上海市松江区2019届高三上学期期末质量监控数学试题

上海市松江区2019届高三期末质量监控（一模）
数学试卷
本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1. 设集合{|1}A x x =>，{|
0}3
x
B x x =<-，则A B = 2. 若复数z 满足(34i)43i z -=+，则||z =
3. 已知函数()y f x =的图像与函数x y a =(0,1)a a >≠的图像关于直线y x =对称，且点
(4,2)P 在函数()y f x =的图像上，则实数a =
4. 已知等差数列{}n a 的前10项和为30，则14710a a a a +++=
5. 若增广矩阵为1112m m m m +⎛⎫
⎪⎝⎭
的线性方程组无解，则实数m 的值为
6. 已知双曲线标准方程为2
213
x y -=，则其焦点到渐近线的距离为 7. 若向量a ，b 满足()7a b b +⋅=，且||3a =，||2b =，则向量a 与b 夹角为
8. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若22()6c a b =-+，3
C π=，
则△ABC 的面积= 9. 若|lg(1)|0
()sin 0x x f x x
x ->⎧=⎨
≤⎩，则()y f x =图像上关于原点O 对称的点共有 对 10. 已知A 、B 、C 是单位圆上三个互不相同的点，若||=||AB AC ，则AB AC ⋅的最小值 是
11. 已知向量1e ，2e 是平面α内的一组基向量，O 为α内的定点，对于α内任意一点P ， 当12OP xe ye =+时，则称有序实数对(,)x y 为点P 的广义坐标，若点A 、B 的广义坐标分 别为11(,)x y 、22(,)x y ，对于下列命题： ① 线段A 、B 的中点的广义坐标为1212
(
,)22
x x y y ++； ② A 、B
③ 向量OA 平行于向量OB 的充要条件是1221x y x y =； ④ 向量OA 垂直于向量OB 的充要条件是12120x x y y +=. 其中的真命题是 （请写出所有真命题的序号）
12. 已知函数()f x 的定义域为R ，且()()1f x f x ⋅-=和(1)(1)4f x f x +⋅-=对任意的
x ∈R 都成立，若当[0,1]x ∈时，()f x 的值域为[1,2]，则当[100,100]x ∈-时，函数()
f x 的值域为
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 过点(0,1)且与直线210x y -+=垂直的直线方程是（ ）
A. 210x y +-=
B. 210x y ++=
C. 220x y -+=
D. 210x y --= 14. 若0a >，0b >，则x y a b x y a b +>+⎧⎨
⋅>⋅⎩是x a y b >⎧⎨>⎩
的（ ）条件
A. 充分非必要
B. 必要非充分
C. 充要
D. 既非充分又非必要 15. 将函数()2sin(3)4
f x x π
=+
的图像向下平移1个单位，得到()g x 的图像，若
12()()9g x g x ⋅=，其中12,[0,4]x x π∈，则
1
2
x x 的最大值为（ ） A. 9 B.
37
5
C. 3
D. 1 16. 对于平面上点P 和曲线C ，任取C 上一点Q ，若线段PQ 的长度存在最小值，则称该 值为点P 到曲线C 的距离，记作(,)d P C ，若曲线C 是边长为6的等边三角形，则点集
{|(,)1}D P d P C =≤所表示的图形的面积为（ ）
A. 36
B. 36-
C. 36π+
D. 36π-
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 已知向量(3sin ,1)a x =，(cos ,1)b x =-. （1）若a ∥b ，求tan 2x 的值；
（2）若()()f x a b b =+⋅，求函数()f x 的最小正周期及当[0,]2
x π
∈时的最大值.
18. 已知函数2
()21
x
f x a =-
+（常数a ∈R ） （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；
（2）当()f x 为奇函数时，若对任意的[2,3]x ∈，都有()2x
m
f x ≥成立，求m 的最大值.
19. 某科技创新公司投资400万元研发了一款网络产品，产品上线第1个月的收入为40万 元，预计在今后若干个月内，该产品每月的收入平均比上一月增长50%，同时，该产品第1 个月的维护费支出为100万元，以后每月的维护费支出平均比上一个月增加50万元. （1）分别求出第6个月该产品的收入和维护费支出，并判断第6个月该产品的收入是否足 够支付第6个月的维护费支出？
（2）从第几个月起，该产品的总收入首次超过总支出？ （总支出包括维护费支出和研发投资支出）
20. 已知曲线Γ上的任意一点到两定点1(1,0)F -、2(1,0)F 的距离之和为l 交曲线Γ于A 、B 两点，O 为坐标原点. （1）求曲线Γ的方程；
（2）若l 不过点O 且不平行于坐标轴，记线段AB 的中点为M ，求证：直线OM 的斜率与
l 的斜率的乘积为定值；
（3）若OA OB ⊥，求△AOB 面积的取值范围.
21. 对于给定数列{}n a ，若数列{}n b 满足：对任意n ∈*N ，都有11()()0n n n n a b a b ++--<，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“相伴数列”.
（1）若n n n b a c =+，且数列{}n b 是{}n a 的“相伴数列”，试写出{}n c 的一个通项公式，并说明理由；
（2）设21n a n =-，证明：不存在等差数列{}n b ，使得数列{}n b 是{}n a 的“相伴数列”； （3）设12n n a -=，1n n b b q -=⋅（其中0q <），若{}n b 是{}n a 的“相伴数列”，试分析实数b 、q 的取值应满足的条件.
参考答案
一. 填空题
1. (1,3)
2. 1
3. 2
4. 12
5. 1-
6. 1
7.
6
π
8.
9. 4 10. 1
2- 11. ①③ 12. 100100[2,2]-
12．令1t x =+，则有()(2)4f t f t ⋅-=，即4(2)()f t f t -=
当[0,1]t ∈时，2[1,2]t -∈，又()[1,2]f t ∈，∴
4
[2,4]()
f t ∈ 即当[1,2]x ∈时，()f x 的值域为[2,4] ∴当[0,2]x ∈时，()f x 的值域为[1,4]
∵)(4)2()2(4)()(1)(4)1()1(1)()(x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f =+⇒⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
+=
-=-⇒⎩⎨⎧=-⋅+=-⋅
∴当[2,4]x ∈时，()f x 的值域为[4,16]，[4,6]x ∈时，()f x 的值域为6
[16,2]，
依此类推可知，当[2,22]x k k ∈+时，()f x 的值域为222
[2,2]k k +，
∴当[0,100]x ∈时，()f x 的值域为100
[1,2]
又，1()()f x f x =
-，当[100,0]x ∈-时，[0,100]x -∈，100
()[1,2]f x -∈ ∴100
()[2,1]f x -∈
综上，当[100,100]x ∈-时，函数)(x f 的值域为100100
[2,2]-.
二. 选择题
13. A 14. B 15. A 16. D 三、解答题
17．解：（1）由//a b r r
得
, cos x x =， ……………………………………2分
∴tan x =……………………………………………4分
∴2
2tan tan 1tan x
x x
==-……………………………………………6分 （2
）2()()cos cos f x a b b x x x =+⋅=+r r r
………………………………………8分
111
2cos2sin(2)2262
x x x π=
++=++ …………………………………10分 ∴函数)(x f 的最小正周期为22
T π
π== …………………………………12分
当]2
,0[π∈x 时，72666x πππ
≤+≤
∴当262x ππ+=，即6x π=时，max 3
()()62
f x f π== …………………………………14分
18．解：（1）若)(x f 为奇函数，必有(0)10f a =-= 得1a =，……………………2分
当1a =时，221()12121x x x f x -=-=++，2112()()2121
x x
x x f x f x -----===-++
∴当且仅当1a =时，)(x f 为奇函数 ………………………4分
又2(1)3f a =-，4
(1)3
f a -=-，∴对任意实数a ，都有(1)(1)f f -≠
∴)(x f 不可能是偶函数 ………………………6分
（2）由条件可得：22
2()2(1)(21)32121
x x x x x m f x ≤⋅=-=++-++恒成立， ……8分
记21x t =+，则由[2,3]x ∈ 得[5,9]t ∈， ………………………10分
此时函数2
()3g t t t
=+-在[5,9]t ∈上单调递增， ………………………12分
所以()g t 的最小值是12
(5)5g =， ………………………13分 所以12
5
m ≤ ，即m 的最大值是125 ………………………14分
19．解：记产品从第一个月起，每个月的收入为数列{}n a ，每个月的维护费支出为数列{}n b ，
则1
3
40()
2
n n a -=⋅，10050(1)n b n =+- ………………………4分
(1) 第6个月的收入为：56340()303.752
a =⋅≈万元，
第6个月的维护费为：610050(61)350b =+⋅-=万元，………………………6分
∴第6个月的收入还不足以支付第6个月的维护费 ………………………7分
(2)到第n 个月，该产品的总收入为3
40[1()]
3280()803212
n n n S ⋅-=
=⋅-- …………9分 该产品的总支出为2(1)
1005040025754002n n n T n n n -=+⨯+=++ …………11分 由题意知，只需 0n n S T ->，即23515
()(6)021616
n n n -+
+> …………12分 由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=10.
∴从第10个月起，该产品的总收入首次超过总支出 ………………14分
注：92102
3515
()38.44,99639.75
216163515()57.66,1010646.6321616≈⋅+⋅+≈≈⋅+⋅+≈
20. 解：（1）由题意知曲线Γ是以原点为中心，长轴在x 轴上的椭圆， …………1分
设其标准方程为22
221x y a b
+=
，则有1a c ==，
所以222
1b a c =-=，∴2212
x y += …………4分 （2）证明：设直线l 的方程为(0,0)y kx b k b =+≠≠， ……………………5分 设112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y
则由2212
y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 可得222()2x kx b ++=，即222
(12)4220k x kbx b +++-=
∴122412kb x x k +=-+，∴1202
2212x x kb x k
+==-+ ……………………8分 20022
21212k b b
y kx b b k k =+=-+=++，
001
2OM y k x k
==-， ……………………9分
∴直线OM 的斜率与 l 的斜率的乘积=11
22
OM k k k k ⋅=-⋅=-为定值 …………10分 （3）解法一：设1122(,),(,)A x y B x y
则由OA OB ⊥知，12120x x y y +=，即1212x x y y =-，∴2222
1212
x x y y = ………11分
AOB S ∆=
=………12分 因A 、B 两点在椭圆上，有 2
2112222
121
2x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 即221122
222222x y x y ⎧+=⎨+=⎩ 也即 2222
1122(2)(2)4x y x y ++= 得2
2
2
2
22122112522x y x y x x +=-
∴AOB S ∆= …………………13分 又由2
2
11
2
22
21212
x y x y ⎧=-⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
得22
22222222121212121211(1)(1)1()2224x x y y x x x x x x =--=-++=
∴2222
1212122()434x x x x x x +=-≥ ∴ 2212
409
x x ≤≤ …………………15分
∴2[,32AOB S ∆= …………………………………………16分 解法二：
当直线OA 、OB 分别与坐标轴重合时，易知AOB ∆
的面积2
AOB S ∆=
，…11分 当直线OA 、OB 的斜率均存在且不为零时，设直线OA 、OB 的方程为：y kx =、
1
y x k
=-， 点1122(,),(,)A x y B x y ，
由22
12
y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 可得22222x k x +=，
∴212221x k =+，代入y kx = 得22
12
221
k y k =+ …………………………………12分 同理可得22
2222
k x k =+，22222y k =+
∴12AOB S OA OB ∆=⋅=…………………………………………13分 令2
1t k =+，[1,)t ∈+∞，
则12AOB
S OA OB ∆=⋅==………14分 由[1,)t ∈+∞
知2[,
AOB S ∆∈ …………………………………………15分 综上可知， 2[,32
AOB S ∆∈ …………………………………………16分
21． 解：（1）(1)n n c =-， …………………………………………2分 此时，1211111()()[(1)][(1)](1)0n n n n n n n n n n n a b a b a a a a ++++++--=------=-< 所以{}n b 是数列{}n a 的“相伴数列”． …………………………………………4分 注：答案不唯一，{}n c 只需是正负相间的数列．
（2）证明，假设存在等差数列{}n b 是{}n a 的“相伴数列”，则有11b ≠ …………5分 若11b <，则由12(1)(3)0b b --< 得23b >…①， 又由23(3)(5)0b b --< 得35b <
又因为{}n b 是等差数列，所以13226b b b +=<，得23b <，与①矛盾 …………7分 同理，当11b >，则由12(1)(3)0b b --< 得23b <…②， 又由23(3)(5)0b b --< 得35b >
又因为{}n b 是等差数列，所以13226b b b +=>，得23b >，与②矛盾 ……………9分 所以，不存在等差数列{}n b ，使得数列{}n b 是{}n a 的“相伴数列” ………………10分 （3）由于12-=n n a ，易知0≠b 且1≠b ，
①当1>b 时，11a b >，由于对任意*
N n ∈，都有()()011<--++n n n n b a b a ，
故只需2221210
k k k k a b a b ++->⎧⎨
-<⎩*()k N ∈， ………………12分 由于0q <，所以当*
,2N k k n ∈=时，n k n a bq b <<=-012，
故只需当*
,12N k k n ∈+=时，n k k n a bq b =>=222，
即b q k
<⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛22对*
N k ∈恒成立，得2-≤q ； ………………13分 ②当10<<b 时，
11a b <，220a bq b <<=，与()()02211<--b a b a 矛盾，不符合题意； ……14分 ③当1-<b 时，11a b <，
当*
,12N k k n ∈+=时，n k n a bq b <<=02，
故只需当*
,2N k k n ∈=时，n k k n a bq b =>=--12122，
即b q k >⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-1
22对*
N k ∈恒成立，得2-≤q ； ……………15分 ④当01<≤-b 时，11a b <，则222=>=a bq b ，
下证只需2>bq ： 若2>bq ，则b
q 2
<，
当*
,12N k k n ∈+=时，n k n a bq b <<=02，
当*
,2N k k n ∈=时，n k k k k k n a b
b b bq b =≥⋅=
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⋅>=-----12122
21
2122212，
符合题意． ……………17分 综上所述，实数q b 、的取值应满足的条件为：
()()(]2,,,11-∞-∈+∞-∞-∈q b ，或[)2,0,1>-∈bq b ………………18分。