(江苏专版)高考数学一轮复习 第十一章 推理与证明 11.1 合情推理与演绎推理讲义-人教版高三全册

§11.1 合情推理与演绎推理
命题探究
考纲解读
考点
内容解读 要求
五年高考统计
常考题型 预测热度
2013 2014 2015 2016 2017
1.合情推理
由相关背景进行结论
推测
B
填空题 ★☆☆
2.演绎推理
相关结论的证明
B
填空题
解答题
★★☆
分析解读 推理与证明是新课标新增加的内容,某某高考一般很少单独考查,但是演绎推理是解答试题必需的过程,所以仍需要认真掌握.
五年高考
考点一 合情推理
1.(2017课标全国Ⅱ文改编,9,5分)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则以下四种说法正确的是. ①乙可以知道四人的成绩; ②丁可以知道四人的成绩; ③乙、丁可以知道对方的成绩; ④乙、丁可以知道自己的成绩.
答案④
2.(2016某某,12,5分)观察下列等式:
+=×1×2;
+++=×2×3;
+++…+=×3×4;
+++…+=×4×5;
……
照此规律,
+++…+=.
答案
考点二演绎推理
1.(2017理,14,5分)三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点A i的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数,点B i的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数,i=1,2,3.
①记Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数,则Q1,Q2,Q3中最大的是;
②记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则p1,p2,p3中最大的是.
答案①Q1②p2
2.(2013某某理,22,12分)对正整数n,记I n={1,2,…,n},P n=.
(1)求集合P7中元素的个数;
(2)若P n的子集A中任意两个元素之和不是
．．整数的平方,则称A为“稀疏集”.求n的最大值,使P n能分成两个不相交的稀疏集的并.
解析(1)当k=4时,中有3个数与I7中的3个数重复,因此P7中元素的个数为7×7-3=46.
(2)先证当n≥15时,P n不能分成两个不相交的稀疏集的并.若不然,设A,B为不相交的稀疏集,使A∪B=P n⊇I n.
不妨设1∈A,则因1+3=22,故3∉A,即3∈B.同理6∈A,10∈B,又推得15∈A,但1+15=42,这与A为稀疏集矛盾.
再证P14符合要求.当k=1时,=I14可分成两个稀疏集之并,事实上,只要取
A1={1,2,4,6,9,11,13},B1={3,5,7,8,10,12,14},则A1,B1为稀疏集,且A1∪B1=I14.
当k=4时,集中除整数外剩下的数组成集,可分解为下面两稀疏集的
并:A2=,B2= .
当k=9时,集中除正整数外剩下的数组成集,,,,…,,,可分解为下面两稀疏集的并:
A3=,
B3= .
最后,集C=m∈I14,k∈I14,且k≠1,4,9中的数的分母均为无理数,它与P14中的任何其他数之和都不是整数,因此,令A=A1∪A2∪A3∪C,B=B1∪B2∪B3.则A和B是不相交的稀疏集,且A∪B=P14.
综上,所求n的最大值为14.
注:对P14的分拆方法不是唯一的.
三年模拟
A组2016—2018年模拟·基础题组
考点一合情推理
1.(苏教选2—2,二,1,5,变式)观察下列等式:
1-=,
1-+-=+,
1-+-+-=++,
……,
据此规律,第n个等式可为.
答案1-+-+…+-=++…+
2.(苏教选2—2,二,1,4,变式)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数,如三角形数1,3,6,10,…,第n个三角形数为=n2+n,记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式:
三角形数N(n,3)=n2+n,
正方形数N(n,4)=n2,
五边形数N(n,5)=n2-n,
六边形数N(n,6)=2n2-n,
……,
可以推测N(n,k)的表达式,由此计算N(10,24)=.
答案 1 000
3.(2017某某某某溧水中学质检,11)观察下列式子:1+<,1++<,1+++<,……,则可归纳出.
答案1+++…+<(n∈N*)
4.(2017某某某某、某某一模,12)如图,在平面直角坐标系中,分别在x轴与直线y=(x+1)上从左向右依次取点A k,B k,k=1,2,…,其中A1是坐标原点,△A k B k A k+1都是等边三角形,则△A10B10A11的边长是.
答案512
5.(2016某某姜堰联考,13)把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表,设a ij(i,j∈N*)是这个三角形数表中从上往下数第i行,从左往右数第j个数,如a42=8,若a ij=2 015,则i+j=.
1
2,4
3,5,7
6,8,10,12
9,11,13,15,17
14,16,18,20,22,24
……
答案110
考点二演绎推理
6.(2018某某某某高三(上)期中)设数列{a n}共有4项,满足a1>a2>a3>a4≥0,若对任意的i,j(1≤i≤j≤4,且i,j∈N*),a i-a j仍是数列{a n}中的某一项.现有下列命题:①数列{a n}一定是等差数列;②存在1≤i≤j≤4,使得ia i=ja j;③数列{a n}中一定存在一项为0.其中,真命题的序号有.(请将你认为正确命题的序号都写上)
答案①②③
7.(2018某某某某、宿迁高三期中)设命题p:对任意的x∈,sin x≤ax+b≤tan x恒成立,其中a,b∈R.
(1)若a=1,b=0,求证:命题p为真命题;
(2)若命题p为真命题,求a,b的所有值.
解析(1)证明:若a=1,b=0,则命题p:对任意的x∈,sin x≤x≤tan x恒成立.
如图,设∠MOP=x.则sin x=|MP|,cos x=|OM|,tan x=|AT|,x=l.
∵x∈时,S△AOP=|OA|·|MP|=sin x,
S扇形AOP=l·|OA|=x,
S△AOT=|OA|·|AT|=tan x,
且S△AOP<S扇形AOP<S△AOT.
∴sin x<x<tan x,即sin x<x<tan x.
当x=0时,sin x=x=tan x=0,∴当x∈时,sin x≤x≤tan x恒成立.即命题p为真命题.
(2)若命题p为真命题,则当x=0时,sin 0≤b≤t an 0,所以b=0.
此时命题p:对任意的x∈,sin x≤ax≤tan x恒成立.
显然a≠0.
若a<0,令f(x)=ax-sin x,x∈,∴f '(x)=a-cos x<0恒成立,
∴f(x)在上单调递减,
∴f(x)≤f(0)=0,即ax≤sin x,矛盾.
若0<a<1,令f(x)=ax-sin x,x∈,
则f '(x)=a-cos x,∴f '(x)=0在x∈上有唯一解,记为x0,
当x∈[0,x0)时,f '(x)<0,
此时f(x)≤f(0)=0恒成立,即ax≤sin x,矛盾.
若a>1,令h(x)=ax-tan x,x∈,
则h'(x)=a-,∴h'(x)=0在x∈上有唯一解,记为x1,
当x∈[0,x1)时,h'(x)>0,
此时h(x)≥h(0)=0恒成立,即ax≥tan x,矛盾.
故a=1,b=0.
8.(2017苏锡常镇四市高三教学情况调研(二),20)已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=,其中n∈N*,λ,μ为非零常数.
(1)若λ=3,μ=8,求证:{a n+1}为等比数列,并求数列{a n}的通项公式;
(2)若数列{a n}是公差不等于零的等差数列.
①某某数λ,μ的值;
②数列{a n}的前n项和S n构成数列{S n},从{S n}中取不同的四项按从小到大排列组成四项子数列.试问:是否存在首项为S1的四项子数列,使得该子数列中的所有项之和恰好为2 017?若存在,求出所有满足条件的四项子数列;若不存在,请说明理由.
解析(1)当λ=3,μ=8时,
a n+1===3a n+2,
∴a n+1+1=3(a n+1),
又a1+1=2,
∴{a n+1}是以2为首项,3为公比的等比数列,
∴a n+1=2·3n-1,∴a n=2·3n-1-1.
(2)①设数列{a n}的公差为d(d≠0),则a n=a1+(n-1)d=dn-d+1,
由a n+1=得a n+1(a n+2)=λ+μa n+4,
∴(dn+1)(dn-d+3)=λ(dn-d+1)2+μ(dn-d+1)+4,
∴d2n2+(4d-d2)n-d+3=λd2n2+[2(1-d)λ+μ]dn+λ(1-d)2+(1-d)μ+4对任意n∈N*恒成立.
∴解得
∴λ=1,μ=4.
②由①知a n=2n-1,则S n==n2.
假设存在满足条件的四项子数列,由2 017为奇数,知这四项三个奇数一个偶数或者一个奇数三个偶数.
若三个奇数一个偶数,设S1,S2x+1,S2y+1,S2z是满足条件的四项(x,y,z∈N*,x≠y),
则1+(2x+1)2+(2y+1)2+4z2=2 017,
∴2(x2+x+y2+y+z2)=1 007,这与1 007为奇数矛盾,不合题意,舍去.
若一个奇数三个偶数,设S1,S2x,S2y,S2z是满足条件的四项(x,y,z∈N*且互不相等),
则12+4x2+4y2+4z2=2 017,∴x2+y2+z2=504.
由504为偶数知,x,y,z中一个偶数两个奇数或者三个偶数.
(i)若x,y,z中一个偶数两个奇数,不妨设x=2x1,y=2y1+1,z=2z1+1(y1≠z1),
则2(++y1++z1)=251,这与251为奇数矛盾.
(ii)若x,y,z均为偶数,不妨设x=2x1,y=2y1,z=2z1(x1,y1,z1互不相等),
则++=126,
继续奇偶分析知x1,y1,z1中两个奇数一个偶数,
不妨设x1=2x2,y1=2y2+1,z1=2z2+1(y2≠z2),则++y2++z2=31.
因为y2(y2+1),z2(z2+1)均为偶数,所以x2为奇数,不妨设0≤y2<z2,
当x2=1时,+y2++z2=30,+y2≤14,检验得y2=0,z2=5,x2=1,
当x2=3时,+y2++z2=22,+y2≤10,检验得y2=1,z2=4,x2=3,
当x2=5时,+y2++z2=6,+y2≤2,检验得y2=0,z2=2,x2=5,
即S1,S4,S8,S44或者S1,S12,S24,S36或者S1,S4,S20,S40满足条件,
综上所述,{S1,S4,S8,S44},{S1,S12,S24,S36},{S1,S4,S20,S40}为满足条件的四项子数列.
B组2016—2018年模拟·提升题组
(满分:45分时间:25分钟)
一、填空题(每小题5分,共15分)
1.(2017某某赣榆高级中学月考,12)将正奇数排列成如下形式,其中a ij表示第i行第j个数(i∈N*,j∈N*),例如a32=9,若a ij=2 009,则i+j=.
1
3 5
7 9 11
13 15 17 19
…
答案60
2.(2017某某某某期中)如下是一个数表,第一行依次写着从小到大的正整数,然后把每行相邻的两个数的和写在这两个数的下方,得到下一行,数表从上到下与从左到右均为无限项,则这个数表中的第13行第10个数为.
答案216
3.(2016某某某某模拟)设S,T是R的两个非空子集,如果存在一个从S到T的函数y=f(x)满
足:(1)T={f(x)|x∈S};(2)对任意x1,x2∈S,当x1<x2时,恒有f(x1)<f(x2).那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是.
①A=N*,B=N;
②A={x|-1≤x≤3},B={x|x=-8或0<x≤10};
③A={x|0<x<1},B=R;
④A=Z,B=Q.
答案④
二、解答题(共30分)
4.(2017某某东海高级中学期中)已知O为坐标原点,F为椭圆C:x2+=1在y轴正半轴上的焦点,过F且斜率为-
的直线l与C交于A,B两点,点P满足++=0.
(1)证明:点P在C上;
(2)设点P关于点O的对称点为Q,证明:A,P,B,Q四点在同一圆上.
证明(1)由题意可得F(0,1),l的方程为y=-x+1,代入椭圆方程可得4x2-2x-1=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3),
则x1+x2=,y1+y2=-(x1+x2)+2=1,∵++=0,
所以P,
∵+=1,∴点P在椭圆C上.
(2)易知Q,
PQ的垂直平分线方程为y=-x,①
设AB的中点为M,则M,∴AB的垂直平分线的方程为y=x+,②
由方程①②得
∴两垂直平分线的交点为N,
易知NP=,NA=,
所以NP=NQ=NA=NB=,
由此可知A,P,B,Q四点在以N为圆心,NA为半径的圆上.
5.(2017某某某某一中质检)已知函数f(x)=aln x+x2(a为实常数).
(1)若a=-2,求证:函数f(x)在(1,+∞)上是增函数;
(2)求函数f(x)在[1,e]上的最小值及相应的x值;
(3)若存在x∈[1,e],使得f(x)≤(a+2)x成立,某某数a的取值X围.
解析(1)证明:当a=-2时,f(x)=x2-2ln x,当x∈(1,+∞)时,f '(x)=>0,
所以函数f(x)在(1,+∞)上是增函数.
(2)f '(x)=(x>0),
当x∈[1,e]时,2x2+a∈[a+2,a+2e2].
若a≥-2,则f '(x)在[1,e]上非负(当且仅当a=-2,x=1时,f '(x)=0),故函数f(x)在[1,e]上是增函数,此时f(x)min=f(1)=1.
若-2e2<a<-2,则当x=时,f '(x)=0;
当1≤x<时,f '(x)<0,此时f(x)是减函数;
当<x≤e时,f '(x)>0,此时f(x)是增函数.
故f(x)min=f=ln-.
若a≤-2e2,则f '(x)在[1,e]上非正(当且仅当a=-2e2,x=e时,f '(x)=0),
故函数f(x)在[1,e]上是减函数,此时f(x)min=f(e)=a+e2.
综上可知,当a≥-2时,f(x)的最小值为1,相应的x值为1;
当-2e2<a<-2时,f(x)的最小值为ln-,相应的x值为;
当a≤-2e2时,f(x)的最小值为a+e2,相应的x值为e.
(3)不等式f(x)≤(a+2)x可化为a(x-ln x)≥x2-2x.
∵x∈[1,e],∴ln x≤1≤x且等号不能同时取,所以ln x<x,即x-ln x>0,
因而a≥(x∈[1,e]),
令g(x)=(x∈[1,e]),则g'(x)=,
当x∈[1,e]时,x-1≥0,ln x≤1,x+2-2ln x>0,
从而g'(x)≥0(当且仅当x=1时取等号),所以g(x)在[1,e]上为增函数,
故g(x)的最小值为g(1)=-1,
所以a的取值X围是[-1,+∞).
C组2016—2018年模拟·方法题组
方法1 用归纳推理求解相关问题的方法
1.(2017某某新海高级中学月考,11)已知“整数对”按如下规律排成一
列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),……,则第60个“整数对”是.
答案(5,7)
方法2 用类比推理求解相关问题的方法
word
11 / 11 2.(2016某某某某调研)现有一个关于平面图形的命题:如图,同一个平面内有两个边长都是a 的正方形,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间,有两个棱长均为a 的正方体,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方体重叠部分的体积恒为.
答案
方法3 破解演绎推理思想瓶颈的技巧
3.已知n 为正整数,数列{a n }满足a n >0,4(n+1)-n
=0.数列{b n }满足b n =.
(1)求证:数列为等比数列; (2)若数列{b n }是等差数列,某某数t 的值.
解析 (1)证明:由4(n+1)=n
, 得=,结合a n >0,得=2·, 因此=2, 所以是以a 1为首项,2为公比的等比数列.
(2)由(1)得a n =a 1·2n-1,则b n ==,
若数列{b n }是等差数列,则2b 2=b 1+b 3,
则2×=+,即=+, 则t 2-16t+48=0,解得t 1=4,t 2=12,
当t=4时,b n =,则b n+1-b n =-=,
所以数列{b n }是等差数列,符合题意;
当t=12时,b n =
, 则b 2+b 4=+==,2b 3=2·=,
因为b 2+b 4≠2b 3,所以数列{b n }不是等差数列,t=12不符合题意.
综上,若数列{b n }是等差数列,则实数t 的值为4.。