2023-2024学年云南省部分校高一数学(下)6月考试卷附答案解析

2023-2024学年云南省部分校高一数学（下）6月考试卷
试卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后：再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一册占30%，必修第二册第六、七、八、九章占70%。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合(){}2log 52A x x =+≥，{}
2
450B x x x =+-≤，则A B = （
）
A.{}
11
x x -≤≤ B.{}
15
x x -≤≤ C.{}10
x x -≤< D.{}
15x x ≤≤2.设l ，m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列命题正确的是（）
A.若l α∥，m β∥，αβ∥，则l m ∥
B.若αβ⊥，l α∥，m β∥，则l m
∥C.若直线m α⊂，n α⊂，且l m ⊥，l n ⊥，则l α
⊥D.若l ，m 是异面直线，l α⊂，m β⊂，且l β∥，m α∥，则αβ
∥3.为了解中学生课外阅读情况，现从某中学随机抽取100名学生，收集了他们一周内的课外阅读时间：一周内课外阅读时间/小时012345≥6人数3
10
20
17
20
237
这100名学生的一周内课外阅读时间的70%分位数是（
）
A.4.5
B.5
C.5.5
D.6
4.在ABC △中，1
cos 3
C =
，3AC =，AB =，则ABC △的面积为（）
A. B. C.
3
D.1
5.在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在AD 上，且2AE ED = ，则BE =
（）
A.1233
AB AC -
B.1233
AB AC
-+
C.2133
AB AC -
D.2133
AB AC
-+
6.已知样本数据12200,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数为14，样本数据12600,,,y y y ⋅⋅⋅的平均数为a ，若样本数据
12200,,,x x x ⋅⋅⋅，12600,,,y y y ⋅⋅⋅的平均数为1a +，则a =（
）
A.12
B.10
C.2
D.11
7.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1OC 的中点，则异面直线1A E 与1BD 所成角的余弦值为（）
A.
3
B.
4
C.
9
D.
3
8.定义[]x 为不超过x 的最大整数，如[]0.11-=-，[]0.50=，[]2.32=，[]22=.已知函数()f x 满足：对任意x ∈R .()()22f x f x +=.当[]0,2x ∈时，()22f x x x =-，则函数()()()g x f x f x =-⎡⎤⎣⎦在
[]4,4-上的零点个数为（
）A.6
B.8
C.9
D.10
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设复数1i z m m =-+，m ∈R ，下列结论正确的是（）
A.若z 在复平面内对应的点在第二象限，则1m >
B.若1z >，则z 在复平面内对应的点在第二象限
C.
1i
z
z -+是实数D.复数z 的实部大于虚部
10.已知a ，b 均为正数，且251a b +=，则下列结论一定正确的是（）
A.
11a b
> B.
91
4a b a b
+++的最小值是16
C.ab 的最大值是
140
D.2
2
8501
a b +≥11.已知三棱锥P ABC -的所有棱长都是6，D ，E 分别是三棱锥P ABC -外接球和内切球上的点，则（
）
A.三棱锥P ABC -的体积是
B.三棱锥P ABC -内切球的半径是
66
C.DE 长度的取值范围是
D.三棱锥P ABC -外接球的体积
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.某中学高一年级共有学生900人，其中女生有405人，为了解他们的身高状况，用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为n 的样本，若男生样本量为33，则n =__________.
13.已知向量()2,2a = ，4a b ⋅= ，则向量b 在a
方向上的投影向量的坐标为__________.
14.如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AC AA ==AB BC ==P 是线段1A B 上
一动点，则1AP PC +的最小值为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）
已知函数()()ππsin cos 066f x x x a ωωω⎛⎫⎛⎫=-+--> ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
的最小正周期为π.（1）求ω；
（2）求()f x 图象的对称轴方程；（3）若π24f x ⎛
⎫+
⎪⎝
⎭的一个零点为π3
，求a 的值.16.（15分）
已知()()
4
27a
a f x x
-=-为幂函数.
（1）求函数(
)
21x
f a ++的值域；（2）若关于x 的不等式()31lo
g f f x m x ⎛⎫
-<
⎪⎝⎭
在[]3,9上有解，求m 的取值范围.17.（15分）
近年来，由于互联网的普及，直播带货已经成为推动消费的一种营销形式.某直播平台工作人员在问询了解了本平台600个直播商家的利润状况后，随机抽取了100个商家的平均日利润（单位：百元）进行了统计，所得的频率分布直方图如图所示.
（1）求m 的值，并估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.
（2）以样本估计总体，该直播平台为了鼓励直播带货，提出了两种奖励方案，一是对平均日利润超过78百元的商家进行奖励，二是对平均日利润排名在前1
3
的商家进行奖励，两种奖励方案只选择一种，你觉得哪种方案受到奖励的商家更多?并说明理由.18.（17分）
记ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知11cos cos 22c A b a C ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭.（1）求角C 的大小；
（2）若3c =，求a b -的取值范围.19.（17分）
如图①所示，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，D ，E 分别是AC ，
AB 上的点，且DE BC ∥，
236AC BC DE ===.将ADE △沿DE 折起到1A DE △的位置，使1A C CD ⊥，如图②所示.M 是线
段1A D 的中点，P 是1A B 上的点，EP ∥平面1A CD .（1）求
11A P
A B
的值.（2）证明：平面BCM ⊥平面1A BE .（3）求点P 到平面BCM 的距离
.
高一数学月考试卷参考答案
1.A 因为{}1A x x =≥-，{}51B x x =-≤≤，所以{}
11A B x x =-≤≤ .2.D 对于A ，若l α∥，m β∥，αβ∥，则l 与m 可能相交，也可能异面，A 错误.对于B ，若αβ⊥，l α∥，m β∥，则l 与m 可能相交，也可能异面，B 错误.对于C ，没有说m ，n 是相交直线，所以不能得到l α⊥，C 错误.
对于D ，若l ，m 是异面直线，l α⊂，m β⊂，且l β∥，m α∥，可以得到αβ∥，D 正确.3.A 因为3+10+20+17+20=70，所以这100名学生的一周内阅读时间的70%分位数是4.5.
4.B 因为1cos 3C =，所以sin 3C =，由2981
cos 63BC C BC +-==，得1BC =，所以ABC △的面积
122
31
23
S =⨯⨯⨯=5.D 因为D 是BC 的中点，所以1122AD AB AC =+ .因为2AE ED =
，所以
211333AE AD AB AC ==+ ，则2133
BE AE AB AB AC =-=-+
.
6.B 根据题意可得
200600
141200600200600
a a ⨯+⨯=+++，解得10a =.
7.C 延长CB 到F ，使得CB BF =，连接1A F ，EF ，1A B （图略），则11A F BD ∥，所以1FA E ∠为
异面直线1A E 与1BD 所成的角.设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，易知13A E =，EF =，
1A F =1cos
9
FA E ∠=
.8.C 当[]0,2x ∈时，()22f x x x =-，因为对任意x ∈R ，()()22f x f x +=，所以()()22f x f x =-.当[]2,4x ∈时，[]20,2x -∈，
()()()()()()22
2222224222f x f x x x x x ⎡⎤=-=---=---⎣⎦
，…，
函数()f x 的部分图象为如图所示的曲线.
可得当[)224,11,33,422x ⎛⎫⎛⎤∈--
+ ⎪ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦
时，()01f x ≤<，()0f x =⎡⎤⎣⎦；当1x =，2
32
x =±
时，()1f x =；当3x =时，()2f x =；当223322
x -
<<+且3x ≠时，()12f x <<，()1f x =⎡⎤⎣⎦.如图所示，则()g x 的零点为-4，-2，0，1，2，232-
，3，2
32
+，4，共9个零点.9.ACD 因为z 在复平面内对应的点在第二象限，所以10,
0,m m -<⎧⎨>⎩
解得1m >，A 正确；
若1z =
>，则1m >或0m <，所以复数z 在复平面内对应的点在第二象限或者第四象
限，B 错误；因为
112i z z m -+=-，所以1i
z
z -+是实数，C 正确；因为1i z m m =--，所以1m m ->-，D 正确.10.BCD 对于A ，易知A 不恒成立，A 错误.对于B ，由()()2541a b a b a b +=+++=，
得
()919199441016444a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b
++⎛⎫+=++++=++≥ ⎪++++++⎝⎭，当且仅当时
()944a b a b
a b
a b ++=
++，即112a =，16
b =，等号成立，B 正确.
对于C
，由基本不等式可知251a b +=≥140ab ≤，当且仅当14a =，110
b =时，等号成立，C 正确.
对于D
，由基本不等式可知12522a b +=≤
22
8501a b +≥，当且仅当14a =，110
b =时，等号成立，D 正确.11.ACD
如图，
取BC 的中点M ，连接AM ，PM ，作PH ⊥平面ABC .
易证H 在AM
上，且2AH HM ==，则
PH ==，
从而三棱锥P ABC -
的体积2
116334
V Sh =
=⨯⨯⨯=，故A 正确.设三棱锥P ABC -内切球的半径为r ，则1
3
P ABC P ABC V S r --=
⋅，
所以32P ABC P ABC V r S --=
==，故B 错误.
设三棱锥P ABC -外接球的半径为R ，球心为O ，()2
2
2
2
R AH OH PH OH =+=
-，即()
2
2
2
12R OH OH
=+=，解得6
2
OH =
，所以36
2
R =
，则三棱锥P
ABC -外接球的体积是
，DE
长度的取值范围是，故C ，D 正确.
12.60由分层随机抽样的定义可得
33900405900
n -=，解得60n =.
13.（1，1）设b 在a
方向上的投影向量为(),c x y = ，则24182a b c a a a a
⋅=⋅==
，所以()1,1c = .
14.7连接1BC ，以1A B 所在直线为旋转轴，将11A BC △所在平面旋转到与平面11ABB A 重合，
设点1C 的新位置为C '，连接AC '，则有1AP PC AP PC AC ''+=+≥，如图所示.
当A ，P ，C '三点共线时，AC '的长为1AP PC +的最小值，
因为1AA =
，AB =，所以1A B BC '==
=.
又1A C '=，所以1A BC '△是边长为1π3
A BC '∠=
.又13
tan 3
ABA ∠=
，所以1π6ABA ∠=，所以π2ABC '∠=，
由勾股定理可得7AC '==.
15.解：（1）()πππ6412f x x a x a ωω⎛⎫⎛
⎫=
-+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
因为2π
πT ω
=
=，0ω>，所以2ω=.
（2）令()π
22
ππ12x k k +
=+∈Z .得()f x 图象的对称轴方程为()5ππ
242
k x k =
+∈Z .
（3）由（1）知()π212f x x a ⎛
⎫=
+- ⎪⎝⎭，则
π2πn 246f x x a ⎛⎫⎛
⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
206π3πa ⎛
⎫
⨯
+-= ⎪⎝
⎭
，
得2
a =
.16.解：（1）因为()()
4
27a
a f x x
-=-为幂函数，所以271a
-=，解得3a =，
所以()1f x x =
，则()()1212424
x x
x f a f ++=+=+.因为244x
+>，所以110244x
<
<+，则函数()21x
f a ++的值域为10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
.（2）()31log f f x m x ⎛⎫
-<
⎪⎝⎭
即3log x x m +<.令()3log g x x x =+，则()3log g x x x =+在[]3,9上单调递增.因为3log x x m +<在[]3,9上有解，所以()min g x m <，所以33log 3m +<，解得4m >，即m 的取值范围为()4,+∞.
17.解：（1）由题意可知()0.00520.0150.0250.03101m ⨯++++⨯=，解得0.02m =.设中位数为n ，则()0.050.150.2700.0250.5n +++-⨯=，解得74n =，所以中位数为74，平均数为（45+95）×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.25+85×0.3=72.5.（2）由题意可知，方案一受到奖励的商家的个数为80780.250.30.0560024010-⎛⎫
⨯++⨯=
⎪⎝⎭
，
方案二受到奖励的商家的个数为1
6002003
⨯=，因为240>200，所以方案一受到奖励的商家更多.18.解：（1）因为
11cos cos 22c A b a C ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，所以()cos 2cos c A b a C =-，即cos cos 2cos c A a C b b C +==，所以1
cos 2
C =
.
因为0πC <<，所以π3
C =
.（2
）由正弦定理得
sin sin sin 2
a b c A B C ====，
所以a A =
，b B =
，所以)sin sin a b A B -=-.由2π3A B +=
，得2π
3
A B =
-，
所以31cos sin sin 22π6a b B B B B ⎫⎛
⎫-=+-=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭
，因为2π03B <<
，6ππ5π66B <+<
，所以cos 262πB ⎛⎫-<+<
⎪⎝
⎭，
所以3π36B ⎛
⎫
-<+
< ⎪⎝
⎭
，即a b -的取值范围为（-3，3）.19.（1）解：过点P 作PN BC ∥交1A C 于点N ，连接DN ，设DN CM O = .因为BC DE ∥，所以PN DE ∥，所以点P ，N ，D ，E 在同一平面内，因为EP ∥平面1A CD ，平面PNDE 平面1A CD DN =，所以EP DN ∥，所以四边形DNPE 为平行四边形，所以PN DE =.故
112
3
A P NP DE A
B B
C BC ===.（2）证明：在1AC
D △中，1A C CD ⊥，14A D =，2CD =，所以130CA D ∠=︒.因为M 是线段1A D 的中点，所以130MCA ∠=︒，60MCD ∠=︒.因为
1111
23A N A P AC A B ==，所以23
3CN =.在NCD △中，30NDC ∠=︒，
所以18090COD MCD NDC ∠=︒-∠-∠=︒，DN CM ⊥.由题意可得BC CD ⊥，1DE A D ⊥.因为DE BC ∥，所以1BC A D ⊥.
11因为1CD A D D = ，所以BC ⊥平面1A CD ，BC DN ⊥.
因为CM BC C = ，所以DN ⊥平面BCM .
由（1）可得EP DN ∥，所以EP ⊥平面BCM .
因为EP ⊂平面1A BE ，所以平面BCM ⊥平面1A BE .
（3）解：因为PN BC ∥，BC ⊂平面BCM ，所以PN ∥平面BCM ，所以点P 到平面BCM 的距离即点N 到平面BCM 的距离.
由（2）得DN ⊥平面BCM ，23
3CN =，1π
6ACM ∠=，13sin 3ON CN ACM =∠=.
所以ON 为点N 到平面BCM 的距离，且点N 到平面BCM 的距离为33，所以点P 到平面BCM
的距离为3.。