云南省昆明市第三十四中学高三数学理下学期期末试卷含解析

云南省昆明市第三十四中学高三数学理下学期期末试卷含解
析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S6=3，S9=45，则S3=（）
A．39 B．﹣39 C．12 D．﹣12
参考答案：
D
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】由等差数列的性质可得：S3，S6﹣S3，S9﹣S6，成等差数列，
【解答】解：由等差数列的性质可得：S3，S6﹣S3，S9﹣S6，成等差数列，
∴2（S6﹣S3）=S3+（S9﹣S6），
∴2×（3﹣S3）=S3+45﹣3，解得S3=﹣12．
故选：D．
2. (2009湖北卷理)已知双曲线的准线过椭圆的焦点，则直线
与椭圆至多有一个交点的充要条件是
A. B.
C. D.
参考答案：
A
解析：易得准线方程是
所以即所以方程是
联立可得由可解得A 3. 设数列{a n}的前n项和为S n，且，则数列的前10项的和是（）
A. 290
B.
C.
D.
参考答案：
C
【分析】
由得为等差数列，求得，得
利用裂项相消求解即可
【详解】由得，
当时，，整理得，
所以是公差为4的等差数列，又，
所以，从而，
所以，
数列前10项的和.
故选.
【点睛】本题考查递推关系求通项公式，等差数列的通项及求和公式，裂项相消求和，熟记公式，准确得是等差数列是本题关键，是中档题
4. 已知命题“”、“”和“”都是真命题，那么“”是“”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
．若，则，与矛盾，故．故“”是“”的充分不必要条件．
或：∵，∴．
5. 在中，点在上，且，点是的中点，若，，则
( )
A．B． C． D．
参考答案：
D
略
6. 用数学归纳法证明“”，则当时，左端应在的基础上加上（）
A. B.
C. D.
参考答案：
A
【分析】
写成的式子和的式子，两式相减可得.
【详解】当时，左端式子为，
当时，左端式子为，
两式比较可知增加的式子为.故选A.
【点睛】本题主要考查数学归纳法，从到过渡时，注意三个地方，一是起始项，二是终止项，三是每一项之间的步长规律，侧重考查逻辑推理的核心素养. 7. 设其中实数满足，若的最大值为，则的最小值为( )
A．B．C．D．
参考答案：
B
略
8. 过点（1，0）且与直线x―2y―2=0平行的直线方程是（）
A．x―2y―1=0 B．x―2y+1=0 C．2x+y―2=0 D．x+2y―1=0
参考答案：
A
9. 已知向量，其中，且，则向量与的夹角是（）
A． B． C．
D．
参考答案：
B
∵，∴．
∴，．
∵，∴．
8．椭圆的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为,若
成等比数列，则此椭圆的离心率为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，∴．
∴，∴，∴．
10. 如图，正方体中，，分别为棱、上的点；已知下列判断：
①平面；
②在侧面上的正投影是面积为定值的三角形；
③在平面内总存在与平面平行的直线；
④平面与平面所成的二面角（锐角）的大小与点的位置有关，
与点的位置无关；
其中正确判断的个数有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
参考答案：
B
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知双曲线C的方程为﹣=1，其左、右焦点分别是F1，F2．已知点 M坐标为（2，1），双
曲线C上点P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）满足=，则S﹣
S = ．
参考答案：
2【考点】KC ：双曲线的简单性质．
【分析】利用，得出∠MF 1P=∠MF 1F 2，进而求出直线PF 1的方程为y=（x+3），与双曲线联立可得
P（3，），由此即可求出．
【解答】解：∵，
∴||cos∠MF1P=||cos∠MF1F2，
∴∠MF1P=∠MF1F2，
∵cos∠MF1F2=
∴cos∠PF1F2=2cos2∠MF1F2﹣1=
∴tan∠PF1F2=
∴直线PF1的方程为y=（x+3）
与双曲线联立可得P（3，），
∴|PF1|=，
∵sin∠MF1F2=
∴=×××=，
∵==，
∴=2，
故答案为：2
12. 极坐标方程分别为ρ=cosθ与ρ=sinθ的两个圆的圆心距为．参考答案：
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【专题】计算题．
【分析】先利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，将极坐标方程为ρ=cosθ和ρ=sinθ化成直角坐标方程，最后利用直角坐标方程的形式，结合两点间的距离公式求解即得．
【解答】解：由ρ=cosθ，化为直角坐标方程为x2+y2﹣x=0，其圆心是A（，0），
由ρ=sinθ，化为直角坐标方程为x2+y2﹣y=0，其圆心是B（0，），
由两点间的距离公式，得AB=，
故答案为：．
【点评】本小题主要考查圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及利用圆的几何性质计算圆心距等基本方法，我们要给予重视．
13. 在等差数列中，已知，则该数列前5项和_______．
参考答案：
15
试题分析：∵，∴.
考点：等差数列的性质、等差数列的前n项和.
14. 如图，是以为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形内”，B表示事件“豆子落在扇形（阴影部分）内”，则（1）；（2）
参考答案：
;略
15. 如图，在等腰三角形中，已知分别是边上的点，且
其中若的中点分别为且则的最小值
是．
参考答案：
16. 已知函数
的定义域为，部分对应值如下表，的导函数的图像如图所示
若函数有
4个零点，则的取值范围为__________.
参考答案：
17. 已知是定义在上的奇函数.当时，，则不等式的解集用区间表示为
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 平面直角坐标系xoy中，椭圆C1： +=1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆右焦点F作两条相互垂直的弦，当其中一条弦所在直线斜率为0时，两弦长之和为6．
（1）求椭圆的方程；
（2）A，B是抛物线C2：x2=4y上两点，且A，B处的切线相互垂直，直线AB与椭圆C1相交于C，D两点，求弦|CD|的最大值．
参考答案：
【考点】直线与椭圆的位置关系．
【分析】（1）由椭圆的离心率为，过椭圆右焦点F作两条相互垂直的弦，当其中一条弦所在直线斜率为0时，两弦长之和为6，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆方程．
（2）设直线AB为：y=kx+m，由，得x2﹣4kx﹣4m=0，由此利用韦达定理、直线垂
直推导出直线AB过抛物线C1的焦点F，再由，得（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，由此利用弦长公式能求出弦|CD|的最大值．
【解答】解：（1）∵椭圆C1： +=1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆右焦点F作两条相互垂直的弦，
当其中一条弦所在直线斜率为0时，两弦长之和为6，
∴，解得a=2，b=c=，
∴椭圆方程为．
（2）设直线AB为：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），
由，得x2﹣4kx﹣4m=0，
则x1+x2=4k，x1x2=﹣4m，
由x2=4y，得，
故切线PA，PB的斜率分别为，k PB=，再由PA⊥PB，得k PA?k PB=﹣1，
∴，
解得m=1，这说明直线AB过抛物线C1的焦点F，
由，得（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，
∴|CD|=?=
≤3．
当且仅当k=时取等号，
∴弦|CD|的最大值为3．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查弦长的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理、弦长公式、直线与椭圆位置关系等知识点的合理运用．
19. 如图，设椭圆C1： +=1（a＞b＞0），长轴的右端点与抛物线C2：y2=8x的焦点F重合，且
椭圆C1的离心率是．
（1）求椭圆C1的标准方程；
（2）过F作直线l交抛物线C2于A，B两点，过F且与直线l垂直的直线交椭圆C1于另一点C，求△ABC面积的最小值，以及取到最小值时直线l的方程．
参考答案：
【考点】K4：椭圆的简单性质．
【分析】（1）由已知可得a，又由椭圆C1的离心率得c，b=1即可．
（2）过点F（2，0）的直线l的方程设为：x=my+2，设A（x1，y1），B（x2，y2）联立
得y2﹣8my﹣16=0．|AB|=，同理得
|CF|=?．△ABC面积s=|AB|?|CF|=．令，则s=f（t）=，利用导数求最值即可．
【解答】解：（1）∵椭圆C1： +=1（a＞b＞0），长轴的右端点与抛物线C2：y2=8x的焦点F 重合，∴a=2，
又∵椭圆C1的离心率是．∴c=，?b=1，∴椭圆C1的标准方程：．
（2）过点F（2，0）的直线l的方程设为：x=my+2，设A（x1，y1），B（x2，y2）
联立得y2﹣8my﹣16=0．
y1+y2=8m，y1y2=﹣16，∴|AB|==8（1+m2）．
过F且与直线l垂直的直线设为：y=﹣m（x﹣2）
联立得（1+4m2）x2﹣16m2x+16m2﹣4=0，
x C+2=，?x C=．
∴|CF|=?．
△ABC面积s=|AB|?|CF|=．
令，则s=f（t）=，f′（t）=，
令f′（t）=0，则t2=，即1+m2=时，△ABC面积最小．即当m=±时，△ABC面积的最小值为9，此时直线l的方程为：x=±y+2．
20. 离心率为的椭圆的左、右焦点分别为、，为坐标原点. (Ⅰ)求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线与交于相异两点、，且（是坐标原点），求.
参考答案：
解：(Ⅰ)依题意得，解得，故椭圆方程为.……………………………4分
（Ⅱ）由
设、
则,
从而.
略
21. (1) 已知x<，求函数y＝4x－2＋的最大值；
(2) 已知x>0，y>0且＝1，求x＋y的最小值．
参考答案：
(1) x<
，∴ 4x－5<0.
∴ y＝4x －5＋
＋3＝－[(5－4x)＋
]＋3
≤－2
＋3＝1，y max ＝1.
(2) ∵ x>0，y>0且
＋
＝1，
∴ x ＋y ＝(x ＋y)
＝10＋
＋
≥10＋2
＝16，即x ＋y 的最小值为16.
22. 雅礼中学研究性学习课题小组针对长沙市工薪阶层对“长沙市楼市限购令”的态度进行调查，随机调查了50位市民，他们月收入频数分布表，以及对“楼市限购令”赞成人数如下表.
（1）完成下图的月收入频率分布直方图（注意填写纵坐标）及2×2列联表；
（2）若从月收入（单位：百元）在[15,25)的被调查者中随机选取两人进行追踪调查，求选中的2人
恰好有1人不赞成“楼市限购令”的概率.
参考答案：
（1）见解析；（2）
【分析】
（1）由所给数据计算各组频率，再计算频率除以组距，作频率分布直方图；
（2）列出从5人（其中4人赞同，1人不赞同）取出2人的所有基本事件，找到其中恰有一人不赞同
的基本事件数，计算其概率.
【详解】（1）各组的频率分别是0.1，0.2，0.3，0.2，0.1，0.1，
所以图中各组的纵坐标分别是：0.01，0.02，0.03，0.02，0.01，0.01，
（2）设月收入（单位：百元）在
的被调查者中赞成的分别是，，，，不赞成的是，从中选出两人的所有结果有：
，，，，，，
，
，
，
，其中选中
的有：
，
，
，
.
所以选中的2人恰好有1人不赞成“楼市限购令”的概率是.
【点睛】该题考查的是有关概率统计的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有补充列联表，作频率分布直方图，古典概型，熟练掌握基础知识是解题的关键.。