最新高三数学二轮 复习 导数综合练 专题卷(全国通用)5 (1)

一、选择题
1．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则
⎠⎛0
1f (x )d x 等于( )
A ．－1
B ．－13 C.1
3
D ．1
2．(2016·新余模拟)如图是函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的部分图象，则函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在的区间是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 B ．(1,2) C.⎝
⎛⎭
⎪⎫
12，1 D ．(2,3) 3．(2016·潍坊模拟)已知函数f (x )＝14x 2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2＋x ，f ′(x )为f (x )的导函
数，则f ′(x )的图象是( )
4．(2016·福建“四地六校”联考)已知曲线f (x )＝2
3x 3－x 2＋ax －1存在两条斜
率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a 的取值范围为( ) A ．(3，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，72 C.
⎝ ⎛⎦
⎥⎤－∞，72 D ．(0,3) 5．(2017·沈阳质检)已知定义域为R 的奇函数y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，
当x ≠0时，f ′(x )＋f (x )x >0，若a ＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，b ＝－2f (－2)，c ＝ln 12·f (ln 1
2)，
则a ，b ，c 的大小关系是( )
A ．a <c <b
B ．b <c <a
C ．a <b <c
D ．c <a <b
二、填空题 6．函数y ＝
ln 2x
x
的极小值为________．
7．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p 元，则销售量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2.问该商品零售价定为________元时毛利润最大(毛利润＝销售收入－进货支出)．
8．对任意实数x 均有e 2x －(a －3)e x ＋4－3a >0，则实数a 的取值范围为________．
9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
(2x －x 2)e x
，x ≤0，
－x 2
＋4x ＋3，x >0，
g (x )＝f (x )＋2k ，若函数g (x )恰有
两个不同的零点，则实数k 的取值范围为________________． 三、解答题
10．已知函数f (x )＝ln
1＋x
1－x
. (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；
(2)求证：当x ∈(0,1)时，f (x )>2⎝
⎛
⎭⎪⎫x ＋x 3
3；
(3)设实数k 使得f (x )>k ⎝
⎛
⎭⎪⎫x ＋x 3
3对x ∈(0,1)恒成立，求k 的最大值．
答案精析
1．B [∵f(x)＝x 2＋2⎠⎛0
1f(x)d x ，
∴⎠⎛01f (x )d x ＝[13x 3＋2x ⎠⎛01f (x )d x ]10
|＝1
3＋2⎠⎛01f (x )d x ， ∴⎠⎛0
1f (x )d x ＝-1
3.]
2．C [由函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的部分图象，得0<b <1，f (1)＝0， 从而－2<a <－1.
因为g (x )＝ln x ＋f ′(x )在其定义域内单调递增，g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12＝ln 12＋1＋a <0，
g (1)＝ln 1＋2＋a ＝2＋a >0，
所以函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在的区间是⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，1.故选C.]
3．A [因为f (x )＝14x 2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝1
4x 2＋cos x ，所以f ′(x )＝12x －sin x ，
其为奇函数，且f ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π6<0.故选A.]
4．B [f (x )＝2
3x 3－x 2＋ax －1的导数为f ′(x )＝2x 2－2x ＋a .由题意可得2x 2－
2x ＋a ＝3，
即2x 2－2x ＋a －3＝0有两个不相等的正实数根，
则Δ＝4－8(a －3)>0，x 1＋x 2＝1>0，x 1x 2＝12(a －3)>0，解得3<a <7
2.故选B.]
5．A [设h (x )＝xf (x )，∴h ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )． ∵y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴h (x )是定义在R 上的偶函数． 当x >0时，h ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )>0， ∴函数h (x )在(0，＋∞)上单调递增．
∵a ＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝h ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，
b ＝－2f (－2)＝2f (2)＝h (2)，
c ＝ln 12
·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 12＝h ⎝ ⎛⎭
⎪⎫ln 12＝h (－ln 2)＝h (ln 2)． 又∵2>ln 2>1
2，∴b >c >a .故选A.]
6．0
解析 函数的定义域为(0，＋∞)． 令y ＝f (x )，f ′(x )＝
2ln x －ln 2x
x
2
＝
－ln x (ln x －2)
x 2
.
令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝e 2.
f ′(x )与f (x )随x 的变化情况如下表：
故当x ＝1时，函数y ＝ln 2x
x
取到极小值0.
7．30
解析 由题意知，毛利润＝销售收入－进货支出， 设该商品的毛利润为L (p )，则
L (p )＝pQ －20Q ＝Q (p －20) ＝(8 300－170p －p 2
)(p －20) ＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000， 所以L ′(p )＝－3p 2－300p ＋11 700. 令L ′(p )＝0，
解得p ＝30或p ＝－130(舍去)． 此时，L (30)＝23 000.
因为在p ＝30附近的左侧L ′(p )>0，右侧L ′(p )<0.
所以L (30)是极大值，根据实际问题的意义知，L (30)是最大值． 8．(－∞，4
3
]
解析 e 2x
－(a －3)e x ＋4－3a >0⇔(e x ＋3)a <e 2x ＋3e x
＋4⇔a <e 2x ＋3e x ＋4
e x ＋3
，
令t ＝e x
，则a <e 2x ＋3e x ＋4e x ＋3⇔a <t 2＋3t ＋4
t ＋3
(t >0)，
令h (t )＝t 2＋3t ＋4t ＋3＝t ＋4
t ＋3(t >0)，
h ′(t )＝1－
4
?t ＋3?2
，
因为t >0，所以h ′(t )>0， 即当t >0时，h (t )>h (0)＝4
3，
所以a ≤4
3
，
即实数a 的取值范围为(－∞，4
3]．
9.⎝ ⎛⎭⎪⎫－7
2，－32∪⎩⎨⎧⎭
⎬⎫0，
2＋1e 2 解析 由y ＝(2x －x 2)e x (x ≤0)求导，得y ′＝(2－x 2)e x ，故y ＝(2x －x 2)e x (x ≤0)在(－2，0]上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减，且当x <0时，恒有y ＝(2x －x 2)e x <0.
又y ＝－x 2＋4x ＋3(x >0)在(0,2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，所以可作出函数y ＝f (x )的图象，如图．
由图可知，要使函数g (x )恰有两个不同的零点，需－2k ＝0或－2k ＝－22－2
e 2
或
3<－2k <7，即实数k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－7
2，－32∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，
2＋1e 2. 10．(1)解 因为f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )， 所以f ′(x )＝11＋x ＋1
1－x
，f ′(0)＝2.
又因为f (0)＝0，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x .
(2)证明 令g (x )＝f (x )－2⎝
⎛
⎭⎪⎫x ＋x 3
3，
则g ′(x )＝f ′(x )－2(1＋x 2)＝2x
41－x 2
.
因为g ′(x )>0(0<x <1)，
所以g (x )在区间(0,1)上单调递增． 所以g (x )>g (0)＝0，x ∈(0,1)，
即当x ∈(0,1)时，f (x )>2⎝
⎛
⎭⎪⎫x ＋x 3
3.
(3)解 由(2)知，当k ≤2时，f (x )>k ⎝ ⎛
⎭⎪⎫x ＋x 3
3对x ∈(0,1)恒成立．
当k >2时，令h (x )＝f (x )－k ⎝
⎛
⎭⎪⎫x ＋x 3
3，
则h ′(x )＝f ′(x )－k (1＋x 2
)＝kx 4－(k －2)
1－x 2
.
所以当0<x <
4k －2
k
时，h ′(x )<0，
因此h (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，
4k －2k 上单调递减． 当0<x <
4k －2
k
时，h (x )<h (0)＝0，
即f (x )<k ⎝
⎛
⎭⎪⎫x ＋x 3
3.
所以当k >2时，f (x )>k ⎝ ⎛
⎭⎪⎫x ＋x 3
3并非对x ∈(0,1)恒成立．
综上可知，k 的最大值为2.。