递增， 又∵当a ＞1时，函数y ＝a x 单调递增，当0＜a ＜1时，函数y ＝a x 单调递减，
A 中，从图象上看，y ＝a x 的a 满足a ＞1，而直线y ＝x ＋a 的截距a ＜1，不符合以上两条；
B 中，从图象上看，y ＝a x 的a 满足0＜a ＜1，而直线y ＝x ＋a 的截距a ＞1，不符合以上两条；
C 中，从图象上看，y ＝a x
的a 满足a ＞1，而函数y ＝x ＋a 单调递减，不符合以上两条， ∴只有选项D 的图象符合以上两条，故选D.
(2)y ＝a －
|x |＝⎝⎛⎭⎫1a |x |，易知函数为偶函数，∵0＜a ＜1，∴1a
＞1，故当x ＞0时，函数为增函数，当x ＜0时，函数为减函数，当x ＝0时，函数有最小值，最小值为1，且指数函数为凹函数，故选A.
【答案】 (1)D (2)A
归纳总结：指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系． (1)在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小． (2)在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．
(3)无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．这一性质可通过x 取1时函数值的大小关系去理解，如下图所示的指数函数的底数的大小关系为0＜d ＜c ＜1＜b ＜a .
四、学以致用
1．(1)若函数f (x )是指数函数，且f (2)＝9，则f (x )＝________.
(2)已知函数f (x )＝(2a －1)x 是指数函数，则实数a 的取值范围是________.
【答案】 (1)3x (2)⎝⎛⎭⎫
12，1∪(1，＋∞) 2．求下列函数的定义域和值域：
(1)y ＝21x －3； (2)y ＝⎝⎛⎭⎫122x －x 2
. 【解】 (1)函数的定义域为{x |x ≠3}．
令t ＝1
x －3
，则t ≠0，∴y ＝2t >0且2t ≠1，故函数的值域为{y |y >0，且y ≠1}．
(2)函数的定义域为R ，令t ＝2x －x 2，则t ＝－(x －1)2＋1≤1，
∴y ＝⎝⎛⎭⎫12t ≥⎝⎛⎭⎫121＝12，故函数的值域为⎣⎡⎭
⎫12，＋∞. 3.定义一种运算：g ⊙h ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
g (g ≥h )h (g <h )，已知函数f (x )＝2x ⊙1，那么函数y ＝f (x －1)的图象是( )
【解析】 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x
(x ≥0)1(x <0)，∴f (x －1)＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x －1
(x ≥1)
1(x <1)，∴其图象为B ，故选B.
【答案】 B
五、自主小测
1．若函数f (x )是指数函数，且f (2)＝2，则f (x )＝( )
A ．(2)x
B ．2x C.⎝⎛⎭⎫12x D.⎝⎛⎭
⎫22x 2．当x ∈[－2,2)时，y ＝3－x
－1的值域是( )
A.⎝⎛⎦⎤－8
9，8 B.⎣⎡⎦⎤－8
9，8 C.⎝⎛⎭⎫19，9
D.⎣⎡⎦⎤19，9
3．已知1>n >m>0，则指数函数①y ＝m x ，②y ＝n x 的图象为( )
4．已知函数f (x )＝a －x
(a ＞0, 且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是________．
5．设f (x )＝3x ，g(x )＝⎝⎛⎭⎫13x
.
(1)在同一坐标系中作出f (x )，g(x )的图象；
(2)计算f (1)与g(－1)，f (π)与g(－π)，f (m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？ 参考答案
1.【解析】 由题意，设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，则由f (2)＝a 2＝2，得a ＝2，所以f (x )＝(2)x . 【答案】 A
2.【解析】 y ＝3－x －1，x ∈[－2,2)是减函数，∴3－
2－1<y ≤32－1，即－89
<y ≤8.
【答案】 A
3.【解析】由于0<m <n <1，所以y ＝m x 与y ＝n x 都是减函数，故排除A ，B ，作直线x ＝1与两个曲线
相交，交点在下面的是函数y ＝m x 的图象，故选C. 【答案】 C
4.【解析】 因为f (x )＝a －
x ＝⎝⎛⎭⎫1a x ，且f (－2)＞f (－3)，所以函数f (x )在定义域上单调递增，
所以1
a
＞1，
解得0＜a ＜1. 【答案】 (0,1)
5.【解】 (1)函数f (x )，g(x )的图象如图所示：
(2)f (1)＝31＝3，g (－1)＝⎝⎛⎭⎫13－1＝3，f (π)＝3π，g(－π)＝⎝⎛⎭⎫13－π＝3π，f (m )＝3m ，g(－m )＝⎝⎛⎭⎫13－m
＝3m .
从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y 轴对称．。