福建省惠安一中、养正中学、安溪一中联考高三数学上学期期中试卷 文(含解析)

福建省惠安一中、养正中学、安溪一中联考2015届高三上学期期中
数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．集合A={x|x2﹣2x≤0}，B={x|y=lg（1﹣x）}，则A∩B等于( )
A．{x|0＜x≤1}B．{x|0≤x＜1} C．{x|1＜x≤2}D．{x|1≤x＜2}
考点：一元二次不等式的解法；交集及其运算；对数函数的定义域．
专题：计算题．
分析：利用二次不等式求出集合A，对数函数的定义域求出集合B，然后求解它们的交集．
解答：解：集合A={x|x2﹣2x≤0}={x|0≤x≤2}，B={x|y=lg（1﹣x）}={x|x＜1}，
所以集合A∩B={x|0≤x＜1}．
故选：B．
点评：本题考查一元二次不等式的解法，交集及其运算，对数函数的定义域，考查计算能力．
2．已知平面向量=（1，2），=（﹣2，k），若与共线，则|3+|=( )
A．3 B．4 C．D．5
考点：平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：由与共线，求出k的值，从而计算出3+及其模长．
解答：解：∵向量=（1，2），=（﹣2，k），且与共线，
∴k﹣2×（﹣2）=0，
解得k=﹣4，
∴=（﹣2，﹣4）；
∴3+=（3×1﹣2，2×2﹣4）=（1，2），
∴|3+|==；
故选C．
点评：本题考查了平面向量的坐标运算问题，是基础题．
3．已知等差数列{a n}满足a2=3，a n﹣1=17，（n≥2），S n=100，则n的值为( )
A．8 B．9 C．10 D．11
考点：等差数列的前n项和；等差数列．
专题：计算题．
分析：根据等差数列的前n项和的公式，写出求和等于100时的公式，整理出关于n的方程，写出n的值．
解答：解：∵等差数列{a n}满足a2=3，a n﹣1=17，（n≥2），
S n=100，
∵100=，
∴n=10
故选C．
点评：本题考查等差数列的前n项和公式，是一个基础题，题目的解决关键是看出数列中所给的两项恰好是前n项和的两项．
4．给出如下四个命题：
①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；
②命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；
③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1≤1；
④在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．
其中不正确的命题的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
考点：命题的否定；正弦函数的单调性．
专题：阅读型．
分析：①若“p且q”为假命题，则p、q中有一个为假命题，不一定p、q均为假命题；②根据命题写出其否命题时，只须对条件与结论都要否定即得；③根据由一个命题的否定的定义可知：改变相应的量词，然后否定结论即可；④在△ABC中，根据大边对大角及正弦定理即可进行判断．
解答：解：①若“p且q”为假命题，则p、q中有一个为假命题，不一定p、q均为假命题；故错；
②根据命题写出其否命题时，只须对条件与结论都要否定即得，故命题“若a＞b，则2a＞2b ﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；正确；
③根据由一个命题的否定的定义可知：改变相应的量词，然后否定结论：“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1＜1；故错；
④在△ABC中，根据大边对大角及正弦定理即可得：“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．故正确．
其中不正确的命题的个数是：2．
故选C．
点评：本题考查的是复合命题的真假问题、命题的否定、正弦函数的单调性等．属于基础题．5．已知0＜a＜1，b＞1且ab＞1，则M=log a，N=log a b，P=log a．三数大小关系为( ) A．P＜N＜M B．N＜P＜M C．N＜M＜P D．P＜M＜N
考点：对数值大小的比较．
专题：计算题．
分析：本题利用排除法解决．0＜a＜1，b＞1知M＞0．N＜0，P=﹣1＜0代入选择支检（C），（D）被排除；又ab＞1通过对数运算可知（A）被排除．从而得出正确选项．
解答：解：0＜a＜1，b＞1知M＞0．N＜0，P=﹣1＜0代入选择支检（C），（D）被排除；
又ab＞1⇒log a ab＜0⇒log a b+log a a＜0
log a b＜﹣1，即log a b＜log b（A）被排除．
故选B．
点评：本题考查对数值的大小，考查对数的运算法则，考查指数函数和对数函数的性质是一个知识点比较综合的题目，注意分析题目中的大小关系．
6．对于平面α，β，γ和直线a，b，m，n，下列命题中真命题是( ) A．若a⊥m，a⊥n，m⊂α，n⊂α，则a⊥αB．若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a∥b C．若a∥b，b⊂α，则a∥αD．若a⊂β，b⊂β，a∥α，b∥α，则β∥α．
考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．
专题：空间位置关系与距离．
分析：A．利用线面垂直的判定定理即可判断出；
B．利用两个平面平行的性质定理即可判断出；
C．利用线面平行的判定定理即可判断出；
D．利用面面平行的判定定理即可得出．
解答：解：A．由a⊥m，a⊥n，m⊂α，n⊂α，只有当m与n相交时，才能得到a⊥α，因此A不正确；
B．由α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，利用两个平面平行的性质定理即可得出a∥b，因此正确；
C．由a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α；
D．由a⊂β，b⊂β，a∥α，b∥α，只有a与b相交时，才能得出β∥α．
故选：B．
点评：本题综合考查了空间中的线面、面面平行于垂直的位置关系，属于基础题．
7．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是( )
A．πB．6πC．πD．π
考点：由三视图求面积、体积．
专题：计算题；空间位置关系与距离．
分析：由三视图知几何体是由上半部分为半圆锥，下半部分为半圆柱组成的几何体，根据三视图的数据求半圆柱与半圆锥的体积，再相加．
解答：解：由三视图知几何体是由上半部分为半圆锥，下半部分为半圆柱组成的几何体，根据图中数据可知圆柱与圆锥的底面圆半径为2，圆锥的高为2，圆柱的高为1，
∴几何体的体积V=V半圆锥+V半圆柱=××π×22×2+×π×22×1=．
故选C．
点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及相关数据所对应的几何量．
8．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，对角线AC、DB相交于点O．若=，=，
=( )
A．﹣B．+C．+D．﹣
考点：平面向量的基本定理及其意义．
专题：平面向量及应用．
分析：先证明△DOC∽△BOA，然后根据AB=2CD得到AO与AD的比例关系，最后转化成用基底表示即可．
解答：解：∵AB∥CD，AB=2CD，
∴△DOC∽△BOA且AO=2OC，
则=2=，∴=，而=+=+=，
∴==（）=，
故选B．
点评：本题主要考查了向量加减混合运算及其几何意义，解题的关键是弄清AO与AD的比例关系，属于基础题．
9．函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=sinωx的图象，只需把y=f（x）的图象上所有点( )个单位长度．
A．向右平移B．向右平移C．向左平移D．向左平移
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．
分析：首先利用函数的图象求出周期，进一步利用函数周期公式求出ω，利用在x=函数的
值求出Φ的值，最后通过平移变换求出答案．
解答：解：根据函数的图象：
求得：T=π
进一步利用：
当x=|φ|＜
所以：φ=
即函数f（x）=
要得到f（x）=sin2x的图象只需将函数f（x）=向右平移个单位即可．
故选：A
点评：本题考查的知识点：利用函数的图象求函数的解析式，主要确定A、ω、Φ的值，函数图象的平移变换问题．
10．函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可以是( )
A．f（x）=x+sinx B．
C．f（x）=xcosx D．
考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
专题：计算题．
分析：通过函数的图象的奇偶性、定义域、验证函数的表达式，排除部分选项，利用图象过（，
0），排除选项，得到结果．
解答：解：依题意函数是奇函数，排除D，函数图象过原点，排除B，图象过（，0）显
然A不正确，C正确；
故选C
点评：本题是基础题，考查函数的图象特征，函数的性质，考查学生的视图能力，常考题型．11．已知函数，则使方程x+f（x）=m有解的实数m的取值范围是( )
A．（1，2）B．（﹣∞，﹣2） C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，1]∪
12．定义域为的函数y=f（x）图象的两个端点为A、B，M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=λa+（1﹣λ）b∈，已知向量，若不等式恒成立，则称函数f（x）在上“k阶线性近似”．若函数在上“k阶线性近似”，则实数k的
取值范围为( )
A．
考点：等比数列的前n项和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：易得此人一共走了8次，由等比数列的前n项和公式可得．
解答：解：∵1+2+3+4+5+6+7+8=36，
∴此人一共走了8次
∵第n次走n米放2n颗石子
∴他投放石子的总数是2+22+23+…+28
==2×255=510
故答案为：510
点评：本题考查等比数列的求和公式，得出数列的首项和公比是解决问题的关键，属基础题．15．设f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f（x）的图象关于直线对称，则f（1）+f （2）+f（3）+f（4）+f（5）=0．
考点：奇偶函数图象的对称性．
专题：常规题型；计算题；压轴题．
分析：先由f（x）是定义在R上的奇函数，结合对称性变形为
，f（﹣x）=f（1+x）=﹣f（x）
f（2+x）=﹣f（1+x）=f（x），再由f（0）=0求解．
解答：解：f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f（x）的图象关于直线对称，
∴f（﹣x）=﹣f（x），，
∴f（﹣x）=f（1+x）=﹣f（x）f（2+x）=﹣f（1+x）=f（x），
∴f（0）=f（1）=f（3）=f（5）=0，f（0）=f（2）=f（4）=0，
所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=0
故答案为：0
点评：本题主要考查函数的奇偶性及对称性以及主条件的变形与应用．
16．如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为9．
考点：平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：先以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，求出其它各点的坐标，然后利用点的坐标表示出，把所求问题转化为在平面区域内求线性目标函数的最值问
题求解即可．
解答：解：如图，
以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，由于菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，M为DC的中点，故点A（0，0），则B（2，0），C（3，），D（1，），M （2，）．
设N（x，y），N为菱形内（包括边界）一动点，对应的平面区域即为菱形ABCD及其内部区域．因为，=（x，y），则=2x+y，
令z=2x+，则，
由图象可得当目标函数z=2x+y 过点C（3，）时，z=2x+y取得最大值，
此时=9．
故答案为9．
点评：本题主要考查向量在几何中的应用，以及数形结合思想的应用和转化思想的应用，是对基础知识和基本思想的考查，属于中档题．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）记数列{}的前n项和为T n，若对任意的n∈N*，T n＜m恒成立，求实数m的取值范围．
考点：数列的求和；数列递推式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（I）当n=1时，a1=S1=1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1即可得出；
（II）由于==．可得数列{}的前n项和为T n=，由于任意n∈N*，T n，对任意的n∈N*，T n＜m恒成立，可得
．
解答：解：（I）当n=1时，a1=S1=1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1，
当n=1时适合上式，∴a n=2n﹣1．（n∈N*）．
（II）∵==．
∴数列{}的前n项和为T n=+…+
=，
∵任意n∈N*，T n，对任意的n∈N*，T n＜m恒成立，
∴．
∴实数m的取值范围是．
点评：本题考查了递推式的意义、“裂项求和”、恒成立问题的转化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，=（cosA，cosC），=（c﹣2b，
a），且⊥．
（1）求角A的大小；
（2）若a=b，且BC边上的中线AM的长为，求边a的值．
考点：余弦定理的应用；平面向量数量积的运算．
专题：解三角形．
分析：（1）通过向量的数量积以及正弦定理两角和与差的三角函数，求出A的余弦函数值，即可求角A的大小；
（2）通过a=b，利用余弦定理，结合BC边上的中线AM的长为，即可求出边a的值
解答：（本题12分）
解：（1）由⊥，∴•=0
（2b﹣）cosA=…
所以（2sinB﹣）cosA=…
∴2sinBcosA=，
则2sinBcosA=sinB …
所以cosA=，于是A=…
（2）由（1）知A=，又a=b，所以C=
设AC=x，则MC=， AM=，在△AMC中，由余弦定理得
AC2+MC2﹣2AC•MCcosC=AM2…
即x2+（）2﹣2x•，
解得x=2，即a=2…
点评：本题考查余弦定理的应用，向量的数量积的应用，三角形的解法，考查计算能力．
19．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上．
（Ⅰ）求证：BC⊥A1B；
（Ⅱ）若，AB=BC=2，P为AC的中点，求三棱锥P﹣A1BC的体积．
考点：直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．
专题：证明题．
分析：（Ⅰ）欲证BC⊥A1B，可寻找线面垂直，而A1A⊥BC，AD⊥BC．又AA1⊂平面A1AB，AD⊂平面A1AB，A1A∩AD=A，根据线面垂直的判定定理可知BC⊥平面A1AB，问题得证；
（Ⅱ）根据直三棱柱的性质可知A1A⊥面BPC，求三棱锥P﹣A1BC的体积可转化成求三棱锥A1﹣PBC的体积，先求出三角形PBC的面积，再根据体积公式解之即可．
解答：解：（Ⅰ）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，
∴A1A⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，
∴A1A⊥BC
∵AD⊥平面A1BC，且BC⊂平面A1BC，
∴AD⊥BC．又AA1⊂平面A1AB，
AD⊂平面A1AB，A1A∩AD=A，
∴BC⊥平面A1AB，
又A1B⊂平面A1BC，
∴BC⊥A1B；
（Ⅱ）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥AB．
∵AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上，
∴AD⊥A1B．
在Rt∠△ABD中，，AB=BC=2，
，∠ABD=60°，
在Rt∠△ABA1中，．
由（Ⅰ）知BC⊥平面A1AB，AB⊂平面A1AB，
从而BC⊥AB，．
∵P为AC的中点，
∴=．
点评：本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．
20．二次函数f（x）满足f（0）=f（1）=0，且最小值是．
（1）求f（x）的解析式；
（2）实数a≠0，函数g（x）=xf（x）+（a+1）x2﹣a2x，若g（x）在区间（﹣3，2）上单调递减，求实数a的取值范围．
考点：二次函数的性质；函数解析式的求解及常用方法．
专题：导数的综合应用．
分析：（1）由题意可设f（x）=ax（x﹣1）（a≠0），又由最小值是，联合解之即可；
（2）表示出g（x），求导数，令导函数小于0得到函数的单调减区间，让区间（﹣3，2）为函数的单调递减区间的子集即可．
解答：解：（1）由二次函数f（x）满足f（0）=f（1）=0．设f（x）=ax（x﹣1）（a≠0），则．
又f（x）的最小值是，故．解得a=1．
∴f（x）=x2﹣x；…
（2）g（x）=xf（x）+（a+1）x2﹣a2x=x3﹣x2+ax2+x2﹣a2x=x3+ax2﹣a2x．
∴g'（x）=3x2+2ax﹣a2=（3x﹣a）（x+a）．__________…
由g'（x）=0，得，或x=﹣a，又a≠0，故．…
当，即a＞0时，由g'（x）＜0，得．…
∴g（x）的减区间是，又g（x）在区间（﹣3，2）上单调递减，
∴，解得，故a≥6（满足a＞0）；…
当，即a＜0时，由g'（x）＜0，得．
∴g（x）的减区间是，又g（x）在区间（﹣3，2）上单调递减，
∴，解得，故a≤﹣9（满足a＜0）．…
综上所述得a≤﹣9，或a≥6．
∴实数a的取值范围为（﹣∞，﹣9]∪
点评：本题考查已知三角函数的模型的应用问题，解题的关键是根据所研究的问题及图形建立三角函数关系，再利用三角函数的知识求最值，得出实际问题的解，本题第二小问求面积的最值，利用到了三角函数有界性，本题考查了函数的思想及转化的思想，本题运算量较大，计算时要严谨．
22．已知函数f（x）=﹣x2+2lnx．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）若函数f（x）与g（x）=x+有相同极值点，
（i）求实数a的值；
（ii）若对于“x1，x2∈，不等式≤1恒成立，求实数k的取值范围．
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题．
专题：综合题；压轴题；导数的综合应用．
分析：（Ⅰ）求导函数，确定函数的单调性，从而可得函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）（ⅰ）求导函数，利用函数f（x）与g（x）=x+有相同极值点，可得x=1是函数g（x）
的极值点，从而可求a的值；
（ⅱ）先求出x1∈时，f（x1）min=f（3）=﹣9+2ln3，f（x1）max=f（1）=﹣1；x2∈时，g（x2）min=g（1）=2，g（x2）max=g（3）=，再将对于“x1，x2∈，不等式≤1恒成立，等价变形，分类讨论，即可求得实数k的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）求导函数可得：f′（x）=﹣2x+=﹣（x＞0）
由f′（x）＞0且x＞0得，0＜x＜1；由f′（x）＜0且x＞0得，x＞1．
∴f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数．
∴函数f（x）的最大值为f（1）=﹣1．
（Ⅱ）∵g（x）=x+，∴g′（x）=1﹣．
（ⅰ）由（Ⅰ）知，x=1是函数f（x）的极值点，
又∵函数f（x）与g（x）=x+有相同极值点，
∴x=1是函数g（x）的极值点，
∴g′（1）=1﹣a=0，解得a=1．
（ⅱ）∵f（）=﹣﹣2，f（1）=﹣1，f（3）=﹣9+2ln3，
∵﹣9+2ln3＜﹣﹣2＜﹣1，即f（3）＜f（）＜f（1），
∴x1∈时，f（x1）min=f（3）=﹣9+2ln3，f（x1）max=f（1）=﹣1
由（ⅰ）知g（x）=x+，∴g′（x）=1﹣．
当x∈时，g′（x）＞0．
故g（x）在上为增函数．
∵，g（1）=2，g（3）=，
而2＜＜，∴g（1）＜g（）＜g（3）
∴x2∈时，g（x2）min=g（1）=2，g（x2）max=g（3）=
①当k﹣1＞0，即k＞1时，
对于“x1，x2∈，不等式≤1恒成立，等价于k≥max+1
∵f（x1）﹣g（x2）≤f（1）﹣g（1）=﹣1﹣2=﹣3，
∴k≥﹣2，又∵k＞1，∴k＞1．
②当k﹣1＜0，即k＜1时，
对于“x1，x2∈，不等式≤1恒成立，等价于k≤min+1
∵f（x1）﹣g（x2）≥f（3）﹣g（3）=﹣，
∴k≤．
又∵k＜1，∴k≤．
综上，所求的实数k的取值范围为（﹣∞，]∪（1，+∞）．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．。