高中数学 椭圆上的点对两焦点的张角问题的性质变式探究

椭圆上的点对两焦点的张角问题的性质变式探究
题目：在椭圆120
y 45x 2
2=+求一点P ，使它与两个焦点的连线互相垂直。

引申1： 椭圆14
y 9x 2
2=+的两个焦点是F 1、F 2，，点P 为它上面一动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是___________。

分析： 受原题的启发，无论是钝角还是锐角，都是以直角为参照，该题解法很多，但以几何法最为简洁。

如图，以坐标原点O 为圆心，以|F 1F 2|为直径画圆与椭圆交于A 、B 、C 、D 四点，由直径所对的圆周角是直角可知：当点P 位于A 、B 、C 、D 四点时，∠F 1PF 2为直角，当点P 位于椭圆上弧AB 或弧CD 上时，∠F 1PF 2为钝角；锐角的情况不言而喻，易求点P 横坐标的取值范围是
)5
53,553(-。

引申2： 双曲线116
y 9x 2
2=-的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上，且PF 1⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离为_____________。

分析： 该题将原题中的椭圆改为双曲线，而点到x 轴的距离等于
点的纵坐标的绝对值，以|F 1F 2|为直径作圆与双曲线的交点（即点P ）的坐标，易求点P 的纵坐标为516±，故所求距离为5
16。

引申3： 已知椭圆19
y 16x 2
2=+的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2为直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ） A. 59 B. 3 C. 779 D. 4
9 分析： 该题是将原题中∠21PF F 为直角改为△21PF F 为直角三角形，题中没确定哪个角为直角，从而使该题更具有开放性，当∠21PF F =90°时，只要找以|F 1F 2|为直径的圆与椭圆的交点纵坐标，显然以|F 1F 2|
为直径的圆的方程7y x 2
2=+与椭圆19
y 16x 2
2=+无交点，故此种情况无解；当∠21F PF =90°或∠12F PF =90°时，易求点P 到x 轴的距离为49a b 2=，故选D 。

引申4： F 1、F 2是椭圆C ：14
y 8x 2
2=+的两焦点，在C 上满足PF 1⊥PF 2的点P 的个数为__________。

分析： 该题只将求点的坐标改为判断点的个数，但解法是相同的，只是求以|F 1F 2|为直径的圆与椭圆
的交点个数，显然以|F 1F 2|为直径的圆方程为4y x 2
2=+，与椭圆C ：14
y 8x 2
2=+相切于椭圆短轴端点，故点P 的个数为2个。

引申5： 设椭圆1y 1
m x 22
=++的两个焦点是F 1（－c ，0），F 2（c ，0），c>0，且椭圆上存在点P ，使得PF 1与PF 2垂直，求实数m 的取值范围。

分析： 显然该题在椭圆中引入参数，将求点的坐标改为“求参数的取值范围”的热点问题，解法是相同的，要使椭圆上存在点使PF 1⊥PF 2，只需以F 1F 2为直径的圆与椭圆有交点，也就是椭圆的焦距大于或等于椭圆的短轴长，即b c ≥，易得1m ≥。

下面将上述问题推广到一般：
结论1： 已知F 1、F 2是椭圆1b
y a x 22
22=+（a>b>0）的两个焦点。

（1）若椭圆上存在点P ，使PF 1⊥PF 2，则椭圆离心率的范围是1e 2
2<≤； （2）若椭圆上存在点P ，使∠21PF F 为钝角，则椭圆的离心率的范围是
1e 22<<； （3）若椭圆上存在点P ，使∠θ=21PF F ，则椭圆的离心率的范围是1e 2sin <≤θ。

证明：（1）若存在点P ，使PF 1⊥PF 2，表明b c ≥，因而222a b c =≥－2c ，解得
1e 22<≤。

（2）若存在点P ，使∠21PF F 为钝角，表明c>b ，因而222c a b c -=>，解得e 2
2<<1。

（3）在△21PF F 中，由余弦定理得θcos |PF ||PF |2|PF ||PF ||F F |212221221⋅-+==（|PF |1＋|PF |2）
2－)cos 1(|PF ||PF |221θ+⋅ ∴221221)2
|PF ||PF |)(cos 1(b 2)cos 1(|PF ||PF |++≤=+⋅θθ ∴22a )cos 1(b 2θ+≤，2cos a 2a )cos 1(c 2a 222222θ
θ=+≤-，解得1e 2sin <≤θ。

结论2： 椭圆)0b a (1b
y a x 22
22>>=+上对两焦点张角为θ（πθ<<0）的点P 的个数由θ与∠201F P F =b c arctan 2（P 0为椭圆短轴的一个端点）的大小确定，当b
c arctan 2>θ时，P 点有0个；当b c arctan 2=θ时，P 点有2个；当b
c arctan 2<θ时，P 点有4个。

分析： 若点P 为椭圆)0b a (1b
y a x 22
22>>=+上的动点，则
cos ∠F 1PF 2=|PF ||PF |2|F F ||PF ||PF |212
212221⋅-+ 2212121212(||||)2||||||2||||
PF PF PF PF F F PF PF +-⋅-=⋅ 2
1221||||
b PF PF =-⋅，∵a 2|PF ||PF |21=+，∴当|PF ||PF |21=，即点P 在短轴上时，cos ∠21PF F 有最小值，从而∠21PF F 有最大值，即当点P 在短轴上时∠21PF F 取最大值，进而易知结论2成立。