02-整数规划数学模型及其解法-4h
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, i = 1,2 ,3 ,4 ,5
− x1 − x 2 − x 3 < − 3 + My i − 3 x − 2 x − x < − 5 + My i 1 2 3 x 1 < 10 + My i 则有 (M 为任意大的正数） x 2 < 4 + My i x 3 < 11 + My i y1 + y 2 + L + y 5 ≥ 2
（1） （2）
25
4．用以表达含固定费用的函数
如用xj代表产品j的生产数量，其生产费用函数通 常可表示为： ( x j > 0) K j + c j x j C j (x j ) = ( x j = 0) 0 式中kj是同产量无关的生产准备费用。 问题的目标是使所有产品的总生产费用为最小。 n 即：
7
引例2-3
各点的设备投资及年获利预测表
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10
投 资 100 120 150 80 70 90 80 140 160 180 额 利 36 40 50 22 20 30 25 48 58 61 润 投资总额不能超过720万元。 问应选择哪几个点，可使年利润为最大？
10
整数规划的图解
有人认为，对整数规划问题的求解可以 先不考虑对变量的整数约束，作为一般 线性规划问题来求解，当解为非整数时 可用四舍五人或凑整方法寻找最优解。 当然在变量取值很大时，用上述方法得 到的解与最优解差别不大。但当变量取 值较小时，得到的解就可能与实际整数 最优解差别很大。再者当问题规模较大 时，用凑整办法来算工作量很大。
j =1
n
K j + c j x j ( x j > 0) C j (x j ) = ( x j = 0) 0
0 ≤ x j ≤ My j y j = 0或1
27
逻辑变量应用举例-1
试用逻辑变量表达以下约束条件 变量x只能取2、3、5、8或11中的一个。 解题：右端项只能取多个值 b1=2,b2=3,b3=5,b4=8,b5=11中的一个值
2
主要内容
整数规划的性质 整数规划的解法 匈牙利法 割平面法 分支定界法 隐枚举法（0-1规划问题） 整数规划的应用
3
引例1-1
例1．某公司拟用集装箱托运甲、乙 两种货物，这两种货物每件的体积、 重量，可获利润以及托运所受限制 如表所示
4
引例1-2
货物 甲 乙 托运 限制 每件体积 (立方英尺) 195 273 1365 (立方英尺) 每件重量 (百千克) 4 40 140 (百千克) 每件利润 (百元) 2 3
21
逻辑变量在建立数学模型中的作用
整数规划的模型对研究管理问题有重要意义。很多管 理问题无法归结为线性规划的数学模型，但却可以通 过设置逻辑变量建立起整数规划的数学模型。
M个约束条件中只有k个起作用； 约束条件的右端项可能是r个值（b1, b2, …, br）中的某一个； 两组条件中满足其中一组； 用以表达含固定费用的函数。
20
整数规划与对应的线性规划解的关系
1.任何求最大目标函数值 最大目标函数值的纯整数规划 最大目标函数值 或混合整数规划的最大目标函数值小于 小于 或等于相应的线性规划的最大目标函数 或等于 值； 2.任何求最小目标函数值 最小目标函数值的纯整数规划 最小目标函数值 或混合整数规划的最小目标函数值大于 大于 或等于相应的线性规划的最小目标函数。 或等于 3.整数规划之相应线性规划的最优解经四 四 舍五入不能得到其最优解 舍五入
第四章 整数规划
Integer Programming
特点-解法-应用
1
知识点要求
了解整数规划的特点； 掌握逻辑变量的灵活运用； 掌握整数规划的求解方法： 匈牙利法：寻找位于不同行不同列的m个零 m 元素、行和列的位势的确定 割平面法 分支定界法：分支与定界的条件 隐枚举法（0-1规划问题） 根据实际问题建立整数规划数学模型。
制造每种容器固定的费用： 小号是100万元， 中号为150万元， 大号为200万元。 如何安排生产计划，使获得的利润为最 大？
33
解题（1）
假设 x1，x2，x3分别为小号容器、中号容器和 大号容器的生产数量， yi=1，当xi>0时； yi=0，当xi=0时． 最大利润的目标函数 maxz=4x1+5x2+6x3-100yl-150y2-200y3
15
解（3）
将上述线性规划中的最后一个约束条件： x1，x2为整数去掉， 它是 一个线性规划的问题，用图解法来 解这个问题得 x1=2.44，x2 =3.26 四舍五人或去尾法得x1=2，x2=3， 这时目标函数值为13，并不是此整数规 划的最优解。
16
4x1+40x2≤140
（2.44，3.26） ，
2 x1 + 3x2 ≤ 14 x1 + 0.5 x2 ≤ 4.5 x , x ≥ 0, 且均取整数值 1 2
18
(3,3) (3.25，2.5) ， (3,2) (4,3) (4,2)
(4,1)，Z=14 ，
19
如果不考虑x1、x2取整数的约束，用图解法求得 最优解为(3.25，2.5)。由于x1、x2必须取整数值， 实际上问题的可行解集只是图中可行域内的那 些整数点。用凑整法 凑整法来解时需要比较四种组合， 凑整法 但(4，3)、(4，2)、(3，3)都不是可行解，(3， 2)虽属可行解，但代入目标函数得z=13，并非 最优。实际上问题的最优解应该是(4，1)， z*=14。但我们注意到(4，1)不是可行域的顶点， 因此直接用图解法或单纯形法都无法找出整数 规划问题的最优解来，这就要求研究解整数规 划问题的特殊方法。
22
1．M个约束条件中只有k个起作用
∑a x
j =1 ij n j≤ biຫໍສະໝຸດ (i = 1,..., m)
1, 假定第 i 个约束条件不起作用 定义： y i = 0 , 假定第 i 个约束条件起作用
n ∑ a ij x j ≤ b i + My i j =1 y + y +L + y = m − k 2 m 1 (M 为任意大的正数）
min z = ∑ C j ( x j )
j =1
26
设置一个逻辑变量yj， 当xj=0时，yj=0，当xj>0时，yj=1。 由此引进一个特殊的约束条件：
x j ≤ My j （M为任意大的正数）
于是有：
min z = ∑ C j ( x j )
j =1 n
min z = ∑ (c j x j + K j y j )
• 甲种货物至多托运4件，问两种货物 • 各托运多少件，可使获得利润最大
13
解（1）
解设 x1、x2分别为甲、乙两种货物托运 的件数，显然x1，x2是非负的整数， 这是一个(纯)整数规划的问题
14
解（2）
数学模型如下所示： 目标函数：max z=2x1+3x2． 约束条件： 195x1+273x2≤1365， 4x1+40x2≤140， x1≤4， x1，x2≥0， x1，x2为整数
30
逻辑变量应用举例-3
例5．某公司制造小、中、大三种容器， 所用资源为金 属板、劳动力和机器设 备。
31
• 制造一个容器所需的各种资源的数量
资 源 小号 中号 2 2 1 4 4 3 2 5 大号 8 4 3 6
32
资源限量 500 300 100
金属板 劳动力 机器设备) 扣除变动费 用后的收入
8
整数规划的特点（1）
在很多实际问题中，全部或部分变量的 取值必须是整数，如人或机器设备等不 可分割。 此外还有一些问题，如要不要在某地建 设工厂，可选用一个逻辑变量x，令x=1 表示在该地建厂，x=0表示不在该地建厂， 逻辑变量也是只允许取整数值的一类变 量。
9
整数规划的特点（2）
纯整数线性规划： 纯整数线性规划： 在一个线性规划中要求全部变量取整数 值，或简称纯整数规划。 混合整数(线性 规划： 线性)规划 混合整数 线性 规划： 在一个线性规划中只要求一部分变量取 整数值。
r n ∑ aij x j ≤ ∑ bi yi 则： j =1 i =1 y + y +L+ y = 1 2 r 1
24
3．两组条件中满足其中一组
若x1≤4，则x2≥1； 否则（即x1>4），则x2≤3。
1, 第 i 组条件不起作用 定义： y i = 0 , 第 i 组条件起作用 x1 ≤ 4 + y1M x ≥ 1 − y M 1 2 则： x1 > 4 − y2 M x ≤ 3 + y M 2 2 y1 + y2 = 1
• 甲种货物至多托运4件， • 问两种货物各托运多少件，可使获得利润最 大？
5
引例2-1
例．某公司计划在市区的东、西、南、 北四区建立销售门市部， 拟议中有10个位置 Ai(i=1，2，3，...，10) 可供选择，
6
引例2-2
规定： 在东区由A1，A2，A3三个点至多选择两 个； 在西区由A4，A5两个点中至少选一个； 在南区由A6，A7两个点中至少选一个； 在北区由A9，A9，A10三个点中至少选两 个。
34
解题（2）
资源约束 2xl+4x2+8x3≤500 2xl+3x2+4x3≤300 xl+2x2+3x3≤100．
35
解题（3）
固定投入约束 x1≤ylM x2≤y2M x3≤y3M x1，x2，x3≥0，且为整数 y1，y2，y3为0-1变量
36
解题（4）
计算结果 最优解为x1=100，x2=0，x3=0， 最大目标函数值为300，
1, 假定右端项为bi ; 定义：yi = , i = 1,2 ,3,4 ,5 0, 否则。
x = b1 y1 + b2 y2 + b3 y3 + b4 y4 + b5 y5 则有 y1 + y2 + y3 + y4 + y5 = 1 x = 2 y1 + 3 y2 + 5 y3 + 8 y4 + 11y5 即 y1 + y2 + y3 + y4 + y5 = 1
37
整数规划的解法
匈牙利法 割平面法 分支定界法 隐枚举法（0-1规划问题）
38
解法1——匈牙利法
应用于分配问题
分配问题也称指派问题(assignment problem)，是一种特殊的整数规划问题。 假定有m项任务分配给m个人去完成，并 指定每人完成其中一项，每项只交给其 中一个人去完成，应如何分配使总的效 率为最高。 解决分配问题的方法：表上作业法、匈 牙利法
表明m个约束条件中有(m-k)个的右端项为 （bi+M），不起约束作用，因而只有k个 约束条件真正起到约束作用。
23
2．约束条件的右端项可能是r个值 （b1, b2, …, br）中的某一个
∑a x
j =1 ij n j
≤ b1 或 b2， ，或 br …
bi
1, 假定约束右端项为 定义： y i = 0 , 否则
28
逻辑变量应用举例-2
用逻辑变量表述以下约束条件： 以下5个约束条件最多满足3个： x1+x2+x3>3 3x1+2x2+x3>5 x1<10 x2<4 x3<11
29
解题
1, 假定第 i 个约束条件不起作用 定义： y i = 0 , 假定第 i 个约束条件起作用
将约束条件转换成统一型 -x1-x2-x3<3 -3x1-2x2-x3<5 x1<10 x2<4 x3<11
39
分配问题一般模型-1
例：有一份说明书，要分别译成英、日、德、俄四 种文字，交甲、乙、丙、丁四个人去完成。因各人 专长不同，他们完成翻译不同文字所需的时间(h)如 表所示。问：如何分配任务使效率最高？ 人
解（4）
195x1+273x2≤1365 （4，2） ， ）
3 2 1 0 z=2x1+3x2 1 2 3 最优解 x1 ≤4 4 图解法最优解 x1=4，x2=2，Z=14 线性规划法取整最优解： 线性规划法取整最优解：
x1=2，x2=3，Z=13 ， ，
17
例2．
求下述整数规划问题的最优解
max z = 3x1 + 2 x2
11
例1-1．
某公司拟用集装箱托运甲、乙两种货 物，这两种货物每件的体积、 重量， 可获利润以及托运所受限制如表所示
12
例1-2
货物 甲 乙 托运 限制 每件体积 (立方英尺) 195 273 1365 (立方英尺) 每件重量 (百千克) 4 40 140 (百千克) 每件利润 (百元) 2 3
− x1 − x 2 − x 3 < − 3 + My i − 3 x − 2 x − x < − 5 + My i 1 2 3 x 1 < 10 + My i 则有 (M 为任意大的正数） x 2 < 4 + My i x 3 < 11 + My i y1 + y 2 + L + y 5 ≥ 2
（1） （2）
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4．用以表达含固定费用的函数
如用xj代表产品j的生产数量，其生产费用函数通 常可表示为： ( x j > 0) K j + c j x j C j (x j ) = ( x j = 0) 0 式中kj是同产量无关的生产准备费用。 问题的目标是使所有产品的总生产费用为最小。 n 即：
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引例2-3
各点的设备投资及年获利预测表
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10
投 资 100 120 150 80 70 90 80 140 160 180 额 利 36 40 50 22 20 30 25 48 58 61 润 投资总额不能超过720万元。 问应选择哪几个点，可使年利润为最大？
10
整数规划的图解
有人认为，对整数规划问题的求解可以 先不考虑对变量的整数约束，作为一般 线性规划问题来求解，当解为非整数时 可用四舍五人或凑整方法寻找最优解。 当然在变量取值很大时，用上述方法得 到的解与最优解差别不大。但当变量取 值较小时，得到的解就可能与实际整数 最优解差别很大。再者当问题规模较大 时，用凑整办法来算工作量很大。
j =1
n
K j + c j x j ( x j > 0) C j (x j ) = ( x j = 0) 0
0 ≤ x j ≤ My j y j = 0或1
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逻辑变量应用举例-1
试用逻辑变量表达以下约束条件 变量x只能取2、3、5、8或11中的一个。 解题：右端项只能取多个值 b1=2,b2=3,b3=5,b4=8,b5=11中的一个值
2
主要内容
整数规划的性质 整数规划的解法 匈牙利法 割平面法 分支定界法 隐枚举法（0-1规划问题） 整数规划的应用
3
引例1-1
例1．某公司拟用集装箱托运甲、乙 两种货物，这两种货物每件的体积、 重量，可获利润以及托运所受限制 如表所示
4
引例1-2
货物 甲 乙 托运 限制 每件体积 (立方英尺) 195 273 1365 (立方英尺) 每件重量 (百千克) 4 40 140 (百千克) 每件利润 (百元) 2 3
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逻辑变量在建立数学模型中的作用
整数规划的模型对研究管理问题有重要意义。很多管 理问题无法归结为线性规划的数学模型，但却可以通 过设置逻辑变量建立起整数规划的数学模型。
M个约束条件中只有k个起作用； 约束条件的右端项可能是r个值（b1, b2, …, br）中的某一个； 两组条件中满足其中一组； 用以表达含固定费用的函数。
20
整数规划与对应的线性规划解的关系
1.任何求最大目标函数值 最大目标函数值的纯整数规划 最大目标函数值 或混合整数规划的最大目标函数值小于 小于 或等于相应的线性规划的最大目标函数 或等于 值； 2.任何求最小目标函数值 最小目标函数值的纯整数规划 最小目标函数值 或混合整数规划的最小目标函数值大于 大于 或等于相应的线性规划的最小目标函数。 或等于 3.整数规划之相应线性规划的最优解经四 四 舍五入不能得到其最优解 舍五入
第四章 整数规划
Integer Programming
特点-解法-应用
1
知识点要求
了解整数规划的特点； 掌握逻辑变量的灵活运用； 掌握整数规划的求解方法： 匈牙利法：寻找位于不同行不同列的m个零 m 元素、行和列的位势的确定 割平面法 分支定界法：分支与定界的条件 隐枚举法（0-1规划问题） 根据实际问题建立整数规划数学模型。
制造每种容器固定的费用： 小号是100万元， 中号为150万元， 大号为200万元。 如何安排生产计划，使获得的利润为最 大？
33
解题（1）
假设 x1，x2，x3分别为小号容器、中号容器和 大号容器的生产数量， yi=1，当xi>0时； yi=0，当xi=0时． 最大利润的目标函数 maxz=4x1+5x2+6x3-100yl-150y2-200y3
15
解（3）
将上述线性规划中的最后一个约束条件： x1，x2为整数去掉， 它是 一个线性规划的问题，用图解法来 解这个问题得 x1=2.44，x2 =3.26 四舍五人或去尾法得x1=2，x2=3， 这时目标函数值为13，并不是此整数规 划的最优解。
16
4x1+40x2≤140
（2.44，3.26） ，
2 x1 + 3x2 ≤ 14 x1 + 0.5 x2 ≤ 4.5 x , x ≥ 0, 且均取整数值 1 2
18
(3,3) (3.25，2.5) ， (3,2) (4,3) (4,2)
(4,1)，Z=14 ，
19
如果不考虑x1、x2取整数的约束，用图解法求得 最优解为(3.25，2.5)。由于x1、x2必须取整数值， 实际上问题的可行解集只是图中可行域内的那 些整数点。用凑整法 凑整法来解时需要比较四种组合， 凑整法 但(4，3)、(4，2)、(3，3)都不是可行解，(3， 2)虽属可行解，但代入目标函数得z=13，并非 最优。实际上问题的最优解应该是(4，1)， z*=14。但我们注意到(4，1)不是可行域的顶点， 因此直接用图解法或单纯形法都无法找出整数 规划问题的最优解来，这就要求研究解整数规 划问题的特殊方法。
22
1．M个约束条件中只有k个起作用
∑a x
j =1 ij n j≤ biຫໍສະໝຸດ (i = 1,..., m)
1, 假定第 i 个约束条件不起作用 定义： y i = 0 , 假定第 i 个约束条件起作用
n ∑ a ij x j ≤ b i + My i j =1 y + y +L + y = m − k 2 m 1 (M 为任意大的正数）
min z = ∑ C j ( x j )
j =1
26
设置一个逻辑变量yj， 当xj=0时，yj=0，当xj>0时，yj=1。 由此引进一个特殊的约束条件：
x j ≤ My j （M为任意大的正数）
于是有：
min z = ∑ C j ( x j )
j =1 n
min z = ∑ (c j x j + K j y j )
• 甲种货物至多托运4件，问两种货物 • 各托运多少件，可使获得利润最大
13
解（1）
解设 x1、x2分别为甲、乙两种货物托运 的件数，显然x1，x2是非负的整数， 这是一个(纯)整数规划的问题
14
解（2）
数学模型如下所示： 目标函数：max z=2x1+3x2． 约束条件： 195x1+273x2≤1365， 4x1+40x2≤140， x1≤4， x1，x2≥0， x1，x2为整数
30
逻辑变量应用举例-3
例5．某公司制造小、中、大三种容器， 所用资源为金 属板、劳动力和机器设 备。
31
• 制造一个容器所需的各种资源的数量
资 源 小号 中号 2 2 1 4 4 3 2 5 大号 8 4 3 6
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资源限量 500 300 100
金属板 劳动力 机器设备) 扣除变动费 用后的收入
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整数规划的特点（1）
在很多实际问题中，全部或部分变量的 取值必须是整数，如人或机器设备等不 可分割。 此外还有一些问题，如要不要在某地建 设工厂，可选用一个逻辑变量x，令x=1 表示在该地建厂，x=0表示不在该地建厂， 逻辑变量也是只允许取整数值的一类变 量。
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整数规划的特点（2）
纯整数线性规划： 纯整数线性规划： 在一个线性规划中要求全部变量取整数 值，或简称纯整数规划。 混合整数(线性 规划： 线性)规划 混合整数 线性 规划： 在一个线性规划中只要求一部分变量取 整数值。
r n ∑ aij x j ≤ ∑ bi yi 则： j =1 i =1 y + y +L+ y = 1 2 r 1
24
3．两组条件中满足其中一组
若x1≤4，则x2≥1； 否则（即x1>4），则x2≤3。
1, 第 i 组条件不起作用 定义： y i = 0 , 第 i 组条件起作用 x1 ≤ 4 + y1M x ≥ 1 − y M 1 2 则： x1 > 4 − y2 M x ≤ 3 + y M 2 2 y1 + y2 = 1
• 甲种货物至多托运4件， • 问两种货物各托运多少件，可使获得利润最 大？
5
引例2-1
例．某公司计划在市区的东、西、南、 北四区建立销售门市部， 拟议中有10个位置 Ai(i=1，2，3，...，10) 可供选择，
6
引例2-2
规定： 在东区由A1，A2，A3三个点至多选择两 个； 在西区由A4，A5两个点中至少选一个； 在南区由A6，A7两个点中至少选一个； 在北区由A9，A9，A10三个点中至少选两 个。
34
解题（2）
资源约束 2xl+4x2+8x3≤500 2xl+3x2+4x3≤300 xl+2x2+3x3≤100．
35
解题（3）
固定投入约束 x1≤ylM x2≤y2M x3≤y3M x1，x2，x3≥0，且为整数 y1，y2，y3为0-1变量
36
解题（4）
计算结果 最优解为x1=100，x2=0，x3=0， 最大目标函数值为300，
1, 假定右端项为bi ; 定义：yi = , i = 1,2 ,3,4 ,5 0, 否则。
x = b1 y1 + b2 y2 + b3 y3 + b4 y4 + b5 y5 则有 y1 + y2 + y3 + y4 + y5 = 1 x = 2 y1 + 3 y2 + 5 y3 + 8 y4 + 11y5 即 y1 + y2 + y3 + y4 + y5 = 1
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整数规划的解法
匈牙利法 割平面法 分支定界法 隐枚举法（0-1规划问题）
38
解法1——匈牙利法
应用于分配问题
分配问题也称指派问题(assignment problem)，是一种特殊的整数规划问题。 假定有m项任务分配给m个人去完成，并 指定每人完成其中一项，每项只交给其 中一个人去完成，应如何分配使总的效 率为最高。 解决分配问题的方法：表上作业法、匈 牙利法
表明m个约束条件中有(m-k)个的右端项为 （bi+M），不起约束作用，因而只有k个 约束条件真正起到约束作用。
23
2．约束条件的右端项可能是r个值 （b1, b2, …, br）中的某一个
∑a x
j =1 ij n j
≤ b1 或 b2， ，或 br …
bi
1, 假定约束右端项为 定义： y i = 0 , 否则
28
逻辑变量应用举例-2
用逻辑变量表述以下约束条件： 以下5个约束条件最多满足3个： x1+x2+x3>3 3x1+2x2+x3>5 x1<10 x2<4 x3<11
29
解题
1, 假定第 i 个约束条件不起作用 定义： y i = 0 , 假定第 i 个约束条件起作用
将约束条件转换成统一型 -x1-x2-x3<3 -3x1-2x2-x3<5 x1<10 x2<4 x3<11
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分配问题一般模型-1
例：有一份说明书，要分别译成英、日、德、俄四 种文字，交甲、乙、丙、丁四个人去完成。因各人 专长不同，他们完成翻译不同文字所需的时间(h)如 表所示。问：如何分配任务使效率最高？ 人
解（4）
195x1+273x2≤1365 （4，2） ， ）
3 2 1 0 z=2x1+3x2 1 2 3 最优解 x1 ≤4 4 图解法最优解 x1=4，x2=2，Z=14 线性规划法取整最优解： 线性规划法取整最优解：
x1=2，x2=3，Z=13 ， ，
17
例2．
求下述整数规划问题的最优解
max z = 3x1 + 2 x2
11
例1-1．
某公司拟用集装箱托运甲、乙两种货 物，这两种货物每件的体积、 重量， 可获利润以及托运所受限制如表所示
12
例1-2
货物 甲 乙 托运 限制 每件体积 (立方英尺) 195 273 1365 (立方英尺) 每件重量 (百千克) 4 40 140 (百千克) 每件利润 (百元) 2 3