2021-2022学年山东省泰安十五中九年级(上)月考数学试卷(10月份)(五四学制)(附答案详解)

2021-2022学年山东省泰安十五中九年级（上）月考数学试卷（10月份）（五四学制）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1.如图，正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=k2
x
的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当y1>
y2时，x的取值范围是()
A. x<−2或x>2
B. x<−2或0<x<2
C. −2<x<0或0<x<2
D. −2<x<0或x>2
2.如图，点P在反比例函数y=1
x
(x>0)的图象上，且横坐标
为2.若将点P先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后
所得的像为点P′.则在第一象限内，经过点P′的反比例函数图
象的解析式是()
A. y=−5
x (x>0) B. y=5
x
(x>0) C. y=−6
x
(x>0) D. y=6
x
(x>0)
3.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=40，sin∠ABC=2
3
.则AB=
()
A. 20
B. 30
C. 40
D. 60
4.锐角A满足cosA=1
2
，利用计算器求∠A时，依次按键2ndFcos(1÷2)=，则计算器上显示的结果是()
A. 30
B. 45
C. 60
D. 75
5.已知反比例函数y=−12
x
，则()
A. y随x的增大而增大
B. 当x>−3且x≠0时，y>4
C. 图象位于一、三象限
D. 当y<−3时，0<x<4
6.如果变阻器两端电压不变，那么通过变阻器的电流y与电阻x的函数关系图象大致是
()
A. B.
C. D.
7.sin58°、cos58°、cos28°的大小关系是()
A. cos28°<cos58°<sin58°
B. sin58°<cos28°<cos58°
C. cos58°<sin58°<cos28°
D. sin58°<cos58°<cos28°
8.若反比例函数y=k−1
的图象经过点(−1,2)，则k的值是()
x
A. 1
B. −2
C. −1
D. 3
9.某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置AB
绕点O旋转到CD的位置.已知AO=4米，若栏杆的旋
转角∠AOD=31°，则栏杆端点A上升的垂直距离为
()
A. 4sin31°米
B. 4cos31°米
C. 4tan31°米
D. 4
米
sin31∘
10.如图，小丽为了测量校园里教学楼AB的高度.将测角仪CD
竖直放置在与教学楼水平距离为32m的地面上，若测角
仪的高度是1.5m，测得教学楼的顶部A处的仰角为30°，
则教学楼的高度约是()
A. 20m
B. 57m
C. 18.5m
D. 17m
11.下列计算错误的个数是()
①sin60°−sin30°=sin30°；
②sin245°+cos245°=1；
③(tan60°)2=1
；
3
④tan30°=cos30°
．
sin30∘
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
12.如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C
点处有一个山坡，山坡CD的坡度(或坡比)i=1：0.75，
山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD=45m，在坡顶D点
处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°，居民楼AB与山坡
CD的剖面在同一平面内，则居民楼AB的高度约为(参
考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53)()
A. 76.9m
B. 82.1m
C. 94.8m
D. 112.6m
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．
(1)斜边=______；
(2)∠B的对边=______；
(3)∠B的邻边=______；
(4)∠B的对边
=______．
斜边
14.如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底
部D处的俯角是45°，已知乙楼的高CD=20m，则甲楼的高AB的高度是______ m.(结果保留根号)
15.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，∠A=60°，则sinB=______，BC=______，
AC=______．
16.用计算器求得tan65°≈______(精确到0.01)．
17.如图，一次函数y1=ax与反比例函数y2=k
的图象交于A(1,1)，B(−1,−1)两点．
x
(1)若y1=y2，则x=______；
(2)若y1>y2，则x的取值范围是______；
(3)若ax<k
，则x的取值范围是______．
x
18.如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC//AB.BC长6米，坡角β为
45°，AD的坡角α为30°，则AD长为______米(结果保留根号)．
三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）
19.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∠ADC=45°，点D在BC上，AD=2√2，
求BD的长．
20.计算：
(1)sin260°−tan30°⋅cos30°+tan45°；
(2)sin266°+cos266°−tan27°⋅tan63°．
21.如图，根据图中数据完成填空或证明．
(1)在Rt△ABC中，∠A+∠B=______，请直接写出sinA与cosB的数量关系：______；
(2)将△ABC放大k倍(或缩小)得到相似△AʹBʹCʹ，则∠A=∠Aʹ，猜想sinA
______sinAʹ，cosA______cosA′，tanA______tanAʹ(选填“>”“<”或“=”).选择其一证明．
22.在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，求∠A的正弦值、余弦值和正切值．
23.如图，小明从P处出发，沿北偏东60°方向以70m/min的
速度步行6min后到达A处，接着向正南方向步行一段时
间后到达终点B，在B处观测到出发时所在的P处在北偏
西37°方向上，求小明步行的总路程．(精确到1m，参考
数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，√2≈
1.4，√3≈1.7)
24.写出下列问题中两个变量之间的函数表达式，并判断其是不是反比例函数．
(1)底边为3cm的三角形的面积y(cm2)随底边上的高x(cm)的变化而变化；
(2)一艘轮船从相距200km的甲地驶往乙地，轮船的速度v(km/ℎ)与航行时间t(ℎ)的
关系；
(3)在检修100m长的管道时，每天能完成10m，剩下的未检修的管道长y(m)随检修
天数x的变化而变化．
25.如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，AD=3m，坝高AE=DF=6m，坡角α=45°，
β=30°，求BC的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点
对称，
∴A、B两点关于原点对称，
∵点A的横坐标为2，
∴点B的横坐标为−2，
∵由函数图象可知，当−2<x<0或x>2时函数y1=k1x的图象在y2=k2
x
的上方，
∴当y1>y2时，x的取值范围是−2<x<0或x>2．
故选：D．
先根据反比例函数与正比例函数的性质求出B点坐标，再由函数图象即可得出结论．本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，能根据数形结合求出y1>y2时x的取值范围是解答此题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：因为点P在反比例函数y=1
x
(x>0)的图象上，且横坐标为2，
所以可知P(2,1
2
)，
将点P先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后所得的像为点P′的坐标为(4,3
2
).
设经过点P′的反比例函数的解析式为y=k
x (k≠0)，函数经过点P′(4,3
2
)，
∴3
2=k
4
，得k=6，
∴在第一象限内，经过点P′的反比例函数解析式为y=6
x
(x>0)．
故选D．
先求出点P的坐标，再根据平移规律得到点P′的坐标为(4,3
2
)，再用待定系数法确定反比例函数的比例系数k，求出函数解析式．
本题考查的是待定系数法求反比例函数解析式，点的平移变换，及反比例函数图象上点的坐标特征．
【解析】解：∵∠C=90°，
∴sin∠ABC=AC
AB =2
3
．
∵AC=40，
∴40
AB =2
3
，
∴AB=60，
故选：D．
根据正弦的定义得出AC与AB的关系，再根据AC=40得出AB即可．
本题考查了锐角三角函数的定义，掌握正弦、余弦、正切的定义是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵cosA=1
2
，
∴∠A=60°，
故选：C．
根据计算器即可求出答案．
本题考查三角函数的计算，解题的关键是正确利用计算器得出答案，本题属于基础题型．5.【答案】D
【解析】解：∵反比例函数y=−12
x
，
∴在每个象限内，y随x的增大而增大，故选项A错误；
该函数图象位于第二、四象限，故选项C错误；
当−3<x<0时，y>4，当x>0时，y<0，故选项B错误；
当y<−3时，0<x<4，故选项D正确；
故选：D．
根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
【解析】解：依题意，得电压(U)=电阻(x)×电流(y)，
(x>0,y>0)，
当U一定时，可得y=U
x
∴函数图象为双曲线在第一象限的部分．
故选：B．
(x>0,y>0)，函由物理公式可知，电压(U)=电阻(x)×电流(y)，当U一定时，y=U
x
数图象为双曲线在第一象限的部分．
本题考查了反比例函数的实际应用．关键是建立函数关系式，明确自变量的取值范围．7.【答案】C
【解析】解：sin58°=cos32°．
∵58°>32°>28°，
∴cos58°<cos32°<cos28°，
∴cos58°<sin58°<cos28°．
故选C．
先把正弦化成余弦，然后根据锐角三角函数值的变化规律：锐角余弦值随着角度的增大而减小进行排列大小．
本题考查了锐角三角函数的增减性，当角度在0°～90°间变化时，①正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；②余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)；③正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小).也考查了互余两角的三角函数之间的
关系．
8.【答案】C
的图象经过点(−1,2)，
【解析】解：∵反比例函数y=k−1
x
∴k−1=−1×2，解得k=−1．
故选：C．
，求出k的值即可．
直接把点(−1,2)代入反比例函数y=k−1
x
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定
适合此函数的解析式是解答此题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：过点D作DF⊥AB于点F，
则∠DFO=90°，
由题意可知：DO=AO=4米，∠AOD=31°，
∵sin∠AOD=DF
DO
，
∴DF=4sin31°(米)，
故选：A．
过点D作DF⊥AB于点F，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
本题考查了解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，属于基础题型．10.【答案】A
【解析】解：作CE⊥AB于E，
在Rt△ACE中，tan∠ACE=AE
CE
，
∴AE=CE⋅tan∠ACE=32×√3
3=32√3
3
，
∴AB=AE+EB=32√3
3
+1.5≈20(m)，
故选：A．
作CE⊥AB于E，根据正切的定义求出AE，解答即可．
本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
11.【答案】C
【解析】解：sin60°−sin30°=√32−12=√3−12，而sin30°=12，因此①是错误的； sin 245°+cos 245°=(√22)2+(√22)2=1，因此②是正确的； (tan60°)2=(√3)2=3，因此③是错误的；
tan30°=√33，cos30°sin30∘=√321
2=√3，因此④是错误的；
综上所述，错误的有①③④，共3个，
故选：C ．
根据特殊锐角三角函数值以及同角三角函数之间的关系逐个进行进行判断即可．
本题考查特殊锐角三角函数值以及同角三角函数之间的关系，掌握特殊锐角三角函数的值是正确计算的前提．
12.【答案】B
【解析】解：如图，由题意得，∠ADF =28°，CD =45，
BC =60，
在Rt △DEC 中，
∵山坡CD 的坡度i =1：0.75，
∴DE
EC =10.75=4
3， 设DE =4x ，则EC =3x ，由勾股定理可得CD =5x ，
又CD =45，即5x =45，
∴x =9，
∴EC =3x =27，DE =4x =36=FB ，
∴BE =BC +EC =60+27=87=DF ，
在Rt △ADF 中，
AF =tan28°×DF ≈0.53×87≈46.11，
∴AB =AF +FB =46.11+36≈82.1，
故选：B ．
构造直角三角形，利用坡比的意义和直角三角形的边角关系，分别计算出DE 、
EC 、BE 、DF 、AF ，进而求出AB ．
本题考查直角三角形的边角关系，掌握坡比的意义和直角三角形的边角关系是正确计算的前提．
13.【答案】c b a b
c
【解析】解：(1)斜边为c，故答案为：c；
(2)∠B的对边为b，
故答案为：b；
(3)∠B的邻边为a，
故答案为：a；
(4)∠B的对边
斜边=b
c
，
故答案为：b
c
．
根据直角三角形边角的意义可得答案．
本题考查锐角三角函数，直角三角形的边角意义，掌握直角三角形的边角名称及意义是正确解答的前提．
14.【答案】20√3
【解析】解：在Rt△ACD中，∵∠CAD=30°，CD=20m，
∴AD=CD
tan30∘=20×
√3
=20√3(m)，
在Rt△ABD中，∵∠BDA=45°，
∴AB=AD=20√3(m)，
故答案为：20√3．
在Rt△ACD中，由∠CAD=30°，CD=20m，可求出AD，再在Rt△ABD中，由∠BDA= 45°，得AB=AD即可．
考查直角三角形的边角关系，仰角、俯角的意义，理解和掌握锐角三角函数的意义以及仰角、俯角的意义是解决问题的前提．
15.【答案】1
2
3√33
【解析】解：∵∠C=90°，∠A=60°，
∴∠B=30°，
∴sinB=sin30°=1
，
2
∵AB=6，
AB=3，
∴AC=1
2
∴BC=√AB2−AC2=√62−32=3√3
，3√3，3．
故答案为：1
2
先求出∠B=30°，再利用含30°角的直角三角形的性质即可求解．
本题考查了勾股定理，含30°角的直角三角形，特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
16.【答案】2.14
【解析】解：tan65°≈2.14，
故答案为：2.14．
根据计算器即可求出答案．
本题考查三角函数的计算，解题的关键是正确利用计算器得出答案，本题属于基础题型．17.【答案】1或−1−1<x<0或x>1x<−1或0<x<1
的图象交于A(1,1)，B(−1,−1)两【解析】解：(1)∵一次函数y1=ax与反比例函数y2=k
x
点．
∴当y1=y2时，x=1或−1，
故答案为：x=1或−1；
(2)观察图象，当−1<x<0或x>1时，一次函数图象在反比例函数图象上方，
∴若y1>y2，则x的取值范围是−1<x<0或x>1，
故答案为：−1<x<0或x>1；
(3)观察图象，当x<−1或0<x<1时，一次函数图象在反比例函数图象下方，
∴若ax<k
，则x的取值范围是x<−1或0<x<1，
x
故答案为：x<−1或0<x<1．
(1)根据交点坐标即可求得；
(2)结合图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的值即可；
(3)结合图象，写出一次函数图象在反比例函数图象下方所对应的自变量的值即可．
本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，从函数的角度看，就是寻求使一次函数值大于(或小于)反比例函数值的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在双曲线上方(或下方)部分所有的点的横坐标所构成的集合．
18.【答案】6√2
【解析】
【分析】
本题考查解直角三角形的应用−坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥AB于F.首先证明DE=CF，解直角三角形求出CF，再根据直角三角形30度角的性质即可解决问题．
【解答】
解：过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥AB于F．
∵CD//AB，DE⊥AB，CF⊥AB，
∴DE=CF，
在Rt△CFB中，CF=BC⋅sin45°=3√2(米)，
∴DE=CF=3√2(米)，
在Rt△ADE中，∠A=30°，∠AED=90°，
∴AD=2DE=6√2(米)，
故答案为6√2．
19.【答案】解：在Rt△ADC中，
∵sin∠ADC=AC
AD =sin45°=√2
2
，
∴AC=AD⋅sin∠ADC=2√2×sin45°=2，∴DC=AC=2．
在Rt△ABC中，
∵tanB=AC
BC
，
∴BC =AC tanB =AC
tan30∘=2√3，
∴BD =BC −DC =2√3−2．
【解析】利用∠ADC 的正弦求出AC ，再根据∠ACD =45°求出CD =AC ，然后根据含30°角的直角三角形的性质即可求解．
本题考查了解直角三角形，含30°角的直角三角形的性质，主要利用了锐角三角形函数的定义，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
20.【答案】解：(1)原式=(√32)2−√33×√32+1 =34−12
+1 =54
； (2)∵sin 266°+cos 266°=1，tan27°⋅tan63°=1，
∴原式=1−1=0．
【解析】(1)根据特殊锐角的三角函数值，代入计算即可；
(2)由sin 266°+cos 266°=1，tan27°⋅tan63°=1，即可求出答案．
本题考查特殊锐角三角函数以及同角三角函数之间的关系，掌握特殊锐角的三角函数值以及同角三角函数之间的关系是正确解答的前提．
21.【答案】90° = = = =
【解析】解：(1)在Rt △ABC 中，∠A +∠B =90°；
∵sinA =a c ，cosB =a c
， ∴sinA =cosB ，
故答案为：90°，=；
(2)=；=；=；
证明 sinA =sinAʹ，
∵将△ABC 放大k 倍(或缩小)得到相似△AʹBʹCʹ，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴A′B′=ak ，B′C′=ck ，
∴sinA=a
c ，sinAʹ=ak
ck
=a
c
，
∴sinA=sinAʹ．
(1)根据三角函数的定义即可得到结论；
(2)根据相似三角形的判定和三角函数的定义即可得到答案．
本题考查了相似三角形的判定，三角函数的定义，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
22.【答案】解：∵∠C=90°，AB=13，BC=5，
∴AC=√AB2−BC2=√132−52=12．
∴sinA=BC
AB =5
13
，
cosA=AC
AB =12
13
，
tanA=BC
AC =5
12
．
【解析】根据勾股定理，可得AC，根据三角函数的定义，可得答案．
本题考查了锐角三角函数，正弦函数是对边比斜边，余弦函数是邻边比斜边，正切函数是对边比邻边．
23.【答案】解：如图，过点P作PC⊥AB于点C，
由题意，得PA=70×6=420(m)，∠A=60°，∠B=37°，
在Rt△PAC中，∠A=60°，
∴PC=PA⋅sin60°=42×√3
2
=210√3(m)，AC=PA⋅
cos60°=210(m)，
在Rt△BPC中，∠B=37°，tanB=PC
BC
，
∴BC=PC
tanB ≈210√3
0.75
=280√3(m)，
∴小明步行的总路程为：PA+AC+CB=420+210+280√3≈1106(m)．
【解析】过点P作PC⊥AB于点C，根据正弦的定义求出PC，根据余弦的定义求出AC，再根据正切的定义求出BC，计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用—方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数
的定义是解题的关键．
24.【答案】解：(1)根据三角形的面积公式可得：y=1
2×3×x=3
2
x，
所以不是反比例函数；
(2)∵vt=200，
∴两个变量之间的函数表达式为v=200
t
，是反比例函数；
(3)∵y+10x=100，
∴两个变量之间的函数表达式为y=100−10x，不是反比例函数．
【解析】(1)先根据三角形面积公式列出算式，再根据反比例函数的定义判断即可；
(2)先根据题意列出算式，再根据反比例函数的定义判断即可；
(3)先根据题意列出算式，再根据反比例函数的定义判断即可．
本题考查了列代数式和反比例函数的定义，能根据题意列出算式是解此题的关键，注意：
形如y=k
x
(k为常数，k≠0)的函数叫反比例函数．
25.【答案】解：过A点作AE⊥BC于点E，过D作DF⊥BC于点F，
则四边形AEFD是矩形，有AE=DF=6，AD=EF=3，
∵坡角α=45°，β=30°，
∴BE=AE=6，CF=√3DF=6√3，
∴BC=BE+EF+CF=6+3+6√3=9+6√3，
∴BC=(9+6√3)m，
答：BC的长(9+6√3)m．
【解析】过A点作AE⊥BC于点E，过D作DF⊥BC于点F，得到四边形AEFD是矩形，根据矩形的性质得到AE=DF=6，AD=EF=3，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，利用锐角
三角函数的概念求解．。