2020-2021高中三年级数学下期末一模试题(含答案)(5)

2020-2021高中三年级数学下期末一模试题(含答案)(5)
一、选择题
1．下列函数图像与x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( ) A ．
B ．
C ．
D ．
2．设向量a r ，b r
满足2a =r ，||||3b a b =+=r r r ，则2a b +=r r （ ）
A ．6
B ．32
C ．10
D ．42 3．设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( )
A ．－15x 4
B ．15x 4
C ．－20i x 4
D ．20i x 4
4．下列四个命题中，正确命题的个数为( ) ①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合； ②两条直线一定可以确定一个平面；
③若M α∈，M β∈，l αβ=I ，则M l ∈； ④空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内． A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．若,,a b R i ∈为虚数单位，且()a i i b i +=+，则
A ．1,1a b ==
B ．1,1a b =-=
C ．1,1a b ==-
D ．1,1a b =-=-
6．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－2π<φ<2
π
)的部分图象如图所示，则ω、φ的值分别是( )
A ．2，－
3π
B ．2，－6
π C ．4，－6
π
D ．4，
3
π 7．函数y ()y ()f x f x ==，
的导函数的图像如图所示，则函数y ()f x =的图像可能是
A ．
B ．
C ．
D ．
8．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为
A ．72
B ．64
C ．48
D ．32
9．已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，则tan()4
π
α+的值等于（ ） A ．
1318
B ．
3
22
C ．
1322
D ．
318
10．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm ），则该柱体的体积（单位：cm 3）是（ ）
A ．158
B ．162
C ．182
D ．324
11．已知a R ∈，则“0a =”是“2
()f x x ax =+是偶函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
12．已知复数z 满足()12i z +=，则复数z 的虚部为（ ） A ．1
B ．1-
C ．i
D ．i -
二、填空题
13．曲线2
1
y x x
=+
在点（1，2）处的切线方程为______________． 14．设正数,a b 满足21a b +=，则
11
a b
+的最小值为__________． 15．若x ，y 满足约束条件x y 10
2x y 10x 0
--≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩
，则x
z y 2=-+的最小值为______．
16．已知复数z=（1+i ）（1+2i ）,其中i 是虚数单位，则z 的模是__________ 17．在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆2cos ρθ=相切，则
a =__________．
18．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos 1cos2cos 1cos2b C C
c B B
+=+，C 是锐角，且27a =1
cos 3
A =
，则ABC △的面积为______． 19．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有__________种不同的选法．（用数字作答） 20．设α 为第四象限角，且
sin3sin αα＝13
5
，则 2tan ＝α ________. 三、解答题
21．已知向量()2sin ,1a x =+r ，()2,2b =-r ，()sin 3,1c x =-r
，()1,d k =u r
(),x R k R ∈∈
（1）若,22x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，且()
//a b c +r r r ，求x 的值.
（2）若函数()f x a b =⋅r r
，求()f x 的最小值.
（3）是否存在实数k ，使得()()
a d
b
c +⊥+r u r r r
？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，
请说明理由.
22．设函数()15,f x x x x R =++-∈. （1）求不等式()10f x ≤的解集；
（2）如果关于x 的不等式2
()(7)f x a x ≥--在R 上恒成立，求实数a 的取值范围.
23．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，H 是正方形11AA B B 的中心，122AA =，
1C H ⊥平面11AA B B ，且1 5.C H =
（Ⅰ）求异面直线AC 与11A B 所成角的余弦值； （Ⅱ）求二面角111A AC B --的正弦值；
（Ⅲ）设N 为棱11B C 的中点，点M 在平面11AA B B 内，且MN ⊥平面111A B C ，求线段
BM 的长．
24．若不等式2520ax x +->的解集是122x x ⎧⎫
<<⎨⎬⎩⎭
，求不等式22510ax x a -+->的解集．
25．已知函数()1f x ax lnx =--，a R ∈．
(Ⅰ)讨论函数()f x 的单调区间；
(Ⅱ)若函数()f x 在1x =处取得极值，对()0,x ∀∈+∞，()2f x bx ≥-恒成立，求实数
b 的取值范围．
26．设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 2
2:12
x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，
点P 满足2NP =u u u v u u u v
.
（1）求点P 的轨迹方程；
（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=u u u v u u u v
.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的
左焦点F .
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】
根据函数图象理解二分法的定义，函数f （x ）在区间[a ，b ]上连续不断，并且有f （a ）•f （b ）＜0．即函数图象连续并且穿过x 轴． 【详解】
解：能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a ，b ]上连续不断，并且有f （a ）•f （b ）＜0A 、B 中不存在f （x ）＜0，D 中函数不连续． 故选C ． 【点睛】
本题考查了二分法的定义，学生的识图能力，是基础题．
2．D
解析：D 【解析】 【分析】
由题意，根据向量的模的运算，可得222+3+23a b ⋅=r r
，求得2a b ⋅=-r r
，再根据向量模的运算，即可求解． 【详解】
∵向量a r ，b r 满足2a =r ，3b a b =+=r r r ，∴222323a b ++⋅=r r
，解得2a b ⋅=-r r ． 则()22222442434242a b a b a b +=++⋅=+⨯+⨯-=r r r r r r
．故选D ．
【点睛】
本题主要考查了向量的数量积的运算，及向量的模的运算问题，其中解答中熟记向量的数量积的运算和向量的模的运算公式，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
3．A
解析：A 【解析】 试题分析：二项式的展开式的通项为
，令
，则
，故
展开式中含
的项为
，故选A.
【考点】二项展开式，复数的运算
【名师点睛】本题考查二项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考的内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可．二项式
可以写为
，则其通项为
，则含
的项为
．
4．A
解析：A 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，故（1）不正确；
两条异面直线不能确定一个平面，故（2）不正确； 若M ∈α，M ∈β，α∩β=l ，则M ∈l ，故（3）正确；
空间中，相交于同一点的三直线不一定在同一平面内（如棱锥的3条侧棱），故（4）不正确，
综上所述只有一个说法是正确的， 故选A ．
5．C
解析：C 【解析】 【分析】
利用复数乘法的运算法则化简原式，利用复数相等的性质可得结果. 【详解】
因为()a i i b i +=+， 即1ai b i -+=+，
因为,,a b R i ∈为虚数单位，所以1,1a b ==-， 故选C. 【点睛】
本题主要考查复数的乘法运算以及复数相等的性质，属于基础题.
6．A
解析：A 【解析】 【分析】
由函数f （x ）＝2sin （ωx+φ）的部分图象，求得T 、ω和φ的值． 【详解】
由函数f （x ）＝2sin （ωx+φ）的部分图象知，
3T 5π412=-（π3-）3π4
=， ∴T 2π
ω
=
=π，解得ω＝2；
又由函数f （x ）的图象经过（5π
12
，2）， ∴2＝2sin （25π
12
⨯+φ）， ∴
5π6+φ＝2kππ
2
+，k∈Z， 即φ＝2kππ
3
-， 又由π2-
＜φπ2＜，则φπ3
=-； 综上所述，ω＝2、φπ
3
=-． 故选A ． 【点睛】
本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
7．D
解析：D 【解析】
原函数先减再增，再减再增，且0x =位于增区间内，因此选D ．
【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与x 轴的交点为
0x ，且图象在0x 两侧附近连续分布于x 轴上下方，则0x 为原函数单调性的拐点，运用导数
知识来讨论函数单调性时，由导函数
'()f x 的正负，得出原函数()f x 的单调区间．
8．B
解析：B 【解析】 【分析】
由三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥，利用体积公式，即可求解。

【详解】
由题意，几何体的三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥，
所以几何体的体积为1445443643
V V V =-=⨯⨯-⨯⨯⨯=柱锥，故选B 。

【点睛】
本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线。

求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解。

9．B
解析：B 【解析】 【分析】
由题可分析得到()tan +tan 44ππααββ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣
⎦,由差角公式,将值代入求解即可 【详解】 由题,
()()()21tan tan 3454tan +tan 21442211tan tan 544παββππααββπαββ⎛⎫+---
⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+--=== ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦+⨯++- ⎪⎝
⎭,
故选：B 【点睛】
本题考查正切的差角公式的应用,考查已知三角函数值求三角函数值问题
10．B
解析：B 【解析】 【分析】
先由三视图还原出原几何体，再进行计算 【详解】
由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为
26
4633616222++⎛⎫⨯+⨯⨯=
⎪⎝⎭
. 故选B. . 【点睛】
本题首先根据三视图，还原得到几何体——棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积，常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心计算
11．C
解析：C 【解析】
因为()2
f x x ax =+是偶函数，所以22
()()20f x x ax f x x ax ax -=-==+∴=
所以0a =.所以“0a =”是“()2
f x x ax =+是偶函数”的充要条件.故选C.
12．B
解析：B 【解析】
设,,z a bi a b R =+∈（） ，由()1i 22z z i z +=⇒=--（）2a bi i a bi ⇒+=--（）
，2a bi b a i ⇒+=-+-（） ,
2a b b a =-⎧⇒⎨
=-⎩ 1b ⇒=- ，故选B. 二、填空题
13．【解析】设则所以所以曲线在点处的切线方程为即点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一用导数求切线方程的关键在于求出斜率其求法为：设是曲线上的一点则以为切点的切线方程是若曲线在点处的切线平行于轴（即 解析：1y x =+
【解析】
设()y f x =，则21
()2f x x x
'=-，所以(1)211f '=-=， 所以曲线2
1
y x x
=+
在点(1,2)处的切线方程为21(1)y x -=⨯-，即1y x =+． 点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 为切点的切线方程是
000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线平行于y 轴（即导数不
存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．
14．【解析】则则的最小值为点睛:本题主要考查基本不等式解决本题的关键是由有在用基本不等式求最值时应具备三个条件：一正二定三相等①一正：关系式中各项均为正数；②二定：关系式中含变量的各项的和或积必须有一个
解析：3+【解析】
21a b Q +=，则
1111223+3b a a b a b a b a b +=++=+≥+（）（）11a b
+的最小值
为3+
点睛:本题主要考查基本不等式，解决本题的关键是由21a b +=，有
1111
2a b a b a b
+=++（）（），在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.
15．-1【解析】【分析】画出约束条件表示的平面区域由图形求出最优解再计算目标函数的最小值【详解】画出约束条件表示的平面区域如图所示由图形知当目标函数过点A 时取得最小值由解得代入计算所以的最小值为故答案为
解析：-1 【解析】
【分析】
画出约束条件表示的平面区域，由图形求出最优解，再计算目标函数1
z x y 2
=-+的最小值． 【详解】
画出约束条件102100x y x y x --≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
表示的平面区域如图所示，
由图形知，当目标函数1
z x y 2
=-+过点A 时取得最小值，由{
x 0
x y 10=--=，解得
()A 0,1-，代入计算()z 011=+-=-，所以1
z x y 2
=-+的最小值为1-．
故答案为1-． 【点睛】
本题考查了线性规划的应用问题，也考查了数形结合的解题方法，是基础题．
16．【解析】【分析】利用复数的运算法则模的计算公式即可得出【详解】解：复数z ＝（1+i ）（1+2i ）＝1﹣2+3i ＝﹣1+3i∴|z|故答案为【点睛】对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其 10
【解析】 【分析】
利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出． 【详解】
解：复数z ＝（1+i ）（1+2i ）＝1﹣2+3i ＝﹣1+3i ， ∴|z |22(1)310=-+= 10． 【点睛】
对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如
()()a bi c di ++=()()(,,,)ac bd ad bc i a b c d R -++∈．其次要熟悉复数相关概念，如复
数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭复数为a bi -．
17．【解析】【分析】根据将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程再根据圆心到直线距离等于半径解出【详解】因为由得由得即即因为直线与圆相切所以
【点睛】（1）直角坐标方程化为极坐标方程只要运用公式及直接代入并化
解析：1【解析】
【分析】
根据222
,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程，再根据圆心到直线距离等于半径解出a .
【详解】
因为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，
由cos sin (0)a a ρθρθ+=>，得(0)x y a a +=>，
由2cos ρθ=，得2=2cos ρρθ，即22=2x y x +，即22(1)1x y -+=，
1101a a a =∴=±>∴=+Q ，，
【点睛】 （1）直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式cos x ρθ=及sin y ρθ=直接代入并化简即可；
（2）极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如2cos ,sin ,ρθρθρ的形式，
进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.
18．【解析】【分析】由及三角变换可得故于是得到或再根据可得从而然后根据余弦定理可求出于是可得所求三角形的面积【详解】由得∵∴∴又为三角形的内角∴或又∴于是由余弦定理得即解得故∴故答案为【点睛】正余弦定理
解析：【解析】
【分析】 由cos 1cos2cos 1cos2b C C c B B +=+及三角变换可得sin cos sin cos B C C B
=，故sin2sin2B C =，于是得到B C =或2B C π+=，再根据1cos 3A =可得B C =，从而b c =，然后根据余弦定理可求
出b c ==
【详解】
由cos 1cos2cos 1cos2b C C c B B +=+，得22sin cos 2cos sin cos 2cos B C C C B B
=， ∵cos 0,cos 0C B ≠≠， ∴sin cos sin cos B C C B
=， ∴sin2sin2B C =，
又,B C 为三角形的内角，
∴B C =或2B C π+=
， 又1cos 3
A =， ∴
B
C =，于是b c =． 由余弦定理得2222cos ,a b c b A =+-
即(222223b b b =+-，
解得b =，故c =
∴11sin 223
ABC S bc A ∆===
故答案为．
【点睛】
正余弦定理常与三角变换结合在一起考查，此类问题一般以三角形为载体，解题时要注意合理利用相关公式和三角形三角的关系进行求解，考查综合运用知识解决问题的能力，属于中档题．
19．660【解析】【分析】【详解】第一类先选女男有种这人选人作为队长和副队有种故有种；第二类先选女男有种这人选人作为队长和副队有种故有种根据分类计数原理共有种故答案为
解析：660
【解析】
【分析】
【详解】
第一类，先选1女3男，有316240C C =种，这4人选2人作为队长和副队有2412A =种，故
有4012480⨯= 种；第二类，先选2女2男，有226215C C =种，这4人选2人作为队长和
副队有2412A =种，故有1512180⨯=种，根据分类计数原理共有480180660+=种，故答案为660.
20．－【解析】因为＝＝＝＝＝4cos2α－1＝2(2cos2α－1)＋1＝2cos2α＋1＝所以cos2α＝又α是第四象限角所以sin2α＝－tan2α＝－点睛：三角函数求值常用方法：异名三角函数化为同
解析：－
34 【解析】 因为
3sin sin αα＝()2sin sin ααα+ ＝22sin cos cos sin sin ααααα
+ ＝()22221sin cos cos sin sin αααα
α+- ＝24sin cos sin sin αααα
- ＝4cos 2α－1＝2(2cos 2α－1)＋1＝2cos 2α＋1 ＝135，所以cos 2α＝45
. 又α是第四象限角，所以sin 2α＝－
35，tan 2α＝－34. 点睛：三角函数求值常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．
三、解答题
21．（1）6x π=-
；（2）0；（3）存在[]5,1k ∈-- 【解析】
【分析】
（1）由向量平行的坐标表示可求得sin x ，得x 值；
（2）由数量积的坐标表示求出()f x ，结合正弦函数性质可得最值； （3）计算由()()
0a d b c +⋅+=r u r r r 得k 与sin x 的关系，求出k 的取值范围即可． 【详解】 （1）()sin 1,1b c x +=--r r Q ，()
//a b c +r r r ， ()2sin sin 1x x ∴-+=-，即1sin 2x =-.又,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，6x π∴=-. （2）∵()2sin ,1a x =+r ，()2,2b =-r ，()()22sin 22sin 2f x a b x x ∴=⋅=+-=+r r .
x R ∈Q ，1sin 1x ∴-剟，()04f x ∴剟
，()f x ∴的最小值为0. （3）∵()3sin ,1a d x k +=++r u r ，()sin 1,1b c x +=--r r ，
若()()a d b c +⊥+r u r r r ，则()()
0a d b c +⋅+=r u r r r ，即()()()3sin sin 110x x k +--+=，
()22sin 2sin 4sin 15k x x x ∴=+-=+-，由[]sin 1,1x ∈-，得[]5,1k ∈--，
∴存在[]5,1k ∈--，使得()()
a d
b
c +⊥+r u r r r 【点睛】
本题考查平面得数量积的坐标运算，考查正弦函数的性质．属于一般题型，难度不大．
22．（1）{}|37x x -≤≤；（2）(],9-∞.
【解析】
【分析】
（1）分别在1x ≤-、15x -<<、5x ≥三种情况下去掉绝对值符号得到不等式，解不等式求得结果；（2）将不等式变为()()27a f x x ≤+-，令()()()27g x f x x =+-，可得到分段函数()g x 的解析式，分别在每一段上求解出()g x 的最小值，从而得到()g x 在R 上的最小值，进而利用()min a g x ≤得到结果.
【详解】
（1）当1x ≤-时，()154210f x x x x =--+-=-≤，解得：31x -≤≤- 当15x -<<时，()15610f x x x =++-=≤，恒成立
当5x ≥时，()152410f x x x x =++-=-≤，解得：57x ≤≤
综上所述，不等式()10f x ≤的解集为：{}
37x x -≤≤
（2）由()()27f x a x ≥--得：()()27a f x x ≤+- 由（1）知：()42,16,1524,5x x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪-≥⎩
令()()()22221653,171455,151245,5x x x g x f x x x x x x x x ⎧-+≤-⎪=+-=-+-<<⎨⎪-+≥⎩
当1x ≤-时，()()min 170g x g =-=
当15x -<<时，()()510g x g >=
当5x ≥时，()()min 69g x g ==
综上所述，当x ∈R 时，()min 9g x =
()a g x ≤Q 恒成立 ()min a g x ∴≤ (],9a ∴∈-∞
【点睛】
本题考查分类讨论求解绝对值不等式、含绝对值不等式的恒成立问题的求解；求解本题恒成立问题的关键是能够通过分离变量构造出新的函数，将问题转化为变量与函数最值之间的比较，进而通过分类讨论得到函数的解析式，分段求解出函数的最值.
23．（Ⅰ
）
3
；（Ⅱ
；（Ⅲ
【解析】
【分析】 （Ⅰ）以B 为坐标原点，BA 所在直线为x 轴，1BB 所在直线为y 轴，建立坐标系，设异
面直线AC 与11A B 所成角为α，算出11,AC A B u u u r u u u u r ，再利用cos α=11|cos ,|AC A B 〈〉u u u r u u u u r 计算即
可；
（Ⅱ）分别求出平面11AA C 的法向量m u r 与平面111B AC 的法向量n r ，再利用向量的夹角公式算得cos ,m n 〈〉u r r
即可； （Ⅲ）设(,,0)M a b ，由MN ⊥平面111A B C ，得111100MN A B MN A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
u u u u v u u u u v u u u u v u u u u v ，进一步得到M 的坐标，再由模长公式计算BM 的长.
【详解】
如图所示，建立空间直角坐标系，其中点B 为坐标原点，BA 所在直线为x 轴，1BB 所在直线为y 轴，
由题意，
111(0,0,0),B A C A B C ， （Ⅰ
）11((AC A B ==-u u u r u u u u r ，
所以111111cos ,3||||AC A B AC A B AC A B ⋅〈〉===u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r ， 设异面直线AC 与11A B 所成角为α，
则cos α
=11|cos ,|3
AC A B 〈〉=u u u r u u u u r ， 所以异面直线AC 与11A B
所成角的余弦值为
3
. （Ⅱ
）易知111(AA AC ==u u u r u u u u r ，
设平面11AA C 的法向量(,,)m x y z =，
则11100m AC m AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u v v u u u v v
，即00
⎧+=⎪⎨=⎪⎩，
令x =
z =
，所以m =u r ，
同理，设平面111B AC 的法向量(,,)n x y z =r ，
则111100n A C n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u v v u u u u v v ，即2250220x y z x ⎧--+=⎪⎨-=⎪⎩， 令5y =，则2z =
，所以(0,5,2)n =r ，
所以2cos ,7
||||77m n m n m n ⋅〈〉===⋅⋅u r r u r r ， 设二面角111A AC B --的大小为θ，
则22
35sin 1()7θ=-=， 所以二面角111A AC B --的正弦值为35. （Ⅲ）由N 为棱11B C 的中点，得2325,,222N ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 设(,,0)M a b ，则2325,,222MN a b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u u r ， 由MN ⊥平面111A B C ，得111100
MN A B MN A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u v u u u u v u u u u v u u u u v ，即 2(22)022325(2)(2)5022a a b ⎧⎛⎫-⋅-=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛
⎫⎛⎫⎪-⋅-+-⋅-+⋅= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎩， 解得222
4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，故22,,024M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因此22,,024BM ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u u r ， 所以线段BM 的长为10||4
BM =u u u u r .
【点睛】
本题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查学生的空间想象能力、运算能力和推理论证能力.
24．132x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩
⎭ 【解析】
【分析】 由不等式的解集和方程的关系，可知12
，2是方程520ax x +-=的两根，利用韦达定理求出a ，再代入不等式22510ax x a -+->，解一元二次不等式即可.
【详解】
解：由已知条件可知0a <，且方程520ax x +-=的两根为12
，2； 由根与系数的关系得55221a a
⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得2a =-． 所以原不等式化为2530x x +-<解得132x -<<
所以不等式解集为132x x ⎧
⎫-<<⎨⎬⎩⎭
【点睛】
本题主要考查一元二次不等式的解法，还考查一元二次不等式解集与一元二次方程的关系以及利用韦达定理求值.
25．(1) 当0a ≤时，()f x 的单调递减区间是(0,)+∞，无单调递增区间；当0a >时，()f x 的单调递减区间是10,a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间是1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ (2) 211b e -≤ 【解析】
【分析】
【详解】
分析：（1）求导()f x '，解不等式()0f x '>，得到增区间，解不等式()0f x '<，得到减区间；
（2）函数f （x ）在x=1处取得极值，可求得a=1，于是有f （x ）≥bx ﹣2⇔1+1x ﹣lnx x ≥b ，构造函数g （x ）=1+1x ﹣lnx x ，g （x ）min 即为所求的b 的值 详解：
（1）在区间()0,∞+上， ()11ax f x a x x
-'=-=，
当0a ≤时， ()0f x '<恒成立， ()f x 在区间()0,∞+上单调递减；
当0a >时，令()0f x '=得1x a
=， 在区间10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 在区间1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上，()0f x '>，函数()f x 单调递增. 综上所述：当0a ≤时， ()f x 的单调递减区间是()0,∞+，无单调递增区间； 当0a >时，()f x 的单调递减区间是10,a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间是1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
（2）因为函数()f x 在1x =处取得极值，
所以()10f '=，解得1a =，经检验可知满足题意
由已知()2f x bx ≥-，即1ln 2x x bx --≥-， 即1ln 1+x b x x
-≥对()0,x ∀∈+∞恒成立， 令()1ln 1x g x x x =+
-， 则()222
11ln ln 2x x g x x x x -='---=， 易得()g x 在(20,e ⎤⎦上单调递减，在)
2,e ⎡+∞⎣上单调递增， 所以()()2
2min 11g x g e e ==-，即211b e -≤.
点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x >，若()0f x <恒成立，转化为max ()0f x <;
（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为min max ()()f x g x >
26．（1）222x y +=；（2）见解析.
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：（1）转移法求轨迹：设所求动点坐标及相应已知动点坐标，利用条件列两种坐标关系，最后代入已知动点轨迹方程，化简可得所求轨迹方程；（2）证明直线过定点问题，一般方法是以算代证：即证0OQ PF ⋅=u u u r u u u r ，先设 P （m ，n ），则需证
330+-=m tn ，即根据条件1OP PQ ⋅=u u u r u u u r 可得2231--+-=m m tn n ，而222m n +=，
代入即得330+-=m tn .
试题解析：解：（1）设P （x ，y ），M （00,x y ）,则N （0,0x ），00NP (x ,),MN 0,x y y =-=u u u r u u u u r （）
由NP =u u u r u u u r 得000x y y ==，. 因为M （00,x y ）在C 上，所以22
x 122
y +=. 因此点P 的轨迹为222x y +=.
由题意知F （-1,0），设Q （-3，t ），P （m ，n ），则 OQ 3t PF 1m n OQ PF 33m tn =-=---⋅=+-u u u r u u r u u u r u u r ，，，，，
OP m n PQ 3m t n ==---u u u r u u u r ，，（，）
. 由OP PQ 1⋅=u u u r u u u r 得-3m-2m +tn-2n =1，又由（1）知222m n +=，故3+3m-tn=0. 所以OQ PF 0⋅=u u u r u u r ，即OQ PF ⊥u u u r u u r .又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.
点睛:定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒成立的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.。