云南省昆明市2019届高三第二次统测数学试题(理)

云南省昆明市2019届高三第二次统测数学试题（理）
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合S={1，2}，设S的真子集有m个，则m=（）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．已知i为虚数单位，则的共轭复数为（）
A．﹣+i B． +i C．﹣﹣i D．﹣i
3．已知、是平面向量，如果||=3，||=4，|+|=2，那么|﹣|=（）A．B．7 C．5 D．
4．在（x﹣）10的二项展开式中，x4的系数等于（）
A．﹣120 B．﹣60 C．60 D．120
5．已知a，b，c，d都是常数，a＞b，c＞d，若f（x）=2017﹣（x﹣a）（x ﹣b）的零点为c，d，则下列不等式正确的是（）
A．a＞c＞b＞d B．a＞b＞c＞d C．c＞d＞a＞b D．c＞a＞b＞d
6．公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率π，他从圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即12，24，48，…，192，…，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形，…，正一百九十二边形，…的面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正一百九十二边形，这时候π的近似值是3.141024，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想及其重要，对后世产生了巨大影响，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，若运行改程序（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305），则输出n的值为（）
A．48 B．36 C．30 D．24
7．在平面区域内随机取一点（a，b），则函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数的概率为（）
A．B．C．D．
8．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若a=bcosC+csinB，且△ABC的面积为1+．则b的最小值为（）
A．2 B．3 C．D．
9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）
A．12 B．18 C．24 D．30
10．已知常数ω＞0，f（x）=﹣1+2sinωxcosωx+2cos2ωx图象的对称中心得到对称轴的距离的最小值为，若f（x0）=，≤x0≤，则cos2x0=（）A． B．C．D．
11．已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在表面积为16π的球O的球面上，AC
为球O 的直径，当三棱锥P ﹣ABC 的体积最大时，设二面角P ﹣AB ﹣C 的大小为θ，则sinθ=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．抛物线M 的顶点是坐标原点O ，抛物线M 的焦点F 在x 轴正半轴上，抛物线M 的准线与曲线x 2+y 2﹣6x +4y ﹣3=0只有一个公共点，设A 是抛物线M 上的一点，若
•
=﹣4，则点A 的坐标是（ ）
A ．（﹣1，2）或（﹣1，﹣2）
B ．（1，2）或（1，﹣2）
C ．（1，2）
D ．（1，﹣2）
第II 卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）已知向量,a b 的夹角为
5,2,3,6
a b π
==，则()
2a b a -= . （14）已知抛物线26y x =上的一点到焦点的距离是到y 轴距离的2倍，则该点的横坐标为 .
（15）已知ABC ∆中，4,,3
AC BC BAC AD BC π
==∠=
⊥交BC 于D ，则
AD 的长为 .
（16）在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，BD
AC O =,M 是线
段1D O 上的动点，过M 做平面1ACD 的垂线交平面1111A B C D 于点N ，则点N 到点A 的距离最小值是 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）
已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10110S =,且124,,a a a 成等比数列
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}n b 满足()()
1
11n n n b a a =
-+，若数列{}n b 前n 项和n T ，证明
12
n T <
.
C
A
（18）（本小题满分12分）
某研究小组在电脑上进行人工降雨模拟实验，准备用A 、B 、C 三种人工降
请根据统计数据：
（Ⅰ）求甲、乙、丙三地都恰为中雨的概率；
（Ⅱ）考虑不同地区的干旱程度，当雨量达到理想状态时，能缓解旱情，若甲、丙地需中雨即达到理想状态，乙地必须是大雨才达到理想状态，记“甲，乙，丙三地中缓解旱情的个数”为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望.
（
19）（本小题满分12分）
已知四棱锥S A B C -的底面为平行四边形，且
22SD ABCD AB AD SD ⊥==面，,60DCB ∠=,,M N 分别为
,S B S C
中点，过MN 作平面MNPQ 分别与线段,CD AB 相交于点,P Q .
（Ⅰ）在图中作出平面MNPQ ，使面MNPQ ‖SAD 面(不要求证明）；
（II ）若AQ AB λ=，是否存在实数λ，使二面角M PQ B --的平面角大小为60？若存在，求出的λ值，若不存在，请说明理由. （20）(本小题满分12分)
如图，椭圆E 的左右顶点分别为A 、B ,左右焦点分别为1F 、2F ,
124,AB F F ==直线()0y kx m k =+>交椭圆于C 、D 两点，与线段12F F 及椭
圆短轴分别交于M N 、两点（M N 、不重合）,且CM DN =.
（Ⅰ）求椭圆E 的离心率；
（Ⅱ）若0m >，设直线AD BC 、的斜率分别为12k k 、，求12
k k 的取值范围.
（21）(本小题满分12分)
已知函数()ln ,f x x a x a R =-∈.
（Ⅰ）研究函数的单调性；
（Ⅱ）设函数有两个不同的零点1x 、2x ，且12x x <. （1）求a 的取值范围； （2）求证：212x x e >.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

（22）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l 的
极坐标方程为cos 42πρθ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程为5cos sin x y θθ
=+⎧⎨=⎩，（θ为参数）.
（Ⅰ）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；
（Ⅱ）曲线C 交x 轴于A B 、两点，且点A B x x <，P 为直线l 上的动点，求
PAB ∆周长的最小值.
（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()4f x x =+
（Ⅰ）若()()22y f x a f x a =++-最小值为4，求a 的值； （Ⅱ）求不等式()1
12
f x x >-
的解集.
()f x ()f x
云南省昆明市2019届高三第二次统测数学试题（理）（参考解答）
一、选择题
1．已知集合S={1，2}，设S的真子集有m个，则m=（）
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】子集与真子集．
【分析】若集合A有n个元素，则集合A有2n﹣1个真子集．
【解答】解：∵集合S={1，2}，
∴S的真子集的个数为：22﹣1=3．
故选：B．
2．已知i为虚数单位，则的共轭复数为（）
A．﹣+i B． +i C．﹣﹣i D．﹣i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：∵=，
∴的共轭复数为．
故选：C．
3．已知、是平面向量，如果||=3，||=4，|+|=2，那么|﹣|=（）A．B．7 C．5 D．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据条件对两边平方，从而可求出，这样即可求出的值，进而求出的值．
【解答】解：根据条件：
=
=4；
∴；
∴
=9﹣（﹣21）+16
=46；
∴．
故选：A．
4．在（x﹣）10的二项展开式中，x4的系数等于（）
A．﹣120 B．﹣60 C．60 D．120
【考点】二项式系数的性质．
【分析】利用通项公式即可得出．
==（﹣1）r x10﹣2r，【解答】解：通项公式T r
+1
令10﹣2r=4，解得r=3．
∴x4的系数等于﹣=﹣120．
故选：A
5．已知a，b，c，d都是常数，a＞b，c＞d，若f（x）=2017﹣（x﹣a）（x ﹣b）的零点为c，d，则下列不等式正确的是（）
A．a＞c＞b＞d B．a＞b＞c＞d C．c＞d＞a＞b D．c＞a＞b＞d
【考点】函数的零点．
【分析】由题意设g（x）=（x﹣a）（x﹣b），则f（x）=2017﹣g（x），由函数零点的定义求出对应方程的根，画出g（x）和直线y=2017的大致图象，由条件和图象判断出大小关系．
【解答】解：由题意设g（x）=（x﹣a）（x﹣b），则f（x）=2017﹣g（x），所以g（x）=0的两个根是a、b，
由题意知：f（x）=0 的两根c，d，
也就是g（x）=2017 的两根，
画出g（x）（开口向上）以及直线y=2017的大致图象，
则与f（x）交点横坐标就是c，d，
f（x）与x轴交点就是a，b，
又a＞b，c＞d，则c，d在a，b外，
由图得，c＞a＞b＞d，
故选D．
6．公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率π，他从圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即12，24，48，…，192，…，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形，…，正一百九十二边形，…的面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正一百九十二边形，这时候π的近似值是3.141024，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想及其重要，对后世产生了巨大影响，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，若运行改程序（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305），则输出n的值为（）
A．48 B．36 C．30 D．24
【考点】程序框图．
【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得：
n=6，S=3sin60°=，
不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，
不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，
满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．
故选：D．
7．在平面区域内随机取一点（a，b），则函数f（x）=ax2﹣4bx+1
在区间[1，+∞）上是增函数的概率为（）
A．B．C．D．
【考点】几何概型．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据概率的几何概型的概率公式进行计算即可得到结论．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
对应的图形为△OAB，其中对应面积为S=×4×4=8，
若f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数，
则满足a＞0且对称轴x=﹣≤1，
即，对应的平面区域为△OBC，
由，
解得，
∴对应的面积为S1=××4=，
∴根据几何概型的概率公式可知所求的概率为=，
故选：B．
8．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若a=bcosC+csinB，且△ABC的面积为1+．则b的最小值为（）
A．2 B．3 C．D．
【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．
【分析】已知等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，求出tanB的值，确定出B的度数，利用三角形面积公式求出ac 的值，利用余弦定理，基本不等式可求b的最小值．
【解答】解：由正弦定理得到：sinA=sinCsinB+sinBcosC，
∵在△ABC中，sinA=sin[π﹣（B+C）]=sin（B+C），
∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC，
∴cosBsinC=sinCsinB，
∵C∈（0，π），sinC≠0，
∴cosB=sinB，即tanB=1，
∵B∈（0，π），
∴B=，
=acsinB=ac=1+，
∵S
△ABC
∴ac=4+2，
由余弦定理得到：b2=a2+c2﹣2accosB，即b2=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=4，当且仅当a=c时取“=”，
∴b的最小值为2．
故选：A．
9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）
A．12 B．18 C．24 D．30
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，切去一个三棱锥所得的组合体，进而得到答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，切去一个三棱锥所得的组合体，
其底面面积S=×3×4=6，
棱柱的高为：5，棱锥的高为3，
故组合体的体积V=6×5﹣×6×3=24，
故选：C
10．已知常数ω＞0，f（x）=﹣1+2sinωxcosωx+2cos2ωx图象的对称中心得到对称轴的距离的最小值为，若f（x0）=，≤x0≤，则cos2x0=（）A． B．C．D．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
【分析】将函数f（x）化简成只有一个函数名，对称中心得到对称轴的距离的最小值为，可得T=π．根据f（x0）=，≤x0≤，求出x0，可得cos2x0的值．
【解答】解：由f（x）=﹣1+2sinωxcosωx+2cos2ωx，
化简可得：f（x）=sin2ωx+cos2ωx=2sin（2ωx+）
∵对称中心得到对称轴的距离的最小值为，
∴T=π．
由，
可得：ω=1．
f（x0）=，即2sin（2x0+）=
∵≤x0≤，
∴≤2x0+≤
∴sin（2x0+）=＞0
∴cos（2x0+）=．
那么：cos2x0=cos（2x0+﹣）=cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin
=
故选D
11．已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在表面积为16π的球O的球面上，AC 为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，设二面角P﹣AB﹣C的大小为θ，则sinθ=（）
A．B．C．D．
【考点】二面角的平面角及求法．
【分析】AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，△ABC为等腰直角三角形，P在面ABC上的射影为圆心O，过圆心O作OD⊥AB于D，连结PD，则∠PDO为二面角P﹣AB﹣C的平面角．
【解答】解：如图所示：由已知得球的半径为2，
AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，△ABC为等腰直角三角形，P在面ABC上的射影为圆心O，
过圆心O作OD⊥AB于D，连结PD，则∠PDO为二面角P﹣AB﹣C的平面角，在△ABC△中，PO=2，OD=BC=，∴，sinθ=．
故选：C
12．抛物线M的顶点是坐标原点O，抛物线M的焦点F在x轴正半轴上，抛物线M的准线与曲线x2+y2﹣6x+4y﹣3=0只有一个公共点，设A是抛物线M 上的一点，若•=﹣4，则点A的坐标是（）
A．（﹣1，2）或（﹣1，﹣2）B．（1，2）或（1，﹣2）C．（1，2）D．（1，﹣2）
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】先求出抛物线的焦点F（1，0），根据抛物线的方程设A（，y0），则=（，y0），=（1﹣，﹣y0），再由•=﹣4，可求得y0的值，最
后可得答案．
【解答】解：x2+y2﹣6x+4y﹣3=0，可化为（x﹣3）2+（y+2）2=16，圆心坐标为（3，﹣2），半径为4，
∵抛物线M的准线与曲线x2+y2﹣6x+4y﹣3=0只有一个公共点，
∴3+=4，∴p=2．
∴F（1，0），
设A（，y0）
则=（，y0），=（1﹣，﹣y0），
1
A
由•=﹣4，∴y0=±2，∴A（1，±2）
故选B．
二、填空题
13．10
-14.
3
2
15.
7
16.
2
【15】解题思路：由余弦定理可推得
2
1628
1
6
224
AB
AB
AB
+-
=⇒=
⨯⨯
,由等面积
法
11
sin
232
ABC
S AB AC BC AD
π
==解得
7
AD=
【16】解题思路：连结11
B D，易知面
1
ACD⊥面
11
BDD B，而
1
MN ACD
⊥，即
1
N M DO
⊥，NM在面
11
BDD B内，且点N的轨迹是线
段11
B D，连结
1
AB，
易知11
AB D是等边三角形，则当N为
11
B D中点时，
NA
三、解答题
【17】解析：（Ⅰ）由题意知：
()()
2
2
214111
101
3
1101045110
a a a a d a a d
S a d
⎧
⎧=+=+
⎪
⇒
⎨⎨
=+=
⎪
⎩⎩
……………………………………2分
解12
a d
==，故数列2
n
a n
=；…………………………………….5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
()()
1111
212122121
n
b
n n n n
⎛⎫
==-
⎪
-+-+
⎝⎭
，……………………………8分
则
1111111
...
213352121
n
T
n n
⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-+-++-
⎪ ⎪ ⎪
⎢⎥
-+
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎣⎦
111
1
2212
n
⎛⎫
=-<
⎪
+
⎝⎭
…………………………………………….12分
【18】解析：
（Ⅰ）设事件M ：“甲、乙、丙三地都恰为中雨”，则
()1111
22624
P M =⋅⋅=………………………..3分 （Ⅱ）设事件A 、B 、C 分别表示“甲、乙、丙三地能缓解旱情”，则由题知
()()()211
,,343
P A P B P C ===,…………………………………………...5分
且X 的可能取值为0,1,2,3
()()1
06
P X P ABC ===
()()()()17
136P X P ABC P ABC P ABC ==++=
()()()()11
236P X P ABC P ABC P ABC ==++=
()()1
318
P X P ABC ===………………………………………………..8分
()364
E X ==……………………………………............12分
【19】解析：
（Ⅰ）如图，Q 是AB 的中点（若.NP PQ 未作成虚线，扣两分
……4分（Ⅱ）在ABCD 中，2=4,
60AB AD DCB =∠=设,所以由余弦定理求
得BD =有222AB AD BD =+，所以AD BD ⊥，以
D 为原点，直线DA 为x 轴，直线DB 为y 轴，直线DS 为z 空间直角坐标系，
且(
)()()()
2,0,0,,0,0,2,A B S M ，
又AQ AB λ=，设(),,Q x y z ，则()()
2,,x y z λ-=-
即()
22,0Q λ-…………………………………………………7分 设平面的法向量为(),,n x y z =
由00
n AD n MQ ⎧=⎪⎨=⎪⎩得)()
0,1,321n λ=-，…………………………………………………………9分
易知面ABCD 的法向量为()0,0,1m = 要使二面角M PQ B --为60，则有
31cos 6021m n m n ===+1
233λλ==或……………….11分
由图可知，要使二面角M PQ B --
为60，则1
3
λ=………………12分
【20】解析：
（Ⅰ）由
124,AB F F ==2,a c ==2
214
x y += …..….2分 离心率为e =
分 （Ⅱ）设()()1122,,,D x y C x y 易知
()()()2,0,2,0,0,,,0m A B N m M k ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
…………………….5分
由22
44y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y 整理得：()222
148440k x kmx m +++-= 由2222041041k m m k >⇒-+><+即 ，
2121222
844
,1414km m x x x x k k --+==++……………………………………....6分
且CM DN =即CM ND =可知12m x x k +=-
，即2814km m
k k
-=-+，解得
1
2
k =
……………….8分
()()()()()()()()()()22
122
2
221212121212
22222121212211422224214422421224
x x y x x x x x x x k m x k x x x x x x m y x x ------++⎛⎫
+⎛⎫===== ⎪ ⎪-+++++-⎝⎭+⎝⎭
+
由题知，点M 、F 1的横坐标1M F x x ≥,
有2m -≥
易知m ⎛∈ ⎝⎦
满足2
2m < 即
1212
111k m k m m +=-=-+--
，则(
12
1,7k k ∈+…………………..12分 【21】解析：
（Ⅰ）()f x 的定义域()0,+∞，()1a x a
f x x x
-'=-
=……………………..2分 ① 若0a ≤，则()0f x '>恒成立，()f x 在()0,+∞单调递增函数。

② 若0a >，令()0f x '=解得x a =，
则()f x 在()0,a 单调递减，在(),a +∞单调递增；………………….4分 （Ⅱ）因为()f x 有两个不同的零点，由①知
()0ln 0a a e f a a a a >⎧
⇒>⎨
=-<⎩
…………………………………………6分 且120x a x <<<，要证212x x e >，即证12ln ln 2x x +>
12
1221222x x x x a x a x a a
⇐
+>⇐+>⇐>- 由于1,a x >则12a x a ->，即证
()()()()211122f x f a x f x f a x >-⇐>-...............................8分
设()()()2g x f x f a x =--，()0,x a ∈，只需证()0g x >即可
()()()()ln 2ln 2g x x a x a x a a x =-----⎡⎤⎣⎦
()()()
2
112
022x a a a g x x a x x a x -'=-+-=-<--………………………………10分 可知()g x 在()0,x a ∈是单调递减函数，故()()0g x g a >=,
得证.
212x x e >……………………………………………………………………..12分
【22】解析（Ⅰ）由直线l 的极坐标方程，
得cos sin sin cos 442ππρθρθ-= 即cos sin 1ρθρθ-=，直线l 的直角坐标方程为1x y -=，……............. 3分 由曲线C 的参数方程得C 得普通方程为()2
251x y -+=……………….5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知曲线C 表示圆心()5,0，半径1r =的圆，令0y =得46x x ==或 A 的坐标为()4,0，B 的坐标为()6,0………………………………………6分 设A 关于直线l 的对称点为M （a ，b ），则有
4
1022
14
b a b a +⎧-+=⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩解得13a b =⎧⎨
=⎩，即点M （1,3）………………….……….8分 由题易知当P 为MB 与直线l 的交点时PAB ∆
周长最小，最小值为
2…………………10分
【23】解析
（Ⅰ）由题知()()222424f x a f x a x a x a ++-=+++-+
()2424x a x a ≥++--+2a ≥………………………...3分
则24a =，解得2a =±……………… ………….5分
（Ⅱ）设
()()1
5,4112
1413223,4
2
x x g x f x x x x x x ⎧--<-⎪⎪=-+=++-=⎨⎪+≥⎪⎩…………………….6分
若4x <-，有1
502x -->，解得10x <-，
若4x ≥-，有3
302
x +>，解得2x >-，………………………………..8分
综上，不等式的解集为()(),102,-∞--+∞………………………………10分。