河南省南阳市方城县2023-2024学年八年级上学期1月期末数学试题(含解析)

2023-2024学年河南省南阳市方城县八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请将其序号填写在答题卡
1．（3分）2的算术平方根是（ ）
A．B．C．D．4
2．（3分）下列计算结果正确的是（ ）
A．（a3）3＝a6B．a6÷a3＝a2
C．（ab4）2＝ab8D．（a+b）2＝a2+2ab+b2
3．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝3，AC＝4，则AB的长为（ ）
A．5B．C．D．
4．（3分）如图，在四边形ABCD中，连接BD，且AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB 全等，则需要添加的条件是（ ）
A．∠A＝∠C B．∠ADB＝∠CBD C．AB＝CD D．AD＝CB
5．（3分）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，则△ABD的周长为（ ）
A．25B．22C．19D．18
6．（3分）2023年2月28日，国家统计局发布了《中华人民共和国2022年国民经济和社会发展统计公报》，如图是公报中发布的全国“2018﹣2022年快递业务量及其增长速度”统计图．下列说法中不正确的是（ ）
A．2022年全国快递业务量是1105.8亿件
B．2022年的快递业务量比2018年增加了598.7亿件
C．2022年的快递业务量比2021年增加了2.1%
D．2020﹣2022年增长速度的折线呈下降趋势，说明2020﹣2022年快递业务量逐年减少
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足
分别是点E，F，则下列结论错误的是（ ）
8．（3分）如图，数轴上点A所表示的数是（ ）
9．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE，旋转角为α（0°＜α＜180°），点B的对应点D恰
好落在BC边上，若DE⊥AC，∠CAD＝24°，则旋转角α的度数为（ ）
A．24°B．28°C．48°D．66°
10．（3分）如图，在一个宽度为AB长的小巷内，一个梯子的长为a，梯子的底端位于AB上的点P，将该梯子的顶端放于巷子一侧墙上的点C处，点C到AB的距离BC为b，梯子的倾斜角∠BPC为45°；将该梯子的顶端放于另一侧墙上的点D处，点D到AB的距离AD为c，且此时梯子的倾斜角∠APD为75°，则AB的长等于（ ）
A．a B．b C．D．c
二、填空题（每小题3分，共15分.）
11．（3分）若x3＝8，则x＝ ．
12．（3分）把多项式x2y﹣4y分解因式的结果是 ．
13．（3分）在△ABC中，AB＝AC，AD是BC的中线，若AB＝10，BC＝12，则AD长为 ．14．（3分）如图是小亮根据全班同学喜欢的四种球类运动的人数绘制的两幅不完整的统计图（全班每位同学在这四种球类中选一种），则喜欢“乒乓球”的人数是 人．
15．（3分）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B 落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是 ．
三、解答题（本题含8个小题，共75分.）
16．（10分）计算：
（1）；
（2）3x（3y﹣x）﹣（4x﹣3y）（x+3y）．
17．（9分）如图，已知钝角△ABC中，BC＝AC．
（1）作△ABC边BC上的高AD；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）若AD＝4，BD＝8，求△ABC的周长．
18．（9分）先化简再求值：[（3a+b）2﹣（b+3a）（3a﹣b）﹣6b2]÷2b，其中a＝，b＝﹣2．
19．（9分）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BDF．
（1）求证：△ACE≌△BDF；
（2）若AB＝8，AC＝2，求CD的长．
20．（9分）如今很多人都是“手机不离手”．疫情发生以来，有的人手机使用时间比以前更长了，也有人养成了健康有节律的手机使用习惯．近日，记者李斌把调查结果绘制成如下统计图：
每天使用手机时长情况统计图（1），每天使用手机时长情况统计图（2）
（1）结合两个统计图中的数据，可算出接受调查的一共有 人．
（2）每天使用手机5小时以上的占全部接受调查人数的 %，是 人．
（3）88.5%的受调查者坦言：最近手机使用时间增长了，主要用手机刷短视频、上网课和沟通工作．由于长时间观看手机屏幕会使眼睛疲劳、干涩，引发视力下降，请给出合理使用手机的建议．（至少写出两条）21．（9分）如图，在△ABC中，BD是高，点D是AC边的中点，点E在BC边的延长线上，ED的延长线交AB 于点F，且EF⊥AB，若∠E＝30°．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）请判断线段AD与CE的大小关系，并说明理由．
22．（10分）如图，把一张边长为a厘米的正方形纸片的四角均剪去一个边长为厘米的小正方形，折合成一个无盖的长方体纸盒．
（1）①用含a，b的式子表示纸片（阴影部分）的面积；
②当a＝6.4，b＝1.8时，利用分解因式法计算阴影部分的面积．
（2）当a+2b＝8，ab＝2时，求出纸盒的底面积．
23．（10分）（一）问题探究
已知：在锐角△ABC中，∠ABC＝45°，把线段AC绕点A沿逆时针方向旋转n°得到线段AD，把线段AB 绕点A沿顺时针方向旋转n°得到线段AE，分别连结CD、BE、BD、CE．
（1）如图①，当0°＜n＜90°时，线段BD与CE的数量关系是 （直接写出结论，不说理由）；
（2）如图②，当n＝90°时，
①探究线段BD与CE的数量关系，并说明理由；
②若AB＝7，BC＝3，求BD的长；
（二）解决问题
如图③，在四边形ACBD中，AB＝7，BC＝3，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，请直接写出线段BD的长．（不说理由）
2023-2024学年河南省南阳市方城县八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请将其序号填写在答题卡
1．（3分）2的算术平方根是（ ）
A．B．C．D．4
【解答】解：2的算式平方根为．
故选：C．
2．（3分）下列计算结果正确的是（ ）
A．（a3）3＝a6B．a6÷a3＝a2
C．（ab4）2＝ab8D．（a+b）2＝a2+2ab+b2
【解答】解：A．（a3）3＝a9，因此选项A不符合题意；
B．a6÷a3＝a6﹣3＝a3，因此选项B不符合题意；
C．（ab4）2＝a2b8，因此选项C不符合题意；
D．（a+b）2＝a2+2ab+b2，因此选项D符合题意；
故选：D．
3．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝3，AC＝4，则AB的长为（ ）
A．5B．C．D．
【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，
∴AB＝＝＝5，
故选：A．
4．（3分）如图，在四边形ABCD中，连接BD，且AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB 全等，则需要添加的条件是（ ）
A．∠A＝∠C B．∠ADB＝∠CBD C．AB＝CD D．AD＝CB
【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD＝∠CDB＝90°，
在Rt△ABD和Rt△CDB中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），
故选：D．
5．（3分）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，则△ABD的周长为（ ）
A．25B．22C．19D．18
【解答】解：由题意可得，
MN垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∵△ABD的周长是AB+BD+AD，
∴AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC，
∵AB＝7，AC＝12，
∴AB+AC＝19，
∴△ABD的周长是19，
故选：C．
6．（3分）2023年2月28日，国家统计局发布了《中华人民共和国2022年国民经济和社会发展统计公报》，如图是公报中发布的全国“2018﹣2022年快递业务量及其增长速度”统计图．下列说法中不正确的是（ ）
A．2022年全国快递业务量是1105.8亿件
B．2022年的快递业务量比2018年增加了598.7亿件
C．2022年的快递业务量比2021年增加了2.1%
D．2020﹣2022年增长速度的折线呈下降趋势，说明2020﹣2022年快递业务量逐年减少
【解答】解：由条形图可知2022年快递业务量1105.8亿件，故A选项正确；
2022年的快递业务量比2018年增加了1105.8﹣507.1＝598.7（亿件），故B选项正确；
由统计图可知2022年的快递业务量比2021年增加了2.1%，故C选项正确；
2020—2022年增长速度的折线呈下降趋势，说明2020—2022年增长速度逐步减小，但快递业务量逐年增加，故D选项错误；
故选：D．
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F，则下列结论错误的是（ ）
A．∠ADC＝90°B．DE＝DF C．AD＝BC D．BD＝CD
【解答】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，BD＝CD，∠B＝∠C，
∴∠ADC＝90°，
在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴DE＝DF，
故选：C．
8．（3分）如图，数轴上点A所表示的数是（ ）
A．B．﹣+1C．+1D．﹣1
【解答】解：如图，BD＝1﹣（﹣1）＝2，CD＝1，
∴BC＝＝＝，
∴BA＝BC＝，
∴AD＝﹣2，
∴OA＝1+﹣2＝﹣1，
∴点A表示的数为﹣1．
故选：D．
9．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE，旋转角为α（0°＜α＜180°），点B的对应点D恰好落在BC边上，若DE⊥AC，∠CAD＝24°，则旋转角α的度数为（ ）
A．24°B．28°C．48°D．66°
【解答】解：∵DE⊥AC，∠CAD＝24°，
∴∠ADE＝66°，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE，
∴∠B＝∠ADE＝66°，AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB＝66°
∴∠BAD＝48°，
故选：C．
10．（3分）如图，在一个宽度为AB长的小巷内，一个梯子的长为a，梯子的底端位于AB上的点P，将该梯子的顶端放于巷子一侧墙上的点C处，点C到AB的距离BC为b，梯子的倾斜角∠BPC为45°；将该梯子的顶端放于另一侧墙上的点D处，点D到AB的距离AD为c，且此时梯子的倾斜角∠APD为75°，则AB的长等于（ ）
A．a B．b C．D．c 【解答】解：过点C作CE⊥AD于E，如图所示：
则四边形ABCE是矩形，
∴AB＝CE，∠CED＝∠DAP＝90°，
∵∠BPC＝45°，∠APD＝75°，
∴∠CPD＝180°﹣45°﹣75°＝60°，
∵CP＝DP＝a，
∴△CPD是等边三角形，
∴CD＝DP，∠PDC＝60°，
∵∠ADP＝90°﹣75°＝15°，
∴∠EDC＝15°+60°＝75°，
∴∠EDC＝∠APD，
在△EDC和△APD中，
，
∴△EDC≌△APD（AAS），
∴CE＝AD，
∴AB＝AD＝c，
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共15分.）
11．（3分）若x3＝8，则x＝　2　．
【解答】解：∵2的立方等于8，
∴8的立方根等于2．
故答案为：2．
12．（3分）把多项式x2y﹣4y分解因式的结果是　y（x+2）（x﹣2）　．
【解答】解：x2y﹣4y
＝y（x2﹣4）
＝y（x+2）（x﹣2）．
故答案为：y（x+2）（x﹣2）．
13．（3分）在△ABC中，AB＝AC，AD是BC的中线，若AB＝10，BC＝12，则AD长为　8　．【解答】解：∵AB＝AC，AD是BC的中线，
∴AD⊥BC，BD＝BC＝6，
在Rt△ABD中，
AB＝10，BD＝6，
由勾股定理，得AD＝＝＝8，
故答案为：8．
14．（3分）如图是小亮根据全班同学喜欢的四种球类运动的人数绘制的两幅不完整的统计图（全班每位同学在这四种球类中选一种），则喜欢“乒乓球”的人数是　20　人．
【解答】解：调查的总人数是：15÷30%＝50（人），
喜欢乒乓球的人数有：50×40%＝20（人），
故答案为：20．
15．（3分）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B 落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是　
　．
【解答】解：根据折叠，可知AB＝AD，ED＝EC，
∴∠ADB＝∠B，∠EDC＝∠C，
∵∠BAC＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∴∠ADB+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝90°，
设AE＝x，
∵AB＝2，AC＝3，
∴AD＝2，CE＝3﹣x，
∴ED＝3﹣x，
在Rt△ADE中，根据勾股定理，得22+（3﹣x）2＝x2，解得x＝，
∴AE＝，
故答案为：．
三、解答题（本题含8个小题，共75分.）
16．（10分）计算：
（1）；
（2）3x（3y﹣x）﹣（4x﹣3y）（x+3y）．
【解答】解：（1）原式＝8+2﹣2﹣（﹣3）
＝8+2﹣2+3
＝8+3+2﹣2
＝11；
（2）原式＝9xy﹣3x2﹣（4x2+12xy﹣3xy﹣9y2）
＝9xy﹣3x2﹣4x2﹣12xy+3xy+9y2
＝﹣3x2﹣4x2+9y2+9xy+3xy﹣12xy
＝﹣7x2+9y2．
17．（9分）如图，已知钝角△ABC中，BC＝AC．
（1）作△ABC边BC上的高AD；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）若AD＝4，BD＝8，求△ABC的周长．
【解答】解：（1）如图，线段AD即为所求；
（2）设BC＝AC＝x，
在Rt△ACD中，AC2＝AD2+CD2，
∴x2＝42+（8﹣x）2，
∴x＝5，
∴AC＝BC＝5，
∵AB＝＝＝4，
∴△ABC的周长＝4+10．
18．（9分）先化简再求值：[（3a+b）2﹣（b+3a）（3a﹣b）﹣6b2]÷2b，其中a＝，b＝﹣2．【解答】解：[（3a+b）2﹣（b+3a）（3a﹣b）﹣6b2]÷2b
＝（9a2+b2+6ab﹣3ab+b2﹣9a2+3ab﹣6b2）÷2b
＝（﹣4b2+6ab）÷2b
＝﹣2b+3a，
当a＝，b＝﹣2时，原式＝﹣2×（﹣2）+3×（﹣）＝3．
19．（9分）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BDF．
（1）求证：△ACE≌△BDF；
（2）若AB＝8，AC＝2，求CD的长．
【解答】（1）证明：在△ACE和△BDF中，
，
∴△ACE≌△BDF（AAS）；
（2）由（1）知△ACE≌△BDF，
∴BD＝AC＝2，
∵AB＝8，
∴CD＝AB﹣AC﹣BD＝4，
故CD的长为4．
20．（9分）如今很多人都是“手机不离手”．疫情发生以来，有的人手机使用时间比以前更长了，也有人养成了健康有节律的手机使用习惯．近日，记者李斌把调查结果绘制成如下统计图：
每天使用手机时长情况统计图（1），每天使用手机时长情况统计图（2）
（1）结合两个统计图中的数据，可算出接受调查的一共有　2000　人．
（2）每天使用手机5小时以上的占全部接受调查人数的　45　%，是　900　人．
（3）88.5%的受调查者坦言：最近手机使用时间增长了，主要用手机刷短视频、上网课和沟通工作．由于
长时间观看手机屏幕会使眼睛疲劳、干涩，引发视力下降，请给出合理使用手机的建议．（至少写出两条）【解答】解：（1）接受调查的一共有：700÷35%＝2000（人）．
故答案为：2000；
（2）每天使用手机5小时以上的人数为：2000﹣40﹣360﹣700＝900（人），
占全部接受调查人数的百分比为：900÷2000＝45%，
故答案为：45，900．
（3）①尽量少使用手机；②控制手机使用的时长等．
21．（9分）如图，在△ABC中，BD是高，点D是AC边的中点，点E在BC边的延长线上，ED的延长线交AB 于点F，且EF⊥AB，若∠E＝30°．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）请判断线段AD与CE的大小关系，并说明理由．
【解答】（1）证明：∵BD⊥AC，点D是AC边的中点，
∴BD垂直平分AC，
∴AB＝CB，
∵EF⊥AB，
∴∠ABC+∠E＝90°，
∵∠E＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形；
（2）解：AD＝CE，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵∠ACB＝∠E+∠CDE，∠E＝30°，
∴∠CDE＝30°＝∠E，
∴CD＝CE，
∵点D是AC边的中点，
∴AD＝CD，
∴AD＝CE．
22．（10分）如图，把一张边长为a厘米的正方形纸片的四角均剪去一个边长为厘米的小正方形，折合成一个无盖的长方体纸盒．
（1）①用含a，b的式子表示纸片（阴影部分）的面积；
②当a＝6.4，b＝1.8时，利用分解因式法计算阴影部分的面积．
（2）当a+2b＝8，ab＝2时，求出纸盒的底面积．
【解答】解：（1）①由图得：纸片（阴影部分）的面积为（a2﹣4b2）cm2；
②∵a＝6.4，b＝1.8，
∴a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）＝（6.4+2×1.8）×（6.4﹣2×1.8）＝10×2.8＝28cm2；
（2）∵a+2b＝8，ab＝2，
∴纸盒的底面积为（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2＝（a+2b）2﹣8ab＝82﹣8×2＝48cm2．
23．（10分）（一）问题探究
已知：在锐角△ABC中，∠ABC＝45°，把线段AC绕点A沿逆时针方向旋转n°得到线段AD，把线段AB 绕点A沿顺时针方向旋转n°得到线段AE，分别连结CD、BE、BD、CE．
（1）如图①，当0°＜n＜90°时，线段BD与CE的数量关系是　BD＝CE　（直接写出结论，不说理由）；
（2）如图②，当n＝90°时，
①探究线段BD与CE的数量关系，并说明理由；
②若AB＝7，BC＝3，求BD的长；
（二）解决问题
如图③，在四边形ACBD中，AB＝7，BC＝3，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，请直接写出线段BD的长．（不说理由）
【解答】解：（1）∵把线段AC绕点A沿逆时针方向旋转n°得到线段AD，把线段AB绕点A沿顺时针方向旋转n°得到线段AE，
∴AB＝AE，AC＝AD，∠CAD＝∠BAE，
∴∠CAE＝∠BAD，
∴△AEC≌△ABD（SAS），
∴BD＝CE，
故答案为：BD＝CE；
（2）①BD＝CE，理由如下：
∵把线段AC绕点A沿逆时针方向旋转n°得到线段AD，把线段AB绕点A沿顺时针方向旋转n°得到线段AE，
∴AB＝AE，AC＝AD，∠CAD＝∠BAE，
∴∠CAE＝∠BAD，
∴△AEC≌△ABD（SAS），
∴BD＝CE；
②∵AB＝AE，∠BAE＝90°，
∴∠ABE＝∠AEB＝45°，BE＝AB＝7，
∴∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝90°，
∴EC＝＝＝，
∴BD＝；
（3）如图③，过点A作AH⊥AB，交BC的延长线于H，
∵∠ACD＝∠ADC＝45°，∴AC＝AD，∠CAD＝90°，∵∠ABC＝45°，AH⊥AB，∴∠ABC＝∠H，
∴AB＝AH＝7，
∴BH＝7，
∴CH＝BH﹣BC＝7﹣3，∵∠DAC＝∠BAH＝90°，∴∠DAB＝∠CAH，
∴△ADB≌△ACH（SAS），
∴BD＝CH＝7﹣3．。