线性代数—实对称矩阵的对角化PPT课件

( , ) a1b1 a2b2 anbn T .
向量的内积具有如下基本特性：
(1) ( , ) ( , )
(2) ( , ) (, ) ( , )
(3) (k , ) k( , ) （k 为实数）
(4) (, ) 0 ，(, ) 0 当且仅当 。 证略.
1 9
8 9
4 9
1 9
8 9
4 9
T
(2) 8 1 4 8 1 4
9 4
9
9 4
9
9 7
9
9 4
9
9 4
9
9 7
9
1 0 0
0 1 0 ,
0
0
1
所以它是正交矩阵．
17
第17页/共37页
练习 验证矩阵
1 2 1
P
2 1
2
0
是正交矩阵.
1 1 1
2 2 2
1 1 22
0
0
0
特征向量 2 (1 , 2 , 0)T , 3 (1 , 0 , 1)T ,
3
1
0
1
1 5
1
2
0
1 5
4 2 5
,
4
3 2 ,
5
24
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2
1
4
1 1 , 2 2 , 3 2 ,
2
0
5
2
1
1 1 ,
3
1
3
1
1 0 .
2 1
1 , 2 , 3 即为所求 .
10
第10页/共37页
例5 已知1 (1, 1, 1)T ，求一组非零向量2 , 3 ， 使 1, 2, 3 两两正交.
解
2
,
应满
3
足方
程
T 1
x
0,
即
x1 x2 x3 0 , 1
0
它的基础解系为 1 0 , 2 1 . 再正交化，
2
第2页/共37页
定义 记 (,) ，称为向量 的长度。
由定义可知 a12 a22 an2 .
向量长度的性质:
(1) 0 ， 0 当且仅当 0 ；
(2) k k ,（k 为实数）
如果 1 ，则称 为单位向量。 例1 证明：对任意非零向量 ， 1 为单位向量。
证
1
即 1 , 2 , ,n 是单位正交向量组．
同理, 由 Q QT E可知Q的行向量组是单位正交
向量组.
14
第14页/共37页
Q为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：
(1) QTQ E ; QQ T E ; (2) Q1 QT ;
(3) Q的行向量是两两正交的单位向量. (4) Q的列向量是两两正交的单位向量.
1
1 1 ,
3 1
2
1
1 1 ,
2 0
3
1
1 1,
6
2
21
第21页/共37页
1
1
1
1 ,
3 1
2
1
1 1 ,
2
0
3
1
1 1,
6
2
于是所求正交阵为
1 1 1
3
2 6
P
(
1,
2
,
3
)
1
3 1
3
1 2 0
1
6 2
6
,
0
使
系,
为
(1,0,1)T
,
属于特征值3的特征向量为 3 k(1,0,1)T ,k 为任意常数;
1 (2) 记 P 1 1
1 2 1
1 0 1
，求得 P 1
1 6
2 1 3
2 2 0
2 1 ， 3
1 所以 A P
2
P 1 3
1 6
13 2 5
2 10 2
5 2. 13
P 1 AP
1
.
9
22
第22页/共37页
3 2 4
例8
设
A
2
6
2
,
求正交阵P，使
P 1
AP
为对角阵.
4 2 3
c1 c3
3 2 4 7 2 4 解 E A 2 6 2 0 6 2
42
( 2)( 7)2 ,
5
对 1 2， 2E A 2
4
3 7 2
6
第6页/共37页
施密特正交化方法
施密特正交化方法是将一组线性无关的向量1,2 ,, s
转化为与之等价的一组正交向量组的方法，具体程序如下：
1 1 ,
2
2
( 2 (1
, ,
1 1
) )
1
,
3
3
( 3 , (1,
1) 1)
1
( 3 , 2 ) (2, 2 )
2
,
s
s
( s , 1 ) (1, 1)
属于特征值12的特征向量分别为矩阵的属于不同特征值的特征向量彼此正交于是有由于实对称例10对下列各实对称矩阵分别求出正交矩阵为对角阵
并非所有方阵都可对角化,但是实对称 矩阵必可对角化.
为了讨论实对称矩阵的有关性质，需要 研究向量内积和正交的概念和性质。
1
第1页/共37页
一、向量的内积, 正交和长 定度义 两个n维向量 (a1 , a2 ,, an )T , (b1 , b2 ,, bn )T 的内积( , ) 定义为：
显然有 ( i , j ) 0 , (i j , i, j 1,n)
4
第4页/共37页
例2 设 (1,0,3) ， (1,2,1) ,求一个 3 维单
位向量 ，使它与向量 , 都正交。
解 设 ( x1 , x2 , x3 ) ，则
( (
, ,
) )
x1 3x3 0 x1 2x2 x3
1
1.
1 称为 的单位化向量。
3
第3页/共37页
二、正交向量组和正交矩阵
定义 当 ( , ) 0 时，称向量 与 正交。
☎ 显然零向量与任何向量都正交。 ☎ n维基本单位向量组 1 , 2 , , n 是两两正交的。
1 (1, 0, , 0)T , 2 (0, 1, , 0)T , , n (0, 0, , 1)T ,
例7
1 设 A2
2 1
3 3 ,
求正交阵P，使 P1 AP 为对角阵.
3
3
6
1 2 3
解 E A 2 1 3 ( 1)( 9) ,
3 3 6
1
1 0 ，1 1 ,
1
2 1，2 1 ,
1
对 3 9 ，3 1 ,
1
0
2
再单位化, 1
r1 r3
2 4 1 4
8 2 0 2
2 5
0
0
3
1 1 ,
0
特征向量 1 (2 , 1 , 2)T ,
23
第23页/共37页
3 2 4 E A 2 6 2 ( 2)( 7)2 ,
4 2 3
4
对
2
7 ，7E
A
2
2 1
4 2 2 0
1 0
2 0 ,
4
2
4
4
14
8
第8页/共37页
1
1
4
例4 将向量组 1 2 , 2 3 , 3 1
标准正交化.
1
1
0
解 2
1 2
1 , ( 2 , 1 )
(1, 1)
1
1 3 1 4 6来自1 2 15 3
1 1 1
,
2
1 1
1
,
3
3
( 3 , (1,
27
第27页/共37页
例10 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 P， 使 P1AP为对角阵.
2 2 0
4 0 0
(1)A 2 1 2, (2) A 0 3 1
0 2 0
0 1 3
解 (1)第一步 求 A 的特征值
2 2 0
A E 2 1 2 4 1 2 0
1T
QTQ
T 2
(
1
,
2 , ,n
)
E
T n
T 1
1
T 1
2
T 1
n
T 2
1
T n
1
T 2
2
T n
2
T 2
n
T n
n
E
13
第13页/共37页
T 1
1
T 1
2
T 1
n
T 2
1
T
n1
T 2
2
T n
2
T 2
n
T n
n
E
i
T j
ij
1, 当 i 0, 当i
j j
(i, j 1,2,, n)
解 1 1 (1, 1, 1, 1)T ,
2
2
(2 , 1 ) (1, 1 )
1
(1,1,0,4)T
4 4
(1,1,1,1)T
(0,2,1,3)T ,
3
3
(3 , 1 ) (1, 1 )
1
(3 , 2 ) (2 , 2 )
2
(3,5,1,1)T 8 (1,1,1,1)T 14 (0,2,1,3)T (1,1,2,0)T .
1
( s , 2 ) (2, 2 )
2
( s , s1 ) ( s1 , s1 )
.
可以证明， 1, 2 ,, s 是一组两两正交的向量，
且与1,2 ,,s 等价。 证略。
7
第7页/共37页
例3 用施密特正交化方法，将下列向量组正交化：
1 (1,1,1,1)T , 2 (1,1,0,4)T , 3 (3,5,1,1)T
定理 正交向量组必线性无关。
证 设 1 , 2 , , s 是正交向量组，
设有数 k1 , k2 ,, ks , 使 k11 k22 ks s 0 ,
以1T 左乘上式两端, 得
k1
T 1
1
0
,
由1 0 1T1 1 2 0, 从而有k1 0 .
同理可得k2 ks 0 ,
故 1,2,,s 线性无关 .
从而有 QQT E ； (3) 若 P 与 Q 都是正交矩阵，则 PQ 也是正交矩阵。
证 (PQ)T (PQ) (QT PT )( PQ) QT (PT P)Q QT EQ QT Q E .
12
第12页/共37页
定理 Q为正交矩阵的充分必要条件是Q的列向量组
是单位正交向量组．
证明 Q (1, 2 , ,n ) ,
15
第15页/共37页
例6 判别下列矩阵是否为正交矩阵．
1 1 1
1 8 4
2 3
9 9 9
(1)
1 2
1
1 2
,
(2)
8 9
1 9
4 9
.
1
3
1 2
1
4 9
4 9
7
9
解 (1) 1 ( 1) ( 1)1 1 1 0 , 2 2 32
不是正交矩阵．
16
第16页/共37页
再单位化,拼起来得 2 1
3 5
P
1 3 2 3
2 5 0
4
45
2
45 5
45
.
2
使
P 1 AP
7 .
7
25
第25页/共37页
例9 设三阶实对称矩阵A的特征值是1,2,3；属于特征
值1,2的特征向量分别为
1 (1,1,1)T ,2 (1,2,1)T ,
(1) 求属于特征值3的特征向量；(2) 求矩阵A.
1
1
2 1 ,
3
2
( (
2 1
, ,
1 1
) )
1
0 1 1
1 2
1 0 1
1 2
1 2 1
.
11
第11页/共37页
定义 若n阶矩阵Q 满足 QTQ E ,则称 Q为正交矩阵。
正交矩阵的性质：
(1) 若 Q 为正交矩阵，则 Q 1 ； (2) 若 Q 为正交矩阵，则 Q 可逆，且Q1 QT ；
0
A
1 1
0 2
13
1 0
0 1
23
,
求得通解为 k(3, 2, 1) ，
特别取 k 1 ，即得 (3,2,1) ，将向量 单位化，
即得所求向量为 1 ( 3 , 2 , 1 ) .
14 14 14
5
第5页/共37页
定义 若非零向量 1 , 2 , , s 两两正交，
则称之为正交向量组。
1 2
1
0
0
2
0
1 1 2 2
P 每个列向量都是单位向量，且两两正交，所以 P是正交矩阵。
18
第18页/共37页
三、实对称矩阵的相似对角化
并非所有方阵都可对角化,但是实对称矩阵必可对角化. 定理 实对称矩阵的特征值都是实数. 证略. 定理 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量彼此正交. 证 只证两个特征向量的情况.
解 设属于特征值 3 的特征向量为3 , 由于实对称
矩阵的属于不同特征值的特征向量彼此正交,于是有
1T3 0 ,2T3 0 ,
即解齐次线性方程组,其系数矩阵为
1 1
1 2
11
1 0
1 3
10 ,
26
第26页/共37页
1 1
1 2
111
1 (1,10,1)T
,
1 3
2
1
0
(1,,基2,础1解)T
具体计算步骤如下：
(1) 求出实对称矩阵A的全部特征值；
(2) 若特征值是单根，则求出一个线性无关的特征 向量，并加以单位化；
若特征值是重根，则求出重数个线性无关的特 征向量，然后用施密特正交化方法化为正交组，再 单位化； (3) 将这些两两正交的单位特征向量按列拼起来，就
得到了正交矩阵P。
20
第20页/共37页
1) 1)
1
( 3 , ( 2 ,
2 ) 2 )
2
4 1
2
1 2
5
1 1
0
6
1
3
1
1 3
6 0 6
,
3
1
0 ,
1
9
第9页/共37页
1
1 2 ,
1
1
2 1 ,
1
1
3 0 ,
1
再单位化,
1
1
1 2
,
6 1
0 2 得 1 4, 2 1, 3 2.
28
第28页/共37页
第二步 由A i E x 0,求出A的特征向量
设 A 是一个实对称矩阵，A , A , ,
( , ) ( , ) ( A , ) ( A )T T AT T A ( , A ) ( , ) ( , ) ,
( ) ( , ) 0 , 而 ， ( , ) 0 .
19
第19页/共37页
定理 设 A 是一个实对称矩阵，则存在正交矩阵 P， 使 P 1 AP 为对角阵。 证略.