江西省上饶县中学高中数学奥林匹克竞赛训练题(220)(无答案)

江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题
（220）（无答案）
第一试
一、填空题
1函数32424
()(16)
()(1)x x x x f x x --+=+的值域为 。

2.设复数111,1z z ≠=，则3459
z z z z z ++++= 。

3.设x y z 、、为正整数，集合{}
222222
=3()()(),,2()A x y y z z x xyz y z z x x y ---++，
{}333444B=()()(),,x y y z z x x y z x y z -+-+-++++。

若A=B ，则333x y z ++=
4.设P 为椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上任意一点，两焦点为1212(,0),(,0),F c F c PF PF -、分
别与椭圆交于点A 、B ，若2
2
2
a b c 、、成等差数列，则
121
2
PF PF AF BF +
= .
5.有六根细棒，长度依次为3
、2222、、、，用它们搭成三棱锥。

则其中两根较长的棱所在的直线所成角的余弦值为 。

6.设x y R +∈、，
则函数(,)f x y =为 。

7.设122,,,n D D D …为Rt ABC ∆的斜边
BC
上的2(1n n ≥个点，记
1(1,2,,21)i i i D AD i n α-∠==+…，满足1+1i i i i D D D D -=021(1,2,,2,=,)n i n D B D C +==…，则
1321
242sin sin sin sin sin sin n n
αααααα+……= 。

8.三位数abc 满足23
abc a b c =++，则满足条件的三位数abc 共有 个。

二、解答题
9.设[]0,2x π∈
，求函数()f x =
最大值。

10.设532
()3236f x x x x x =-+++，记1(43)(43)
(41
)(41)n
n k k f k A k f k =--=--∏，求25A 的值。

11.设数列{}n A 满足12121,3,4n n n A A A A A --===-，求21
cot2n
n arc A
+∞
=∑。

加试
一、设H 为锐角ABC ∆的垂心，E 、F 分别为边AB 、AC 的中点，EP HE ⊥交AC 于点P ，FQ HF ⊥交AB 于点Q ，Y 为PQ 的中点，证明：0
2180BAC EYF ∠+∠=.
二、设正整数3,0,arccos 3i n α⎛≥∈ ⎝
⎭，若1cos22n i i a n ==-∑，证明：11cot (1)tan n n i i i i n αα==≥-∑∑
三、已知一个正多边形的每条边和对角线恰染成2018种颜色之一，且所有边及对角线不全同色，若正多边形中不存在两色三角形（即三角形的三边恰被染成两种颜色），则称该多边形的染色是“和谐的”求最大的正整数N ，使得存在一个和谐的染色正N 边形。

四、设{}0,1,,2016A =…，若满射:,f N A →满足：对任意的,i N ∈(2017)()f i f i +=，则
称为f 为“和谐函数”。

记(1)()()f x f x =，(1)()()(())()k k f x f f x k N ++=∈，设“和谐映射”f 为满足条件：存在正整数M ，使得
（1）当m<M 时，若i j N ∈、，1(mod 2017),i j ≡+则()()()()1(mod2017)m m f i f j -≠± （2）若i j N ∈、，1(mod 2017),i j ≡+则()()()()1(mod2017)M M f i f j -≠±，求M 的最大可能值。