黑龙江省齐齐哈尔市第八中学2017-2018学年高二3月月考

2017-2018学年度高二下学期三月月考
数学(理)试题
命题人:高保华 审题人:李庆瑞 第一部分 选择题（共60分）
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.设集合}034{2
<+-=x x x A ，}032{>-=x x B ，则A B =I （ ）
A ．)2
3,3(--
B ．)2
3,3(-
C ．)2
3,1(
D ．)3,2
3(
2.
4
2
1
dx x
⎰
等于 （ ） A ．2ln 2- B ．2ln 2 C ．ln 2 D ． ln 2-
3．下列函数中， 0x =是其极值点的函数是 ( ) A ．()3f x x =- B ．()cos f x x =- C ．()sin f x x x =- D ．()1f x x
=
4、函数()2
ln2f x x x =-的单调递减区间是 ( )
5．下列四个命题中真命题的个数是 （ ）
(1)“1x =”是“2
320x x -+=”的充分不必要条件；
(2)命题“R x ∀∈，sin 1x ≤”的否定是“R x ∃∈，sin 1x >”；
(3)“若22
am bm <，则a b <”的逆命题为真命题；
(4)命题:p [)1,x ∀∈+∞，lg 0x ≥，命题:q R x ∃∈，2
10x x ++<，则p q ∨为真命题；
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
6．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是（ ）
A ．2
B ． 92
C ．3
D ． 32
7．已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x 值为 （ ） A ．2或-2 B ．1或-2 C ．2或-1 D ．-1或-2 8. 设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如下图所示， 则导函数y ＝f ′(x )的图象可能是 ( )
9.以正弦曲线sin y x =上一点P 为切点的切线为l ，则直线l 的倾斜角的范围是 ( ) A ．[0，π4]∪[3π4，π) B ．[0，π) C ．[π4，3π4] D ．[0，π4]∪(π
2，
3π
4
] 10. 若a >0，b >0，且函数()32422f x x ax bx =--+在1x =处有极值，则ab 的最大值 等于 ( ) A ．2
B ．3
C ．6
D ．9
11.已知 ()321f x x ax x =-+--在(),-∞+∞上是单调函数，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．(－∞，－3)，(3，＋∞)
B ．(－3，3)
C ．[－3，3]
D ．(－∞，－3]∪[3，＋∞) 12. 已知函数()()32ln ,5a f x x x g x x x x =
+=--，若对任意的x 1，x 2∈1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，都有 ()()122f x g x -≥成立，则a 的取值范围是 ( )
A ．(0，＋∞)
B ．[1，＋∞)
C ．(－∞，0)
D ．(－∞，－1]
正视图 侧视图
俯视图
x
P
A
B
D
C
E
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20 分.请将正确填在答题卡的 横线上.
13. 已知向量,a b 的夹角为60，2a =， 1b =，则2a b +=____ _ ___; 14、由曲线y=2
x ,y=3
x 围成的封闭图形面积为_____ _______;
15、已知()323f x x x a =++ a 为常数)，在[]3,3- 上有最小值3，那么在[]3,3-上()f x 的最大值是______ ________;
16. 定义域为R 的函数()f x 满足()11f =，且()f x 的导函数()1
2
f x '>
，则满足 ()1
2
x f x +<
的x 的解集为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
3AB AC ⋅=.
（Ⅰ）求ABC ∆的面积； （Ⅱ）若6b c +=，求a 的值.
19.（本小题满分12分）已知函数()()30f x ax cx d a =++≠是R 上的奇函数，当x ＝1 时，()f x 取得极值－2. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；
（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间和极大值；
20．(本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，
=2AD BC AD BC =∥，2，2,PC =ABC ∆是以AC 为斜边的等腰直角三角形，E 是
PD 的中点．
（Ⅰ）求证：平面EAC ⊥平面PCD ；
（Ⅱ）求直线PA 与平面EAC 所成角的余弦值.
21.(本小题满分12分)已知椭圆22:24C x y +=. （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；
（Ⅱ）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线y ＝2上，且OA OB ⊥，试判断直 线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论．
22．(本小题满分12分）已知函数()()R a ax x a x f ∈--=3ln . （Ⅰ）求函数()x f 的单调区间；
（Ⅱ）若函数()x f y =的图像在点()()2,2f 处的切线倾斜角为︒45，对于任意的[]2,1∈t ， 函数()()⎪⎭
⎫
⎝⎛
+
+=2'2
3
m x f x x x g 在区间()3,t 上总不是单调函数，求m 的取值范围.
2017-2018齐市八中高二下学期第一月考数学试题参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．
二．填空题：13.
10； 14. 1; 15. 57; 16. {x |x <1}
三．解答题：
17．17、解：(1)在△ABC 中，cos B ＝－cos(A ＋C )．由已知，得(1－sin 2
B )－cos(A ＋
C )＝1－cos A cos C ，∴－sin 2
B －(cos A cos
C －sin A sin C )＝－cos A cos C ，
化简，得sin 2
B ＝sin A sin
C ．由正弦定理，得b 2
＝ac ，∴a ，b ，c 成等比数列． (2)由(1)及题设条件，得ac ＝4. 则cos B ＝2ac a2＋c2－b2＝2ac a2＋c2－ac ≥2ac 2ac －ac ＝21，
当且仅当a ＝c 时，等号成立．∵0＜B ＜π，∴sin B ＝≤ 21＝23
. ∴S △ABC ＝21ac sin B ≤21×4×23
＝. ∴△ABC 的面积的最大值为.
18[解析] (1)∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即－ax 3
－cx ＋d ＝－ax 3
－cx －d ，∴d ＝－d ，∴d ＝0(或由f (0)＝0得d ＝0)．∴f (x )＝ax 3
＋cx ，f ′(x )＝3ax 2
＋c ，又当x ＝1时，f (x )取得极值－2，∴⎩⎪⎨
⎪⎧
f ＝－2，
f
＝0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋c ＝－2，
3a ＋c ＝0，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
c ＝－3.
∴f (x )＝
x 3－3x .
(2)f ′(x )＝3x 2
－3＝3(x ＋1)(x －1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，当－1<x <1时，f ′(x )<0，
函数f (x )单调递减；当x <－1或x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； ∴函数f (x )的递增区间是(－∞，－1)和(1，＋∞)；递减区间为(－1,1)．
因此，f (x )在x ＝－1处取得极大值，且极大值为f (－1)＝2. 19.解：解：（1）因为
，
，所以
或
（舍去）.
又，故，所以数列的通项公式为.
（2）由（Ⅰ）知，∴，①
∴，② ②①得
，∴
.
20. 【答案】 (1)略 (2)略 (3)8
3
21. 解：(1)由题意，椭圆C 的标准方程为4x2＋2y2＝1.∴a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2
＝2.因此a ＝2，c ＝.故椭圆C 的离心率e ＝a c ＝22
. (2)直线AB 与圆x 2
＋y 2
＝2相切．证明如下：
设点A ，B 的坐标分别为(x 0，y 0)，(t ，2)，其中x 0≠0.∵OA ⊥OB ，∴→OA ·→OB
＝0，即tx 0
＋2y 0＝0，解得t ＝－x02y0. 当x 0＝t 时，y 0＝－2t2
，代入椭圆C 的方程，得t ＝±，
故直线AB 的方程为x ＝±.圆心O 到直线AB 的距离d ＝，此时直线AB 与圆x 2
＋y 2
＝2相切．
当x 0≠t 时，直线AB 的方程为y －2＝x0－t y0－2
(x －t )，即(y 0－2)x －(x 0－t )y ＋2x 0－ty 0＝0， 圆心O 到直线AB 的距离d ＝（y0－2）2＋（x0－t ）2|2x0－ty0| .又x 02＋2y 02＝4，t ＝－x02y0
，故
d ＝
=＝，此时直线AB 与圆x 2＋y 2
＝2
22．解： （1）()()()01'>x x
x a x f -=
， 当0>a 时，()x f 的单调递增区间为()1,0，单调递减区间为()+∞,1 ； 当0<a 时，()x f 的单调递增区间为()+∞,1 ，单调递减区间为()1,0； 当0=a 时，()x f 不是单调函数. 2.由()12
2'=-
=a
f 得(),32ln 2,2-+-=-=x x x f a ∴(),22223
x x m x x g -⎪⎭
⎫
⎝⎛++=∴()().243'2-++=x m x x g ∵()x g 在区间()3,t 上总不是单调函数，且(),20'-=g
∴
()
()
⎩
⎨
⎧
,0
3'
,0
'
>
<
g
t
g
由题意知：对于任意的[]()0
'
,2,1<
t
g
t∈恒成立，
∴有
()
()
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
,0
3'
,0
2'
,0
1'
>
<
<
g
g
g
∴,9
3
37
-
-<
<m∴m的取值范围为.
9
,
3
37
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
-。