2023届高考数学二轮复习提升练之函数与导数——(12)导数的综合应用新高考

2023届高考数学二轮复习提升练之函数与导数——（12）导数的综
合应用【配套新教材】
1.已知函数32()1f x x ax =++图像的对称中心的横坐标为()000x x >,且()f x 有三个零点,则实数a 的取值范围是( )
A.(,0)-∞
B.,⎛-∞ ⎝⎭
C.(0,)+∞
D.(,1)-∞-
2.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马：将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑，已知三棱锥P ABC -为鳖臑，且内接于球O ，球O 的半径1R =，三棱锥P ABC -的底面ABC 为等腰直角三角形，PA ⊥平面ABC ，则三棱锥P ABC -的体积V 的最大值为( )
A.1
4
3.已知函数2()3cos 3(0)f x mx x m =+->在R 上有且只有一个零点，则实数m 的最小值为( ) A.12
B.23
C.1
D.32
4.已知函数e ,0,
()lg ,
0,x x x f x x x ⎧⋅≤=⎨
>⎩2()()(1)()g x f x m f x m =-++有4个不同的零点，则m 的取值范围为()
A.1,e ⎛⎫
-∞- ⎪⎝
⎭
B.1
,0e ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭ C.1,e
⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
D.(0,)+∞
5.已知函数()f x 是定义在(,0)(0,)-∞⋃+∞的奇函数，当(0,)x ∈+∞时，()()xf x f x '<，则不等式5(2)(2)(5)0f x x f -+-<的解集为( ) A.(,3)(3,)-∞-⋃+∞ B.(3,0)(0,3)-⋃ C.(3,0)(0,7)-⋃
D.(3,2)(2,7)-⋃
6.已知()f x 是R 上的单调递增函数，(0,)x ∀∈+∞，不等式
ln ln ()(1)1x x f m f f m f x x ⎛⎫
⎛⎫
-+≤++
- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝
⎭恒成立，则m 的取值范围是() A.12,e -⎛
⎤-∞ ⎥⎝⎦
B.2,e
⎡⎫
+∞⎪⎢
⎣⎭ C.1,1e ⎛⎤
-∞+ ⎥⎝
⎦
D.11,e
⎡⎫
-+∞⎪⎢
⎣⎭
7.已知函数2()3cos 3(0)f x mx x m =+->在R 上有且只有一个零点，则实数m 的最小值为( ) A.12
B.23
C.1
D.32
8.（多选）关于函数2()ln f x x x
=+，下列判断正确的是( ) A.2x =是()f x 的极大值点
B.函数()y f x x =-有且只有1个零点
C.存在正实数k ，使得()f x kx >成立
D.对任意两个正实数12,x x ，且21x x >，若()()12f x f x =，则124x x +> 9.（多选）已知函数()()e 1x f x x =+，()(1)ln g x x x =+，则() A.函数()f x 在R 上无极值点
B.函数()g x 在(0,)+∞上存在唯一极值点
C.若对任意0x >，不等式()2()ln f ax f x >恒成立，则实数a 的最大值为2
e
D.若()()12(0)f x g x t t ==>，则
()12ln 1t x x +的最大值为1
e
10.（多选）已知定义在R 上的奇函数()f x 连续且可导，若()()1f x f x x '-<-（()f x '为
()f x 的导函数），则()
A.(1)(1)f f '<
B.(1)(1)0f f '-+-<
C.(0)1f '>
D.(1)(0)(1)f f f -<<
11.已知关于x 的不等式2
1e 02
x x x x a ⎛⎫+--≥ ⎪⎝
⎭
有解，则实数a 的取值范围为
______________.
12.若对任意的(0,)x ∈+∞，不等式ln 2e 1x x a
x
+-≥恒成立，则实数a 的取值范围为___________.
13.已知函数245,1,()|ln(1)|,1,x x x f x x x ⎧++≤-=⎨+>-⎩
()g x mx =，若函数(1)()y f x g x =--恰有2个零点，
则实数m 的取值范围为_________. 14.设函数e
()ln (0)2f x x x x
=
+>. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）已知a ，b ∈R ，曲线()y f x =上不同的三点()()11,x f x ，()()22,x f x ，()()33,x f x 处的切线都经过点(,)a b .证明：
（ⅰ）若e a >，则10()12e
a b f a ⎛⎫
<-<- ⎪⎝
⎭
； （ⅱ）若0e a <<，123x x x <<，则22
132
e 112e e
6e 6e a a
x x a --+
<+<-
. （注：e 2.71828=是自然对数的底数） 15.已知函数()e ln(1)x f x x =+.
（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）设()()g x f x '=，讨论函数()g x 在[0,)+∞上的单调性； （Ⅲ）证明：对任意的s ，(0,)t ∈+∞，有()()()f s t f s f t +>+.
答案以及解析
1.答案：B
解析：2()3'2f x x ax =+，令)'(0f x =，得0x =或23
a
x =-
， 003
a
x ∴=-
>，0a ∴<. ∴当0x <或23a x >-
时，)'(0f x >，当203
a
x <<-时，)'(0f x <. ()f x ∴在(,0)-∞上单调递增，在20,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在2,3a ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增.
()f x ∴的极大值为(0)1f =，极小值为3
241327a a
f ⎛⎫-=
+ ⎪⎝⎭
.
()f x 有三个零点，341027
a ∴
+<，解得a <2.答案：B
解析：由题意，可将三棱锥P ABC -还原为如图所示的长方体，则长方体对角线
2PC =，即为球O 的直径.不妨设PCA θ∠=，则2sin PA θ=，2cos AC θ=，
AB BC θ=，()
2221122
)2sin cos sin sin 1sin 3233
P ABC V θθθθθθ-∴=⨯⨯⨯=⋅=-.
令sin (0,1)t θ=∈，3y t t =-.
213y t '=-，∴y 在⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎫⎪⎪⎝⎭
上单调递
减，∴三棱锥P ABC -体积的最大值为2
213⎡⎤⎢⎥-=⎢⎥⎝⎭⎣⎦
B.
3.答案：D
解析：由题可知，()f x 为偶函数，(0)0f =，且()23sin f x mx x '=-. 设()23sin g x mx x =-，则()23cos g x m x '=-，
当3
2
m ≥时，()33cos 0g x x '≥-≥，故()g x 在(0,)+∞上单调递增，
故当0x >时，()(0)0g x g >=，即()0f x '>，即()f x 在(0,)+∞上单调递增，
故()f x 在(0,)+∞上没有零点，由()f x 为偶函数，可知()f x 在R 上有且只有一个零点；
当3
02m <<时，存在0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭
，使023cos m x =，当()00,x x ∈时，()23cos 0g x m x '=-<，
即()g x 在0(0,)x 上单调递减，故()(0)0g x g <=，即()0f x '<，故()f x 在()00,x 上单调递减，
故()0(0)0f x f <=，且2(2π)4π0f m =>，则()f x 在()0,2πx 上有零点，不符合题意， 故32m ≥，即实数m 的最小值为32
，故选D. 4.答案：B
解析：当0x ≤时，()e x f x x =⋅，()(1)e x f x x '=+⋅，可得()f x 在(,1)-∞-上单调递减，在
(1,0]-上单调递增，且1
(1)e
f -=-，所以()f x 的大致图象如图所示，由
2()(1)()0f x m f x m -++=，解得()1f x =或()f x m =.由()f x 的图象可知，当()1f x =时，有
1个根，所以()f x m =要有3个根，故实数m 的取值范围为1
,0e
⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
，故选B.
5.答案：D
解析：由已知得当(0,)x ∈+∞时，()()0xf x f x '-<. 令()()f x g x x =
，则当(0,)x ∈+∞时，2()()
()0xf x f x g x x
'-'=<， 所以()g x 在(0,)+∞上为单调递减函数.
由()f x 是定义在(,0)(0,)-∞⋃+∞的奇函数，得()()()
()()f x f x f x g x g x x x x
---=
===--， 故()g x 是定义在(,0)(0,)-∞⋃+∞的偶函数，且()g x 的图象关于y 轴对称. 令()(2)h x g x =-，∴函数(2)
()(2)2
f x h x
g x x -=-=
-在(2,)+∞上为减函数， 且函数()h x 图象关于直线2x =对称，当(2,)x ∈+∞时，2(0,)x -∈+∞，则
5(2)(2)(5)0f x x f -+-<，即(2)(5)5(2)x f f x -⋅<--，即(2)(5)5(2)x f f x -<-，(5)(2)52f f x x -<-，(72)(2)
722
f f x x --<
--即(7)()h h x <，得27x <<.
依据函数()h x 的图象关于直线2x =对称，得当(,2)x ∈-∞时，不等式
5(2)(2)(5)0f x x f -+-⋅<的解集为32x -<<，故原不等式的解集为(3,2)(2,7)-⋃，故选D.
6.答案：D
解析：依题意，()()(1)g x f x f x =--在R 上是增函数，(0,)x ∀∈+∞，不等式
ln ln ()(1)1x x f m f f m f x x ⎛⎫
⎛⎫
-+≤++
- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
恒成立，即ln ln 1(1)()x x f f f m f m x x ⎛⎫
⎛⎫
-
-≤+-- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
恒成立，等价于ln (1)x g g m x ⎛⎫≤+
⎪
⎝⎭
恒成立，ln 1x m x ∴+≥.令ln ()(0)x
h x x x =>，则2
1ln ()(0)x h x x x -'=
>，易得max
1()(e)e h x h ==，11e m ∴+≥，1
1e m ≥-，故选D. 7.答案：D
解析：由题可知，()f x 为偶函数，且(0)0f =，()23sin f x mx x '=-. 设()23sin g x mx x =-，则()23cos g x m x '=-，
当3
2
m ≥时，()33cos 0g x x '≥-≥，故()g x 在(0,)+∞上单调递增， 故0x >时，()(0)0g x g >=，即()0f x '>，即()f x 在(0,)+∞上单调递增， 故()f x 在(0,)+∞上没有零点.
由()f x 为偶函数，可知()f x 在R 上有且只有一个零点；
当3
02m <<时，存在0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭
，使023cos m x =，
当()00,x x ∈时，()23cos 0g x m x '=-<，即()g x 在()00,x 上单调递减，故()(0)0g x g <=， 即()0f x '<，故()f x 在()00,x 上单调递减，故()0(0)0f x f <=， 且2(2π)4π0f m =>，则()f x 在()0,2πx 上有零点，此时不符合条件， 故3
2
m ≥，即实数m 的最小值为32
，故选D. 8.答案：BD
解析：对于A ，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，22212
()x f x x x x
-'=-
+=，当(0,2)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当(2,)x ∈+∞时()0f x '>，()f x 单调递增，所以2x =是()f x 的
极小值点，故A 错误.
对于B,2
()ln y f x x x x x
=-=+-，22221210x x y x x x -+'=-+-=-<，所以函数在(0,)+∞上单
调递减，又(1)12ln1110,(2)21ln 22ln 210f f -=+-=>-=+-=-<，所以函数()y f x x
=-
有且只有1个零点，故B 正确.
对于C ，若()f x kx >，即2ln x kx x +>，则22ln x k x x <
+，令22ln ()x
g x x x
=+
，则3
4ln ()x x x
g x x -+-'=
，令()4ln h x x x x =-+-，则()ln h x x '=-，当(0,1)x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增，当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以()(1)30h x h ≤=-<，所以
()0g x '<，所以22ln ()x
g x x x
=
+
在(0,)+∞上单调递减，函数无最小值，所以不存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立，故C 错误.
对于D ，因为()f x 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，所以2x =是()f x 的极小值，点因为对任意两个正实数12,x x 且21x x >，若()()12f x f x =，则1202x x <<<，令
21(1)x t t x =
>，则21x tx =，由()()12f x f x =，得121222ln ln x x x x +=+，即2112
22
ln ln x x x x -=-，即
()21212
12ln
x x x x x x -=，即1112(1)ln t x t x tx -=⋅，解得1212(1)2(1)
,ln ln t t t x x tx t t t t
--===，所以21222ln t x x t t -+=.故要证124x x +>，即证1240x x +->，即22240ln t t t
-->，即证2224ln 0ln t t t
t t
-->.因为211x t x =>，所以ln 0t t >，所以即证2224ln 0t t t -->.令
2()224ln (1)H t t t t t =-->，()44ln 4(1)H t t t t '=-->，44(1)
()40(1)t H t t t t
-''=-
=>>，所以()H t '在(1,)+∞上是增函数.因为1t →时，()0H t '→，所以()0H t '>，所以()H t 在(1,)+∞上
是增函数.因为1t →时，()0H t →，所以()0H t >，所以2224ln 0ln t t t
t t
-->，所以
124x x +>，故D 正确.
故选BD. 9.答案：AD
解析：本题考查函数的极值与最值问题.对于A ：()(1)e 1x f x x '=++，令()(1)e x p x x =+，则()(2)e x p x x '=+，令()0p x '>，解得2x >-，令()0p x '<，解得2x <-，故()f x '在
(,2)-∞-上单调递减，在(2,)-+∞上单调递增，故2min ()(2)1e 0f x f -''=-=->，故()f x 在R
上单调递增，故函数()f x 在R 上无极值点，故A 正确；对于B ：1()1ln g x x x
'=++，令
1
()1ln q x x x =+
+，则21()x q x x
-'=，令()0q x '>，解得1x >，令()0q x '<，解得01x <<，故()g x '在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，故min ()(1)20g x g ''==>，故()g x 在
(0,)+∞上单调递增，则函数()g x 在(0,)+∞上无极值点，故B 错误；对于C ：由A 得()f x 在R 上单调递增，不等式()
2()ln f ax f x >恒成立，则2ln ax x >恒成立，故2ln x a x
>
恒成立.设2ln ()x
h x x =
，则2
2(1ln )()x h x x -'=，令()0h x '>，解得0e x <<，令()0h x '<，解得e x >，故()h x 在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减，故mux 2
()(e)e
h x h ==
，故2
e
a >
，故C 错误；对于D ：若()()12(0)f x g x t t ==>，则()
()1122e 11ln x x x x t +=+=.由A ，B 可知函数()f x 在R 上单调递增，()g x 在(0,)+∞上单调递增，0t >，10x ∴>，
21x >，且2e x =，当12e x x =时，()()
()
111121ln e 1ln 1e 1
x x x t x x x ⎡⎤+⎣⎦=++，设()
11
e 1x k x =+，设ln ()k
F k k =
，则21ln ()k F k k
-'=，令()0F k '>，解得0e k <<，令()0F k '<，解得e k >，故()F k 在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减，故mux 1
()(e)e
F k F ==，此时
()
()1122e e 11ln x x x x =+=+，故
()12ln 1t x x +的最大值为1
e
，故D 正确.故选AD.
10.答案：ACD 解析：
()f x 是定义在R 上的奇函数，(0)0f ∴=.在()()1f x f x x '-<-中，令1x =，得
(1)(1)0f f '-<，即(1)(1)f f '<，A 正确；
()f x 是定义在R 上的奇函数，
(1)(1)0f f '∴----<，(1)(1)0f f '∴-+->，B 错误；在()()1f x f x x '-<-中，令0x =，得(0)(0)1f f '-<-，又(0)0f =，(0)1f '∴>，C 正确；构造函数()
()e x
f x
g x =，则()()()e x f x f x g x '-'=
，当[0,1]x ∈时，()()1()0e e
x x f x f x x
g x '--'=>≥，()g x ∴在[0,1]上单调递
增，(1)
(1)(0)0e f g g ∴=
>=，(1)0f ∴>，(1)(1)0f f -=-<，(1)(0)(1)f f f ∴-<<，D 正确. 11.答案：1
1
,e 2⎛⎤
-∞+ ⎥⎝
⎦ 解析：由题意可知21
e 02
x x x x a +--⎫ ⎪⎝
⎭
≥⎛有解2
1e 2
x x a x x ⇔≤
+-有解， 设2
1()e 2
x x f x x x =+-，则()(1)e 11()1e e x x x x x f x x -+-'=+-=，
当1x <时，()0f x '>， 当0x =时，()0f x '=，
当1x >时，()0f x '<，
()f x ∴在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，max 11()(1)e 2f x f ∴==+，11
e 2a ∴≤+.
12.答案：1,2⎛⎤
-∞ ⎥⎝
⎦
解析：ln 2e 1x x a
x
+-≥
可化为2e ln x a x x x ≤⋅--. 令ln ln ()e ln e e ln e (ln )x x x x x f x x x x x x x x +=⋅--=⋅--=-+， 设ln t x x =+，t ∈R ，则()e t g t t =-，设()e 1x g x '=-，
令()0g x '>，可得()g x 的单调递增区间为[0,)+∞，由()e x g x x =-在[0,)+∞上单调递增可知，0()(0)e 01g t g ≥=-=，则21a ≤，解得12
a ≤.
13.
答案：1(,2e ⎧⎫
-∞-⋃⎨⎬⎩⎭
解析：由245,1,()|ln(1)|,1,x x x f x x x ⎧++≤-=⎨+>-⎩
得()222,0,1|ln |,0,x x x f x x x ⎧++≤-=⎨>⎩
由题意得，函数()y g x =与函数(1)y f x =-的图象恰有2个公共点，作出函数(1)y f x =-的图象，如图，再作出直线y mx =，它始终过原点，设直线y mx =与ln y x =相切，切点为()00,ln x x ，由ln y x =知1y x
'=，切线斜率为
01x ，切线方程为()000
1
ln y x x x x -=-， 把(0,0)代入得00ln 1,e x x -=-=，所以切线斜率为1e
，设222y x x =++与y mx =相切，则
222x x mx ++=，即22(2)20,(2)80x m x m +-+=∆=--=
，解得22m m =-=+舍
去)，由图可得实数m
的取值范围是2m <-或1e
m =.
14.答案：（Ⅰ）()f x 的单调递减区间为e 0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
，单调递增区间为e
(,)2
+∞
（Ⅱ）（ⅰ）见解析
（ⅱ）见解析
解析：（Ⅰ）因为e ()ln (0)2f x x x x =
+>，所以22
e 12e ()(0)22x
f x x x x x -'=-+=>. 令()0f x '<，得e 02
x <<，令()0f x '>，得e
2
x >，
所以()f x 的单调递减区间为e 0,2⎛⎫ ⎪
⎝⎭
，单调递增区间为e
(,)2
+∞. （Ⅱ）因为曲线()y f x =上不同的三点()()11,x f x ，()()22,x f x ，()()33,x f x 处的切线都经过点(,)a b ，
所以1x ，2x ，3x 是方程()()()f x b f x x a '-=-，即2e e ln 102a a
x b x x
++---=的三个不同的实数解.
（ⅰ）令2e e ()ln 12a a
g x x b x x
+=+---， 则233
1e e (e)()()(0)a a x x a g x x x
x x x +--'=-
+=>， 当e a >时，令()0g x '>，得0e x <<或x a >，令()0g x '<，得e x a <<， 所以()g x 在(0,e)和(,)a +∞上单调递增，在(e,)a 上单调递减. 当0x →时，()g x →-∞，当x →+∞时，()g x →+∞. 因为函数()g x 有三个零点，所以(e)0
()0g g a >⎧⎨
<⎩
，
即2
2e e 110e 2e e e ln 102a a b a a a b a a +⎧+--->⎪⎪⎨+⎪+---<⎪⎩，所以102e e ln 0
2a
b a b a ⎧+->⎪⎪⎨⎪+-<⎪⎩
，
所以e
()ln 02b f a b a a
-=-->，所以原不等式左边成立. 又e e
()ln 1ln 22e 2a b f a b a a a a -=--
<+--
， 所以要证1()12e a b f a ⎛⎫-<- ⎪
⎝
⎭
，只需证e 11ln 12e 22e
a a a a ⎛⎫
+--<- ⎪⎝
⎭
， 即证e 3ln 22a a +
>，即证3()2
f a >， 又由（Ⅰ）知()f x 在e
,2
⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增，所以3
()(e)2
f a f >=，
故原不等式右边成立.故命题得证.
（ⅱ）当0e a <<，123x x x <<时，令1111t x a
=
>，3311e t x =<， 则13e 1t t a >>. 因为1x ，3x 是方程2e e ln 102a a x b x x
++---=的两个不同的实数解， 所以12113233e e ln 102e e ln 102a a x b x x a a x b x x +⎧+---=⎪⎪⎨+⎪+---=⎪⎩
， 所以21112333e ln (e)102e ln (e)102
at t a t b at t a t b ⎧-++---=⎪⎪⎨⎪-++---=⎪⎩， 所以()22113133222ln 0e e t
t t t t a a t ⎛⎫--+-+= ⎪⎝⎭， 所以()()12311313133
1222ln 0e e 1t t t t t t t t a a t t +⎛⎫+-+++⋅⋅= ⎪⎝⎭-. 要证22132e 112e e 6e 6e a a x x a --+
<+<-， 只需证1313222
e 2e 06e e 6e a a t t t t a ⎡
-⎤⎡-⎤⎛⎫⎛⎫+--+-+< ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦
， 即证()()2131322222e 2e 0e 6e e 6e a a t t t t a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+++-+< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 只需证13122133
122e 2e ln e e 6e 6e 1t t t a a t a t a t +--⎛⎫⎛⎫⋅⋅>+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭-， 即证2
1223131332e 2e e e 11211e 6e 6e ln 22e 172e t a a t t a a a t t a t a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++--- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⋅>=+⎛⎫- ⎪⎝⎭. 令1()ln (1)1x H x x x x +=⋅>-，则2
12ln ()(1)(1)x x x H x x x --'=>-. 令1()2ln (1)h x x x x x
=-->，则22(1)()0x h x x -'=>在(1,)+∞上恒成立，
所以1()2ln (1)h x x x x x =-->在(1,)+∞上单调递增， 所以1
()12ln101h x >--=，所以212ln ()0(1)x x x H x x --'=
>-在(1,)+∞上恒成立， 所以1()ln (1)1
x H x x x x +=⋅>-在(1,)+∞上单调递增. 又13e 1t t a >>，所以131133
e 11e ln ln e 11t t t a t t a a t ++⋅>⋅--， 而222
332e e e e e 12111211222e e e 72726a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+<+=+⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以要证22132e 112e e 6e 6e a a x x a --+<+<-，只需证2
2e e 11e ln 2e e 16a a a a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⋅>+⎛⎫- ⎪⎝⎭
， 即证32e e 11e ln 20e e e 161a a a a a a ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭-->⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 令321(1)()ln 2(1)16(1)
x x M x x x x x x --=-->++， 则232323214(1)(21)(1)(31)()0(1)3(1)3(1)x x x x M x x x x x x x -+-+'=--=>+++在(1,)+∞上恒成立， 所以()M x 在(1,)+∞上单调递增， 所以32e 11(11)ln1201161(11)M a --⎛⎫>-⨯-= ⎪+⨯⨯+⎝⎭
， 所以当0e a <<，123x x x <<时，22132e 112e e 6e 6e a a x x a --+
<+<-. 15.答案：（Ⅰ）y x =
（Ⅱ）()g x 在[0,)+∞上单调递增
（Ⅲ）见解析
解析：（Ⅰ）由题，11()e ln(1)e e [ln(1)]11x x x f x x x x x '=⋅++⋅
=++++， 故01(0)e ln(10)110f ⎡⎤'=⋅++=⎢⎥+⎣⎦
，0(0)e ln(10)0f =+=， 因此，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =. （Ⅱ）解法一：1()()e ln(1)1x g x f x x x ⎡⎤'==++⎢⎥+⎣⎦
， 则221()e ln(1)1(1)x g x x x x ⎡⎤'=++-⎢⎥++⎣⎦
， 设2
21()ln(1)1(1)h x x x x =++-++，[0,)x ∈+∞， 则22331221()01(1)(1)(1)
x h x x x x x +'=-+=>++++， 故()h x 在[0,)+∞上单调递增，
故()(0)10h x h ≥=>，
因此()0g x '>对任意的[0,)x ∈+∞恒成立，
故()g x 在[0,)+∞上单调递增. 解法二：1()()e ln(1)1x g x f x x x ⎡⎤'==++⎢⎥+⎣⎦
， 则221()e ln(1)1(1)x g x x x x ⎡⎤'=++-⎢⎥++⎣⎦
， 又e 0x >，当[0,)x ∈+∞时，222112ln(1)ln101(1)(1)x x x x x +++->+>+++， 故()0g x '>对任意的[0,)x ∈+∞恒成立，
故()g x 在[0,)+∞上单调递增.
（Ⅲ）设()()()()e ln(1)e ln(1)e ln(1)s t s t m s f s t f s f t s t s t +=+--=++-+-+， 则11()e ln(1)e [ln(1)]()()11s t s m s s t s g s t g s s t s +⎡⎤'=+++-++=+-⎢⎥+++⎣⎦
， 由（Ⅱ）知()g x 在[0,)+∞上单调递增，
故当0s >，0t >时，()()()0m s g s t g s '=+->，
因此，()m s 在(0,)+∞上单调递增，
故()(0)(0)(0)()(0)0m s m f t f f t f >=+--=-=，
因此，对任意的,(0,)s t ∈+∞，有()()()f s t f s f t +>+.。