河北省衡水中学2020届高三上学期四调考试数学(文)试题 Word版含解析

2019-2020学年河北省衡水中学高三（上）四调数学试卷（文
科）
一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）
1.设集合}{1,2,3M =-，{}2
2,2N a a =++，且}{
3M N ⋂=，则实数a 的值为( )
A. 1或-1
B. -1
C. 1
D. 2
【答案】B 【解析】 【分析】
由A 与B 的交集，得到元素3属于A ，且属于B ，列出关于a 的方程，求出方程的解得到a 的值，经检验即可得到满足题意a 值． 【详解】∵A ∩B ＝{3}， ∴3∈A 且3∈B ， ∴a +2＝3或a 2+2＝3， 解得：a ＝1或a ＝﹣1，
当a ＝1时，a +2＝3，a 2+2＝3，与集合元素互异性矛盾，舍去； 则a ＝﹣1． 故选B
【点睛】此题考查了交集及其运算，以及集合元素的互异性，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2.已知AB 是抛物线22y x =一条焦点弦，4AB =，则AB 中点C 的横坐标是 ( )
A. 2
B.
3
2
C.
12
D.
52
【答案】B 【解析】 【分析】
先设A B ，两点的坐标，由抛物线的定义表示出弦长，再由题意，即可求出中点的横坐标. 【详解】设()()1122A ,B ,x y x y ，，C 的横坐标为0x ，则12
02
x x x +=
，
因为AB 是抛物线2
2y x =的一条焦点弦，所以121214AB x x p x x =++=++=，
所以123x x +=，故1203
22
x x x +==. 故选B
【点睛】本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，只需熟记抛物线的焦点弦公式即可求解，属于基础题型.
3.已知{}n a 是等比数列，且0n a >，243546225a a a a a a =＋＋，那么35a a ＋的值等于（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
【答案】A 【解析】
试题分析：由于{}n a 是等比数列，
，()
2
465a a a =，
()2
24354635225,a a a a a a a a ∴++=+=
又0n a >35+5a a ∴=.故选A. 考点：等比中项.
4.与双曲线22
1916
x y -=有共同的渐近线,且经过点(3,3)-的双曲线的一个焦点到一条渐
近线的距离是 ( ) A. 1 B. 2
C. 4
D. 8
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意首先求得双曲线方程，据此可确定焦点坐标，然后利用点到直线距离公式可得双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离.
【详解】设双曲线方程为22916
x y λ-=，
将点(3,3)-代入双曲线方程，
解得22
14,1494
x y λ=⇒-=.
从而所求双曲线方程的焦点坐标为5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭,一条渐近线方程为4
3
y x =， 即4x -3y =0，
2916
=+，
故选B .
【点睛】本题主要考查共焦点双曲线方程的求解，双曲线的焦点坐标、渐近线方程的求解，点到直线距离公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5.C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a r
，b r 满足2a AB =u u u r
r
，C 2a b A =+u u u r
r
r
，则下列结论正确的是（ ）
A. 1b =r
B. a b ⊥r
r
C. 1a b ⋅=r
r
D.
(
)
4C a b +⊥B u u u r r
r
【答案】D 【解析】
试题分析：2,2AB a AC a b ==+u u u r
u u u
r r
Q r r ,AC AB b ∴=+u u u r u u u r r ,b AC AB BC ∴=-=u u u r u u u r u u u r
r ．
由题意知12,cos1201212b a b a b ⎛⎫=⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭
o
r r r r r ．
()()
2422a b BC AB BC BC AB BC BC
∴+⋅=+⋅=⋅+u u u
r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r 2
12cos1202222402AB BC ⎛⎫=⋅+=⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭
o u u u r u u u r ．()
4a b BC ∴+⊥u u u r r r ．故D 正确．
考点：1向量的加减法；2向量的数量积；3向量垂直． 【此处有视频，请去附件查看】
6.存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（ ） A. (sin 2)sin f x x = B. 2(sin 2)f x x x =+ C. 2
(1)1f x x +=+ D. 2
(2)1f x x x +=+
【答案】D
【详解】A ：取
，可知，即
，再取
，可知
，即
，矛盾，∴A 错误；同理可知B 错误，C ：取
，可知 ，再取
，可知
，矛盾，∴C 错误，D ：令，
∴
，符合题意，故选D.
考点：函数的概念
7.已知双曲线2221(0)x y a a -=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为23
3
，P 为双曲
线右支上一点，且满足2
2
12415PF PF -=，则12PF F ∆的周长为（ ）
A. 25
B. 252+
C. 254+
D.
234+
【答案】C 【解析】
Q 双曲线()22210x y a a -=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为233
，2123
3
a a +∴=
，可得3,2a c ==，
12223
PF PF a -==，①
()()2
2
12121
2PF PF PF PF PF
PF -=-+
()()12121222345,25a PF PF PF PF PF PF =+=+=+=，② 由①②得
1253,53PF PF =+=-，12PF F ∴∆的周长为1212425PF PF F F ++=+，
故选C. 8.函数
为R 上的可导函数，其导函数为()f x '，且()3sin cos 6f x x x π⎛⎫
=⋅+
⎪⎝⎭
'，在ABC ∆中，()()1f A f B ='=，则ABC ∆的形状为
A. 等腰锐角三角形
B. 直角三角形
C. 等边三角形
D. 等腰钝
角三角形
【解析】 【分析】
求函数的导数，先求出'16f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，然后利用辅助角公式进行化简，求出A ，B 的大小即可判断三角形的形状． 【详解】函数的导数()'3'cos sin 6f x x x π⎛⎫
=
- ⎪⎝⎭
，
则3131'3'cos sin 3''666662262
f f f ππππππ⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫⎛⎫=-=-=-
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
则
11'262f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则'16f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
， 则()'3cos sin 2cos 6f x x x x π⎛
⎫=
-=+ ⎪⎝
⎭，
()3sin cos 2cos 3f x x x x π⎛
⎫=+=- ⎪⎝⎭，
()()'1f A f B ==，
()'2cos 16f B B π⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭，即1cos 62B π⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，
则6
3
B π
π
+
=
，得6
B π
=
，
()2cos 13f A A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即1cos 32A π⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，
则3
3
A π
π
-
=
，则23
A π=
， 则2366
C ππππ=-
-=， 则B C =，
即ABC V 是等腰钝角三角形， 故选D ．
【点睛】本题考查三角形形状的判断，根据导数的运算法则求出函数()f x 和()'f x 的解析
式是解决本题的关键．
9.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的左视图和俯视图，则该三棱锥的主视图可能是（ ）
A B. C. D.
【答案】A 【解析】
试题分析：由已知中锥体的侧视图和俯视图， 可得该几何体是三棱锥，
由侧视图和俯视图可得，该几何的直观图如图P-ABC 所示：
顶点P 在以BA 和BC 为邻边的平行四边形ABCD 上的射影为CD 的中点O ， 故该锥体的正视图是：A 考点：三视图
10.已知()sin 2019cos 201963f x x x ππ⎛⎫
⎛
⎫=+
+- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
的最大值为A ，若存在实数1x 、2x ，使得对任意实数x 总有()()12()f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为（ ） A.
2019
π
B.
42019
π
C.
22019
π
D.
4038
π
【答案】C 【解析】 【分析】
先化简()2sin 20193f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，得2A =，根据题意即求半个周期的A 倍． 【
详
解
】
解
：
依
题
意
()sin2019cos
cos2019sin
cos2019cos
sin2019sin
6
6
3
3
f x x x x x π
π
π
π
=+++
3sin2019cos2019x x =+,
2sin 20196x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
2A ∴=，22019T π=
， 12||22019
min T x x π
∴-==，
12A x x ∴-的最小值为22019
π
，
故选C ．
【点睛】本题考查了正弦型三角函数的图像与性质，考查三角函数恒等变换，属中档题．
11.已知椭圆()2
2
2101y x b b
+=<<的左焦点为F ，左、右顶点分别为A C ，，上顶点为B ．过
F B C ，，作圆P ，其中圆心P 的坐标为()m n ，．当0m n +>时，椭圆离心率的取值范围
为（ ）
A. 202⎛ ⎝⎭
，
B. 102⎛⎫
⎪⎝⎭
，
C. 302⎛ ⎝⎭
，
D.
605⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
， 【答案】A 【解析】 【分析】
分别求出线段F A 与AB 的垂直平分线方程，联立解出圆心坐标P ，利用m +n ＞0，与离心率
计算公式即可得出． 【详解】如图所示，
线段FC 的垂直平分线为：2
112
b
x -=，
线段BC 的中点122b ⎛⎫
⎪⎝⎭
，．
∵BC k b =-，
∴线段BC 的垂直平分线的斜率1k b
=
． ∴线段BC 的垂直平分线方程为：1122b y x b ⎛⎫-
- ⎪⎝⎭
=， 把2
112b x m --==代入上述方程可得：2212b b y n b
-==．
∵0m n +>，
222
1110b b b ----．
化为：21b b -01b <<， 解得
2
12
b <． ∴2
2102c e c b a ⎛- ⎝⎭
==，． 故选：A ．
【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及简单几何性质、线段的垂直平分线方程、三角形外心性质，离心率，考查了推理能力与计算能力，属于中档.
12.设()()
2
2
D 22x x a e a
a =-+-++,其中 2.71828e ≈，则D 的最小值为( )
A.
2 B.
3 C.
21+
D.
31+
【答案】C 【解析】
分析：由2()(2)x x a e a -+-表示两点(,)x
C x e 与点(,2)A a a 的距离，而点A 在抛物线2
4y x =上，抛物线的焦点(1,0)F ，准线为1x =-，则D 表示A 与C 的距离和A 与准线的距离的和加上1，由抛物线的定义可得D 表示A 与C 的距离和加上1，画出图象，当
,,F A C 三点共线时，可求得最小值.
详解：由题意0a ≥，2()(2)2x D x a e a a =-+-++， 由2()(2)x x a e a -+-表示两点(,)x
C x e 与点(,2)
A a a 的
距离，
而点A 在抛物线2
4y x =上，抛物线的焦点(1,0)F ，准线为1x =-， 则D 表示A 与C 的距离和A 与准线的距离的和加上1， 由抛物线的定义可得D 表示A 与C 的距离和加上1，
由图象可知,,F A C 三点共线时，且QF 为曲线x
y e =的垂线，此时D 取得最小值， 即Q 为切点，设(,)m
m e ，
由011
m m e e m -⋅=--，可得21m m e +=，
设()2m
g m m e
=+，则()g m 递增，且(0)1g =，可得切点(0,1)Q ，
即有112FQ +==，则D 的最小值为21+，故选C.
点睛：本题考查直线与抛物线的综合应用问题，解答中注意运用两点间的距离公式和抛物线的定义，以及三点共线等知识综合运用，着重考查了转化与化归思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13.南北朝时，张邱建写了一部算经，即《张邱建算经》，在这本算经中，张邱建对等差数列的研究做出了一定的贡献．例如算经中有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给”，则某一等人比其下一等人多得________斤金．（不作近似计算） 【答案】7
78
【解析】 【分析】
根据题意将毎等人所得的黄金斤数构造等差数列，设公差为d ，根据题意和等差数列的前n 项和公式列出方程组，求出公差d 即可得到答案．
【详解】设第十等人得金1a 斤，第九等人得金2a 斤，以此类推，第一等人得金10a 斤， 则数列{}n a 构成等差数列，设公差为d ，则每一等人比下一等人多得d 斤金，
由题意得89101234
43a a a a a a a ++=⎧⎨+++=⎩，即113244
463a d a d +=⎧⎨+=⎩，
解得778
d =
， 所以每一等人比下一等人多得斤金
778
． 【点睛】本题主要考查了等差数列的定义、前n 项和公式在实际问题中的应用，以及方程思想，属于中档题．
14.已知直线l 经过抛物线2
:4
x C y =的焦点F ，与抛物线交于A 、B ，且8A B x x +=，点D
是弧AOB （O 为原点）上一动点，以D 为圆心的圆与直线l 相切，当圆D 的面积最大时，圆D 的标准方程为_____． 【答案】()()2
2
445x y -+-= 【解析】
【分析】
作出图形，利用两点间的斜率公式得出直线AB的斜率，可得出直线l的方程，再利用当点D到直线l的距离最大时，圆D的面积最大，由此求出点D的坐标，并计算出点D到直线l 的距离，作为圆D的半径，由此可得出圆D的标准方程.
【详解】抛物线的标准方程为24
x y
=，抛物线的焦点坐标为()
0,1
F，
直线AB的斜率
()
22
1
42
4
A B
A B A B
A B A B
x x
y y x x
k
x x x x
-
-+
====
--
，
所以，直线l的方程为21
y x
=+，即210
x y
-+=.
当点D到直线l的距离最大时，圆D的面积最大，如下图所示：
设点
2
,
4
t
D t
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，Q点D在直线l的下方，则
2
210
2
t
t-+>，
点D到直线l的距离为
()
2
2
1
2154
44
55
t
t t
d
-+--
==，当4
t=时，d5
此时，点D的坐标为()
4,4，因此，圆D的标准方程为()()
22
445
x y
-+-=.
故答案为()()
22
445
x y
-+-=.
【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，同时也考查了抛物线上一点到直线距离的最值问题，解题的关键在于将问题转化为二次函数的最值问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
15.如图（1），在等腰直角ABC ∆中，斜边4AB =，D 为AB 的中点，将ACD ∆沿CD 折叠得到如图（2）所示的三棱锥C A BD '-，若三棱锥C A BD '-的外接球的半径为5，则
A D
B '∠=_________.
图（1） 图（2）
【答案】23
π
【解析】 【分析】
5分析即可解决．
【详解】解：球是三棱锥C ﹣A 'BD 的外接球，所以球心O 到各顶点的距离相等，如图． 根据题意，CD ⊥平面A 'BD ，
取CD 的中点E ，A 'B 的中点G ，连接CG ，DG ， 因为A 'D ＝BD ，CD ⊥平面A 'BD ， 所以A '和B 关于平面CDG 对称，
在平面CDG 内，作线段CD 的垂直平分线，则球心O 在线段CD 的垂直平分线上，设为图中的O 点位置，过
O 作直线CD 的平行线，交平面A 'BD 于点F ， 则OF ⊥平面A 'BD ，且OF ＝DE ＝1， 因为A 'F 在平面A 'BD 内，所以OF ⊥A 'F ， 即三角形A 'OF 为直角三角形，且斜边OA '＝R 5=
∴A 'F 2251R OF =-=-=2，
所以，BF ＝2，
所以四边形A 'DBF 为菱形，
又知OD ＝R ，三角形ODE 为直角三角形， ∴OE 2251R DE =
-=-=2，
∴三角形A 'DF 为等边三角形， ∴∠A 'DF 3π
=
，
故∠A 'DB 23π
=，
故填：23
π．
【点睛】本题考查了三棱锥的外接球的问题，找到球心的位置是解决本题的关键．属于中档题．
16.已知ABC ∆的三边分别为a ，b ，c ，所对的角分别为A ，B ，C ，且满足
113a b b c a b c
+=++++，且ABC ∆的外接圆的面积为3π，则()()cos24sin 1f x x a c x =+++的最大值的取值范围为__________．
【答案】(]12,24 【解析】
由ABC ∆的三边分别为a ，b ，c 可得：
113a b b c a b c +=++++，3a b c a b c a b b c
+++++=++ 1c a a b b c
∴+=++ 可知：()()()()c b c a a b a b b c +++=++
222ac a c b =+-
2221
cos 22
a c
b B a
c +-∴==
，3B π= 23R ππ=Q ，3R =2sin sin sin a b c
R A B C
∴
=== 23a A ∴=，3c C =
)233 23sin sin 23sin sin 23sin cos 322a c A C A A A A π⎤⎛⎫⎫
+=+=+-=+ ⎪⎪⎥⎝⎭⎭⎦
6sin 6A π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
203
A π<<Q 56
6
6
A π
π
π∴
<+
<
36sin 66A π⎛
⎫∴<+≤ ⎪⎝
⎭
可知3? 6a c <+≤
()()()2
2
2sin 22f x x a c a c ⎡⎤=--++++⎣⎦
1sin 1x Q -≤≤
可知当sin 1x =时，()()4max f x a c =+
()12424a c ∴<+≤
则()()241f x cos x a c sinx =+++的最大值的取值范围为(]
1224，
点睛：本题主要考查了三角函数与解三角形综合题目，需要学生有一定计算能力，并能熟练运用公式进行化简求值，在解答此类题目时往往将边的范围转化为求角的范围问题，利用辅助角公式进行化简，本题还是有一定难度．
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17.已知等差数列{}n a 满足：3
577,26a a a =+=，数列{}n a 的前n 项和为n S .
（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； （2）令2
4
()1
n n b n N a *=
∈-，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =+；22n S n n =+（2）1
n n
T n =+ 【解析】 【分析】
（1）利用等差数列的通项公式列1,a ,d 的方程组求解{}n a 再求前n 项和公式即可得出． （2）变形()22441111211n n
b a n n n ===--++-，利用裂项相消求和
【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d , ∵37a =,5726a a +=,
∴1127
{21026
a d a d +=+=,解得13a =,2d =,
∴()32121n
a n n =+-=+;
()213222
n n n S n n n -=+⨯=+.
（2）()2244111
1211n n
b a n n n ===--++-, ∴11111111223111
n n T n n n n =-
+-+⋅⋅⋅+-=-=+++. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及其求和公式，考查裂项相消求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18.如图,在平面四边形ABCD 中,已知AB=BC=CD=2，AD=2(1)2cos A C -的值;
(2)记△ABD 与△BCD 的面积分别是S 1与S 2,求22
12S S +的最大值,
【答案】（1）12；(2)
23
2
. 【解析】
【详解】试题分析：(1)在∆ABD ，∆BCD 中,分别用余弦定理,列出等式,2cos cos A C -
的值;(2)利用(1)的结果,得到22
12s s +是关于cos A 的二次函数,利用三角形两边之和大于第
三边,两边之差小于第三边,求出BD 的范围,由BD 的范围求出cos A 的范围,再求出
22
12s s +的最大值.
试题解析：（1）在∆ABD 中：222BD =AB +AD -2AB AD cosA ⨯⨯⨯ =12-82cos ;A 在∆BCD 中：222BD =BC 2cos 88cos CD BC CD C C +-⨯⨯⨯=- 所以12-82cos 88cos A C =-1
2cos cos 2
A C -=
； （2）由题意2
2
211AB AD sin 8sin ,2s A A ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭
2
222
1sin 4sin ;2s CB CD C C ⎛⎫
=⨯⨯= ⎪⎝⎭
所以：2222
128sin 4sin s s A C +=+ (
)(
)
2
2
=81-cos 41cos A C +- 22=12-8cos 4cos A C -
2
21=12-8cos 42cos 2A A ⎫--⎪⎭
2=-16cos 42cos 11A A ++
2
223=-16cos 2
A ⎛-+ ⎝⎭
224,216BD BD <<∴<<Q ，
21282cos 16A ∴<-<，解之得：25cos 28
A << 所以当22cos -184A ⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭
时，()
22
12max
23
2
s s +=
. 点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则：（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.
19.已知抛物线C 的方程()2
20y px p =>，焦点为F ，已知点P 在C 上，且点P 到点F 的
距离比它到y 轴的距离大1. （1）试求出抛物线C 的方程；
（2）若抛物线C 上存在两动点,M N （,M N 在对称轴两侧），满足OM ON ⊥（O 为坐标原点），过点F 作直线交C 于,A B 两点，若//AB MN ，线段MN 上是否存在定点E ，
使得
·4EM EN AB
=恒成立？若存在，请求出E 的坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】(1) 2
4y x =(2)存在，且坐标为()4,0 【解析】 【分析】
（1）由P 到点F 的距离比它到y 轴的距离大1，结合抛物线定义可得
12
p
=，从而可得结果；（2）设()22
121221,,,44y y M y N y y y ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，结合OM ON ⊥，可得直线()12
4
:4MN y x y y =
-+，直线()1AB y k x =-：，与C 联立，利用弦长公式求得
122211141AB y y k k ⎛
⎫=+
-=+ ⎪⎝⎭
若点E 存在，设点E 坐标为()00,x y ，可得
200241·116y EM EN y k k ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝
⎭，·4EM EN AB =时，2
0041616y y k -+=，从而可
得结果.
【详解】（1）因为P 到点F 的距离比它到y 轴的距离大1，由题意和抛物线定义，
12
p
=，所以抛物线C 的方程为2
4y x =，
（2）由题意，0MN k ≠，
设()22
121221,,,44y y M y N y y y ⎛⎫⎛⎫
> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
由OM ON ⊥，得1216y y =-，直线12
4
:MN k y y =
+，
2111244y y y x y y ⎛
⎫-=- ⎪+⎝⎭
整理可得()1244y x y y =-+， 直线:AB ①若斜率存在，设斜率为(),1k y k x =-，与C 联立得
2440ky y k --=，
122211141AB y y k k ⎛
⎫=+
-=+ ⎪⎝⎭
， 若点E 存在，设点E 坐标为()00,x y ，
()01202211
·11EM EN y y y y k k
=+
-+-()()
2
120120211y y y y y y k ⎛⎫=+--++ ⎪⎝⎭
2
00241116y y k k ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝
⎭，
·4EM EN AB
=时，2
041616y y k
-+
=， 解得00y =或04
y k
=
（不是定点，舍去） 则点E 为()4,0经检验，此点满足2
4y x <，所以在线段MN 上，
②若斜率不存在，则4,?4?
416AB EM EN ===， 此时点()4,0E 满足题意， 综合上述，定点E 为()4,0.
【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系以及解析几何中的存在性问题，属于难题.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径.
20.椭圆()222210x y E a b a b +=：＞＞5
P （0，1）做斜率为k 的直线l ，椭
圆E 与直线l 交于A ，B 两点，当直线l 垂直于y 轴时33AB = （1）求椭圆E 的方程；
（2）当k 变化时，在x 轴上是否存在点M （m ，0），使得△AMB 是以AB 为底的等腰三角形，若存在求出m 的取值范围，若不存在说明理由．
【答案】(Ⅰ) 22
194
x y +=；(Ⅱ)见解析．
【解析】 【分析】
（Ⅰ）52
249b a =，于是椭圆方程为22
22149
x y a a +=．有根据题意得
到椭圆过点33⎫⎪⎪
⎝⎭
，将坐标代入方程后求得29a =，进而可得椭圆的方程．（Ⅱ）假设存在点(),0M m ，使得AMB ∆是以AB 为底的等腰三角形，则点M 为线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点．由题意得设出直线AB 的方程，借助二次方程的知识求得线段AB 的中点
C 的坐标，进而得到线段AB 的垂直平分线的方程，在求出点M 的坐标后根据基本不等式
可求出m 的取值范围．
【详解】5
所以22513
c b a a =-=
，整理得2
249b a =． 故椭圆的方程为22
221
49
x y a a +=．
由已知得椭圆过点33⎫
⎪⎪⎝⎭
，
所以
229
27144a a
+=，解得29a =， 所以椭圆的E 方程为22
194
x y +=．
（Ⅱ）由题意得直线l 的方程为1y kx =+．
由221
19
4y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得()224918270k x kx ++-=，
其中2221849()427()432(31)0k k k ∆=+⨯⨯=+>+． 设()()1122,,,A x y B x y ，AB 的
中点()00,C x y
则121222
1827
,4949k x x x x k k +=-
=-++， 所以1202
9249x x k
x k +-==+， ∴002
4
149y kx k =+=+，
∴点C 的坐标为2294,4949k C k k -⎛⎫
⎪++⎝⎭
．
假设在x 轴存在点(),0M m ，使得AMB ∆是以AB 为底的等腰三角形， 则点(),0M m 为线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点． ①当0k ≠时，则过点C 且与l 垂直的直线方程2
21944949k y x k k k ⎛⎫
=-
++ ⎪++⎝⎭
， 令0y =，则得
2
55
4499k x m k k k
==-
=-
++．
若0k >，则5
5
4124
929k
k k
k
≤
=
+⨯， ∴5
012
m -
≤<． 若0k <，则555
441299k k k k =-≥-
+--，
∴5
012
m <≤．
②当0k =时，则有0m =． 综上可得551212
m -
≤≤． 所以存在点M 满足条件,且m 的取值范围是55,1212⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
.
【点睛】求圆锥曲线中的最值或范围问题时，常用的方法是将所求量表示成某个参数的代数式的形式，然后再求出这个式子的最值或范围即可．求最值或范围时一般先考虑基本不等式，此时需要注意不等式中等号成立的条件；若无法利用基本不等式求解，则要根据函数的单调性求解．由于此类问题一般要涉及到大量的计算，所以在解题时要注意计算的合理性，合理利用变形、换元等方法进行求解．
21.设抛物线Γ的方程为22y px =，其中常数0p >，F 是抛物线Γ的焦点. （1）若直线3x =被抛物线Γ所截得的弦长为6，求p 的值； （2）设A 是点F 关于顶点O 的对称点，P 是抛物线Γ上的动点，求
||
||
PA PF 的最大值； （3）设2p =，1l 、2l 是两条互相垂直，且均经过点F 的直线，1l 与抛物线Γ交于点A 、B ，
2l 与抛物线Γ交于点C 、D ，若点G 满足4FG FA FB FC FD =+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，求点G 的轨迹方
程.
【答案】（1）3
2
p =；（22；（3）23y x =-. 【解析】 【分析】
（1）当3x =时，代入抛物线方程，求得y ，可得弦长，解方程可得p ；
（2）求得A 的坐标，设出过A 的直线为()2
p
y k x =+，tan k α=，联立抛物线方程，若要
使
||
||
PA PF 取到最大值，则直线和抛物线相切，运用判别式为0，求得倾斜角，可得所求最大值；
（3）求得(1,0)F ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，4(D x ，4)y ，()G x y ,，设1:(1)l y k x =-，联立抛物线方程，运用韦达定理和两直线垂直斜率之积为-1的条件，结合
向量的坐标表示，和消元法，可求得轨迹方程
【详解】（1）由3x =可得6y p =±，可得266p =，解得3
2
p =； （2）A 是点(
2
p
F ，0)关于顶点O 的对称点，可得(2p A -，0)，
设过A 的直线为()2
p
y k x =+，tan k α=，
联立抛物线方程可得22
22
2
(2)04
k p k x k p p x +-+=， 由直线和抛物线相切可得△2242(2)0k p p k p =--=，解得1k =±， 可取1k =，可得切线的倾斜角为45︒， 由抛物线的定义可得
||11
||sin(90)cos PA PF αα
==︒-，而α的最小值为45︒， ||
||
PA PF 2； （3）由2
4y x =，可得(1,0)F ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，4(D x ，4)y ，()G x y ,，
设1:(1)l y k x =-，联立抛物线2
4y x =，可得2
2
2
2
(24)0k x k x k -++=，
即有122
42x x k +=+
，1212
4
()2y y k x x k k +=+-=， 由两直线垂直的条件，可将k 换为1
k
-，可得
23424x x k +=+，344y y k +=-， 点G 满足4FG FA FB FC FD =+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，
可得4(x ，1234)(4y x x x x =+++-，1234)y y y y +++，
即为2
12342
4
444x x x x x k k =+++-=+
①，
12344
44y y y y y k k
=+++=-+
②， 联立①②式消元可得222
211()22y k k x k k
=-=+-=-，
则G 的轨迹方程为22y x =-
【点睛】本题考查抛物线的定义、方程、性质，直线和抛物线的位置关系，判别式和韦达定理的具体运用，向量的坐标表示，运算及化简求值能力，属于中档题 22.已知函数()()()2211
2ln 1ln 242
f x x x ax x x =
----. （1）讨论()f x 的单调性.
（2）试问是否存在(]
,a e ∈-∞，使得()13sin 44
a f x π
>+对[)1,x ∈+∞恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)见解析；(2) 存在；a 的取值范围为(]
2,e . 【解析】 【分析】
（1）()()()ln ln ln 1f x x x a x a x x a x =-+-=--'，()0,x ∈+∞，
所以()0f x '=得12,x a x e ==，所以通过对a 与0,e 的大小关系进行分类讨论得()f x 的单调性；
(2)假设存在满足题意的a 的值，由题意需()min 13sin 44
a f x π
>+
，所以由(1)的单调性求()min f x 即可；
又因为()13sin 44
a f x π
>+
对[)1,x ∈+∞恒成立，所以可以考虑从区间[)1,+∞内任取一个x 值代入，解出a 的取值范围，从而将(],a e ∈-∞的范围缩小减少讨论.
【详解】解：（1）()()()ln ln ln 1f x x x a x a x x a x =-+-=--'，()0,x ∈+∞. 当a e =时，()()()ln 10f x x e x '=--≥，()f x 在()0,∞+上单调递增 当0a ≤时，0x a ->，()f x 在()0,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增 当0a e <<时，()f x 在(),a e 上单调递减，在()0,a ，(),e +∞上单调递增；
当a e >时，()f x 在(),e a 上单调递减，在()0,e ，(),a +∞上单调递增.
（2）假设存
(],a e ∈-∞，使得()13sin 44
a f x π
>+对[)1,x ∈+∞恒成立.
则()31123sin 444a f a π=->+，即8sin
1504a a π
-->， 设()8sin 154x
g x x π=--，则存在(],x e ∈-∞，使得()0g x >， 因为()8cos
044
x
g x ππ='->，所以()g x 在(],x e ∈-∞上单调递增， 因为()20g =，所以()0g x >时2x >即2a >. 又因为()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立时，需()min 13sin 44
a f x π>+， 所以由（1）得：
当a e =时，()f x 在[
)1,+∞上单调递增，所以()()min 33
1=2=244
f x f a e =--， 且3123sin 444
e e π
-
>+成立，从而a e =满足题意. 当2e a <<时，()f x 在(),a e 上单调递减，在[)1,a ，(),e +∞上单调递增，
所以()()2
113sin ,44
13sin ,444a f e a f e ea ππ⎧
>+⎪⎪⎨⎪=->+⎪⎩
所以2
2,4sin 1204a a ea e π>⎧⎪⎨--->⎪⎩
（*） 设()()24sin 124
2x
h x ex e x e π=---<<，()4cos
04
4
x
h x e π
π=-
'>，则()h x 在()
2,e 上单调递增，
因为()2
28130h e e =-->，
所以()h x 的零点小于2，从而不等式组（*）的解集为()2,+∞， 所以2x e <<即2e a <<.
综上，存在(]
,a e ∈-∞，使得()13sin 44
a f x π
>+对[)1,x ∈+∞恒成立，且a 的取值范围为(]
2,e .
【点睛】求可导函数()f x 的单调区间的一般步骤是： （1）求定义域； （2）求()f x '；
（3）讨论()f x '的零点是否存在；若()f x '的零点有多个，需讨论它们的大小关系及是否在定义域内；
（4）判断()f x '在每个区间内的正负号，得()f x 的单调区间. 当()f x a >在区间D 上恒成立时，需()min f x a >.。