土的强度理论1
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3
σ1 n τ
π
1 1 3 F ( p, q, ) 2q cos 3 9 pq 729 27 k p 0 σ2 1
3 2
σ3
在主应力空间，拉德-邓肯强度准则是以静水压力轴为中心的锥体，图为在π 平面上的轨迹见图,可知，当摩擦角较小时，破坏面接近于圆形，随着摩擦角的增 20 大，破坏面渐渐趋近于三角形。
F 1 , 2 , 3 , k f 0
F , , , k f
F I1 , I 2 , I 3 , k f
0 0
等等
强度准则的几何描述
强度准则确定的强 度包线一般绘制在 三维主应力空间 中； 也常常把强度包线 绘制在 π 平面（ p 值 不变）和空间子午 面这两个平面上。
F ( , , ) sin 2 cos 3 sin sin 3 cos 3 sin 3c cos 0 4
F ( p, q, ) 6 p sin q cos 3 sin sin 3 cos 3 sin 6c cos 0
本构模型三维化示意图
200 150 100 50 0 0 -50 -100 -150 50 100 150 200 250 300
4.1 概述
2、材料的强度理论（破坏强度、屈服强度）
最大正应力理论（第一强度理论）：以屈服时 最大正应力确定强度。
1
最大弹性应变理论（第二强度理论）：以屈 服时最大弹性应变确定强度。
（3）三轴压缩 1 2 3 和三轴拉伸 1 2 3 应力状态下的 对比：
当c=0,θ=00时，在π 平面上三轴压缩剪切强度为
c
2 2 sin 3 sin
Mc
qc 6 sin p 3 sin
当c=0,θ=600时，在π 平面上三轴伸长剪切强度为
2
2
k2 0
2J 2
（2）π平面形状——圆
2J 2
（3）不足： a、该破坏准则中强度与应力洛德角无关，这与土的实际情况 不符（例如实际情况中三轴拉伸强度要小于三轴压缩强度而 不是该准则表观的相等）； b、未考虑静水压力p对强度的影响，即忽略了土的压硬性 （压力越大，土的抗剪强度越高）。 （4）修正：广义Mises准则 反映了压硬性，但仍不能反映强度随应力洛德角的变化。
土的强度理论
4.1 概述
1、土的强度及土的强度理论概念明晰
土的强度：土在荷载作用下可以发挥的最 大抵抗力（破坏时的抵抗力）叫做土的强度。 通常土的强度就是指土的抗剪强度。 土的强度理论：对土中的应力状态 与土 材料濒于破坏时特征参数 k f 之间关系的描述， 建立 F ij , k f 0 这样一种强度函数的具体形式。
2
98 2 tan 2 2 3
3
2 8 tan 0
2
规律：内摩擦角 （三轴压缩）增大， π平面上破坏面由圆 变外凸三角形，最 后变成三角形； SMP准则破坏面在 三轴压缩和三轴拉 伸处与莫尔库伦准 则重合。
Tresca准则 σ1 n 广义Tresca准则
1 1 3 k I1 0 2
σ1 n
σ2
σ3
σ2
σ3
F ( , ) sin 2 k 0 3
F ( , , ) sin 2k 6 0 3
F (q, ) 2q sin 6k 0 3
在主应力空间，是一个母线平行于 静水压力轴的柱面。
F ( p, q, ) 2q sin 6k 3 6 p 0 3
在主应力空间，是一个一个以空间对角线 13 为轴的正六角锥， 表示出了土的压硬性。
F
J 2 I1 k 0
F , 6 2k 0
F p, q q 3 3 p 3k 0
4.2.2 Tresca准则与广义Tresca准则
Tresca准则（1864）
（1）判断依据：最大剪应力达到某极限值时，材料破坏。
强度准则参数的求解
对于三轴压缩情况 SMP
SMP
2 1 3 常数 3 1 3
莫尔-库仑准则， 三轴压缩情况下
1 3 tan 2 1 3
考虑在三轴压缩条件下， SMP破坏线与莫尔-库仑破坏线重合，
SMP 2 1 3 2 2 tan SMP 3 1 3 3
2
1 3 2 3 1
2
2
SMP空间滑动面的确定：主应力两两组合得到莫尔库伦准则 所规定（相切）的二维内摩擦角 molij ，保证每个二维滑动面都 达到了莫尔库伦准则所要求的 45 。
2
用以上方法确定的面上剪应力和正应力 比值如果达到一个限值，那就认为土材料破 坏了，显然随着三个主应力大小的变化， SMP面也在变化，不像莫尔库伦准则中破坏 面是确定的。
SMP I I 9I 3 2 2 1 2 tan SMP 9I 3 3
18
SMP准则的其他表示形式：
I1 I 2 8 tan2 9 I3
16 F ( p, q, ) tan 2 27
q 6 F , Mc 2 3 p 108 9 cos3 3 cos3
19
4.2.5 Lade - Duncan准则
拉德-邓肯（1975）根据砂土真三轴试 验成果提出的强度准则为
3 I1 F (I1 , I 3 ) k1 0 I3
1 3 2 1 3 2 F ( , , ) cos3 27 2 0 2 27 k1
2 3 tan 1 3 tan 2 1 3 / 2
2
q 8 q 2 2 tan 2 8 tan 0 p 3 p
3
2
27 16 2 2 3 tan 1 F ( , , ) 3 / 2 tan 3/ 2 2 2 27 3 tan 1
ij
2、研究土的强度准则的意义
1、判断土何时达到破坏，在未破坏之前使用土的本构关系来进 行变形计算。
2、用强度准则把本构模型三维化——形状——在p-q面（子午 面）上画出三轴压缩状态下的屈服面，在空间中用强度准则的 形状去扭出所有应力状态下的屈服面（平面到空间实现三维 化）。 屈服面与本构模型的关系：土的本构关系就是土的应力应 变关系，土的弹性应变用胡克定律计算，土的塑性应变是用屈 服面来计算的（一般利用屈服面与塑性势面相等的相关联流动 法则），所以知道了屈服面就可以推导出土的应力应变关系。 3、求出不同强度准则下的变换应力——真实空间到变换空 间——弥补强度准则形状直接带入屈服面方程带来的计算复杂 问题。
4.2.3 Mohr-Coulomb准则
（1）判断依据：认为最大应力比达到某极限值时，材料破坏
（ ） max tan
f C tan
sin 1 1 3 2
三轴压缩试验
1 1 3 c cot 2
6 sin M 3 - sin
1 2 3
F J 2 ,
30 30
2J 2
用应力不变量表示：
J 2 cos k 0
30 30
（3）不足及修正：破坏面上有奇点不利数值计算，三轴拉伸与三 周压缩强度相等与实际不符。
1 1 3 k 2
1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 k f WD 6E
或 1 2 2 2 3 2 3 1 2 k 2 或 F (J2 ) J2 k 2 0
F
p，q的值：
1 p （ 1 2 3） 3 1 2 2 2 q （ 1 - 2） （ 2 - 3） （ 1 - 3） 2
4.2 土的强度准则
4.2.1 Mises准则与广义Mises准则
Mises准则（1913） （1）判断依据：认为在畸变能或者是偏应力J2 达到临界值时 发生破坏，即
1 2 3
4.1 概述
最大剪应力理论（第三强度理论）：
Tresca准 则
1 3
强度包线理论（第四强度理论）：以剪应力τ 和σ共同作用下屈服时的最大抗剪应力比确定 强度 。 Mohr-Coulomb
准则
常量弹性畸变能理论（第五强度理论）：
知识点回顾
应力不变量：不随坐标系变化而变化
I1 1 2 3 I 2 1 2 2 3 3 1 I3 1 2 3
p-q平面：建立在子午面上的坐标平面
π平面上应力值：
1 （ 1 2 3） 3 1 2 2 2 （ 1 - 2） （ 2 - 3） （ 1 - 3） 3
1 2
1 2 2 3 3 1
2 2 2
Mises 准则
4.2 土的强度准则
土的强度准则：表示土在破坏条件下，应力状态 和土性特征参数间的关系。
数学描述形式
F ij , k f
0
根据采取的应力不同，强度准则不同的表示形式
1 3 k f
（2）π平面上的形状：正六角形
1 2 3
3 6 cos 3 3 6 3 6 sin 3 3 3 6 cos 3 3 6
F ( , ) cos 2k 0
45 2
3
1Leabharlann 14（2）π平面上的形状：不等角的六边形 莫尔库伦准则下认为同一π平面上土的的不同应力状态对应的 内摩擦角 相等（SMP准则在三轴拉伸和三轴压缩情况下与 莫尔库伦准则重合，所以其在这两种应力状态下摩擦角相同。
随着摩擦角的增大，平面上的剪切强 度增大，当摩擦角增大到900时，平面上 的莫尔-库仑强度包线为正三角形， 当 摩擦角较小时，强度包线与广义Tresca 相近，成为正六角形。原因：静水压力 小，摩擦角小，反映在莫尔圆切线上， 就是切线接近是直线，所以和广义 Tresca相近，也可从公式看出。
qe 6 sin Me p 3 sin 三轴压缩强度与三轴伸长强度之比
e
2 2 sin 3 sin
q
Mc Me
c e
3 sin 3 sin
M c 3 sin M e 3 sin
p
（4）不足：没有考虑中主应力的影响，破坏面上有奇点不利数值 计算。
16
4.2.4 松冈-中井（SMP）准则
（1）判断依据：定义了一个破坏面，称为SMP空间滑动面， 认为该面上剪应力与正应力比值达到某一数值时，材料破坏。
SMP 2 1 2 SMP 3 2 1 2
3 2 2 2 3
σ1 n τ
π
1 1 3 F ( p, q, ) 2q cos 3 9 pq 729 27 k p 0 σ2 1
3 2
σ3
在主应力空间，拉德-邓肯强度准则是以静水压力轴为中心的锥体，图为在π 平面上的轨迹见图,可知，当摩擦角较小时，破坏面接近于圆形，随着摩擦角的增 20 大，破坏面渐渐趋近于三角形。
F 1 , 2 , 3 , k f 0
F , , , k f
F I1 , I 2 , I 3 , k f
0 0
等等
强度准则的几何描述
强度准则确定的强 度包线一般绘制在 三维主应力空间 中； 也常常把强度包线 绘制在 π 平面（ p 值 不变）和空间子午 面这两个平面上。
F ( , , ) sin 2 cos 3 sin sin 3 cos 3 sin 3c cos 0 4
F ( p, q, ) 6 p sin q cos 3 sin sin 3 cos 3 sin 6c cos 0
本构模型三维化示意图
200 150 100 50 0 0 -50 -100 -150 50 100 150 200 250 300
4.1 概述
2、材料的强度理论（破坏强度、屈服强度）
最大正应力理论（第一强度理论）：以屈服时 最大正应力确定强度。
1
最大弹性应变理论（第二强度理论）：以屈 服时最大弹性应变确定强度。
（3）三轴压缩 1 2 3 和三轴拉伸 1 2 3 应力状态下的 对比：
当c=0,θ=00时，在π 平面上三轴压缩剪切强度为
c
2 2 sin 3 sin
Mc
qc 6 sin p 3 sin
当c=0,θ=600时，在π 平面上三轴伸长剪切强度为
2
2
k2 0
2J 2
（2）π平面形状——圆
2J 2
（3）不足： a、该破坏准则中强度与应力洛德角无关，这与土的实际情况 不符（例如实际情况中三轴拉伸强度要小于三轴压缩强度而 不是该准则表观的相等）； b、未考虑静水压力p对强度的影响，即忽略了土的压硬性 （压力越大，土的抗剪强度越高）。 （4）修正：广义Mises准则 反映了压硬性，但仍不能反映强度随应力洛德角的变化。
土的强度理论
4.1 概述
1、土的强度及土的强度理论概念明晰
土的强度：土在荷载作用下可以发挥的最 大抵抗力（破坏时的抵抗力）叫做土的强度。 通常土的强度就是指土的抗剪强度。 土的强度理论：对土中的应力状态 与土 材料濒于破坏时特征参数 k f 之间关系的描述， 建立 F ij , k f 0 这样一种强度函数的具体形式。
2
98 2 tan 2 2 3
3
2 8 tan 0
2
规律：内摩擦角 （三轴压缩）增大， π平面上破坏面由圆 变外凸三角形，最 后变成三角形； SMP准则破坏面在 三轴压缩和三轴拉 伸处与莫尔库伦准 则重合。
Tresca准则 σ1 n 广义Tresca准则
1 1 3 k I1 0 2
σ1 n
σ2
σ3
σ2
σ3
F ( , ) sin 2 k 0 3
F ( , , ) sin 2k 6 0 3
F (q, ) 2q sin 6k 0 3
在主应力空间，是一个母线平行于 静水压力轴的柱面。
F ( p, q, ) 2q sin 6k 3 6 p 0 3
在主应力空间，是一个一个以空间对角线 13 为轴的正六角锥， 表示出了土的压硬性。
F
J 2 I1 k 0
F , 6 2k 0
F p, q q 3 3 p 3k 0
4.2.2 Tresca准则与广义Tresca准则
Tresca准则（1864）
（1）判断依据：最大剪应力达到某极限值时，材料破坏。
强度准则参数的求解
对于三轴压缩情况 SMP
SMP
2 1 3 常数 3 1 3
莫尔-库仑准则， 三轴压缩情况下
1 3 tan 2 1 3
考虑在三轴压缩条件下， SMP破坏线与莫尔-库仑破坏线重合，
SMP 2 1 3 2 2 tan SMP 3 1 3 3
2
1 3 2 3 1
2
2
SMP空间滑动面的确定：主应力两两组合得到莫尔库伦准则 所规定（相切）的二维内摩擦角 molij ，保证每个二维滑动面都 达到了莫尔库伦准则所要求的 45 。
2
用以上方法确定的面上剪应力和正应力 比值如果达到一个限值，那就认为土材料破 坏了，显然随着三个主应力大小的变化， SMP面也在变化，不像莫尔库伦准则中破坏 面是确定的。
SMP I I 9I 3 2 2 1 2 tan SMP 9I 3 3
18
SMP准则的其他表示形式：
I1 I 2 8 tan2 9 I3
16 F ( p, q, ) tan 2 27
q 6 F , Mc 2 3 p 108 9 cos3 3 cos3
19
4.2.5 Lade - Duncan准则
拉德-邓肯（1975）根据砂土真三轴试 验成果提出的强度准则为
3 I1 F (I1 , I 3 ) k1 0 I3
1 3 2 1 3 2 F ( , , ) cos3 27 2 0 2 27 k1
2 3 tan 1 3 tan 2 1 3 / 2
2
q 8 q 2 2 tan 2 8 tan 0 p 3 p
3
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27 16 2 2 3 tan 1 F ( , , ) 3 / 2 tan 3/ 2 2 2 27 3 tan 1
ij
2、研究土的强度准则的意义
1、判断土何时达到破坏，在未破坏之前使用土的本构关系来进 行变形计算。
2、用强度准则把本构模型三维化——形状——在p-q面（子午 面）上画出三轴压缩状态下的屈服面，在空间中用强度准则的 形状去扭出所有应力状态下的屈服面（平面到空间实现三维 化）。 屈服面与本构模型的关系：土的本构关系就是土的应力应 变关系，土的弹性应变用胡克定律计算，土的塑性应变是用屈 服面来计算的（一般利用屈服面与塑性势面相等的相关联流动 法则），所以知道了屈服面就可以推导出土的应力应变关系。 3、求出不同强度准则下的变换应力——真实空间到变换空 间——弥补强度准则形状直接带入屈服面方程带来的计算复杂 问题。
4.2.3 Mohr-Coulomb准则
（1）判断依据：认为最大应力比达到某极限值时，材料破坏
（ ） max tan
f C tan
sin 1 1 3 2
三轴压缩试验
1 1 3 c cot 2
6 sin M 3 - sin
1 2 3
F J 2 ,
30 30
2J 2
用应力不变量表示：
J 2 cos k 0
30 30
（3）不足及修正：破坏面上有奇点不利数值计算，三轴拉伸与三 周压缩强度相等与实际不符。
1 1 3 k 2
1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 k f WD 6E
或 1 2 2 2 3 2 3 1 2 k 2 或 F (J2 ) J2 k 2 0
F
p，q的值：
1 p （ 1 2 3） 3 1 2 2 2 q （ 1 - 2） （ 2 - 3） （ 1 - 3） 2
4.2 土的强度准则
4.2.1 Mises准则与广义Mises准则
Mises准则（1913） （1）判断依据：认为在畸变能或者是偏应力J2 达到临界值时 发生破坏，即
1 2 3
4.1 概述
最大剪应力理论（第三强度理论）：
Tresca准 则
1 3
强度包线理论（第四强度理论）：以剪应力τ 和σ共同作用下屈服时的最大抗剪应力比确定 强度 。 Mohr-Coulomb
准则
常量弹性畸变能理论（第五强度理论）：
知识点回顾
应力不变量：不随坐标系变化而变化
I1 1 2 3 I 2 1 2 2 3 3 1 I3 1 2 3
p-q平面：建立在子午面上的坐标平面
π平面上应力值：
1 （ 1 2 3） 3 1 2 2 2 （ 1 - 2） （ 2 - 3） （ 1 - 3） 3
1 2
1 2 2 3 3 1
2 2 2
Mises 准则
4.2 土的强度准则
土的强度准则：表示土在破坏条件下，应力状态 和土性特征参数间的关系。
数学描述形式
F ij , k f
0
根据采取的应力不同，强度准则不同的表示形式
1 3 k f
（2）π平面上的形状：正六角形
1 2 3
3 6 cos 3 3 6 3 6 sin 3 3 3 6 cos 3 3 6
F ( , ) cos 2k 0
45 2
3
1Leabharlann 14（2）π平面上的形状：不等角的六边形 莫尔库伦准则下认为同一π平面上土的的不同应力状态对应的 内摩擦角 相等（SMP准则在三轴拉伸和三轴压缩情况下与 莫尔库伦准则重合，所以其在这两种应力状态下摩擦角相同。
随着摩擦角的增大，平面上的剪切强 度增大，当摩擦角增大到900时，平面上 的莫尔-库仑强度包线为正三角形， 当 摩擦角较小时，强度包线与广义Tresca 相近，成为正六角形。原因：静水压力 小，摩擦角小，反映在莫尔圆切线上， 就是切线接近是直线，所以和广义 Tresca相近，也可从公式看出。
qe 6 sin Me p 3 sin 三轴压缩强度与三轴伸长强度之比
e
2 2 sin 3 sin
q
Mc Me
c e
3 sin 3 sin
M c 3 sin M e 3 sin
p
（4）不足：没有考虑中主应力的影响，破坏面上有奇点不利数值 计算。
16
4.2.4 松冈-中井（SMP）准则
（1）判断依据：定义了一个破坏面，称为SMP空间滑动面， 认为该面上剪应力与正应力比值达到某一数值时，材料破坏。
SMP 2 1 2 SMP 3 2 1 2
3 2 2 2 3