高二数学北师大版必修5教学教案3-4-2简单线性规划(5)Word版含解析

3.4.2简单的线性规划
一、教学目标：1.了解线性规划的意义及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、
最优解等概念；
2.能根据条件建立线性目标函数；
3.了解线性规划问题的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大值、最
小值.
二、教学重、难点：线性规划问题的图解法；寻求线性规划问题的最优解.
三、教学过程：
（一）复习练习：
1．画出下列不等式表示的平面区域：
（1）()(233)0x y x y -+-<； （2）|341|5x y +-<．
（二）新课讲解：
1．引例：设2z x y =+，式中变量,x y 满足条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩
，求z 的最大值和最小值.
问题：能否用不等式的知识来解决以上问题？（否）
那么，能不能用二元一次不等式表示的平面区域来求解呢？怎样求解？
由题意，变量,x y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域。

由图知，原点(0,0)不在公共区域内，当0,0x y ==时，20z x y =+=，即点(0,0)在直线0l ：20x y +=上，
作一组平行于0l 的直线l ：2x y t +=，t R ∈，
可知：当l 在0l 的右上方时，直线l 上的点(,)x y
满足20x y +>，即0t >，
而且，直线l 往右平移时，t 随之增大。

由图象可知，
当直线l 经过点(5,2)A 时，对应的t 最大，
当直线l 经过点(1,1)B 时，对应的t 最小，
所以，max 25212z =⨯+=，min 2113z =⨯+=．
2．有关概念
在上述引例中，不等式组是一组对变量,x y 的约束条件，这组约束条件都是关于,x y 的一次不等式，所以又称为线性约束条件。

2z x y =+是要求最大值或最小值所涉及的变量,x y 的解析式，叫目标函数。

又由于2z x y =+是,x y 的一次解析式，所以又叫线性目标函数.
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。

满足线性约束条件的解(,)x y 叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。

在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域。

其中可行解(5,2)和(1,1)分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.
（三）例题分析：
例1．设610z x y =+，式中,x y 满足条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩
，求z 的最大值和最小值.
解：由引例可知：直线0l 与AC 所在直线平行，
则由引例的解题过程知，
当l 与AC 所在直线35250x y +-=重合时z 最大，此时满足条件的最优解有无数多个， 当l 经过点(1,1)B 时，对应z 最小，
∴max 61050z x y =+=，min 6110116z =⨯+⨯=．
说明：1．线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；
2．线性目标函数的最大值、最小值也可在可行域的边界上取得，即满足条件的最优
解有无数多个。

例2．已知,x y 满足不等式组230236035150x y x y x y -->⎧⎪+-<⎨⎪--<⎩
，求使x y +取最大值的整数,x y ．
解：不等式组的解集为三直线1l ：230x y --=，2l ：2360x y +-=，3l ：35150x y --=所围成的三角形内部（不含边界），设1l 与2l ，1l 与3l ，2l 与3l 交点分别为,,A B C ，则,,A B C 坐标分别为153(
,)84A ，(0,3)B -，7512(,)1919
C -， 作一组平行线l ：x y t +=平行于0l ：0x y +=，
当l 往0l 右上方移动时，t 随之增大，
∴当l 过C 点时x y +最大为6319
，但不是整数解， 又由75019
x <<知x 可取1,2,3， 当1x =时，代入原不等式组得2y =-， ∴1x y +=-；
当2x =时，得0y =或1-， ∴2x y +=或1；
当3x =时，1y =-， ∴2x y +=，
故x y +的最大整数解为20x y =⎧⎨=⎩或31x y =⎧⎨=-⎩．
说明：最优整数解常有两种处理方法，一种是通过打出网格求整点，关键是作图要准确；另一种是本题采用的方法，先确定区域内点的横坐标范围，确定x 的所有整数值，再代回原不等式组，得出y 的一元一次不等式组，再确定y 的所有相应整数值，即先固定x ，再用x 制约y ．
例3．设,,x y z 满足约束条件组1320101
x y z y z x y ++=⎧⎪+≥⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩，求264u x y z =++的最大值和最小值. 解：由1x y z ++=知1z x y =--+，代入32y z +≥中，得21y x -≥，224u x y =-++， ∴原约束条件组可化为21001y x x y -≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩， 如图，作一组平行线l ：x y t -+=平行于0l ：0x y -+=，
由图象知，当l 往0l 左上方时，l 往左上方移动时u 随之增大，
当l 往0l 右下方移动时，u 随之减小，
所以，当直线l 经过(1,1)A 时，min 212144u =-⨯+⨯+=；
当直线l 经过(0,1)B 时，max 202146u =-⨯+⨯+=．
四、小结：1．线性规划问题的有关概念；
2．线性规划问题的图解法求目标函数的最大、最小值；
3．线性规划问题的最优整数解.
O y x 1 l 0l A B。