2021年江西省中考数学试卷及答案解析

2021年江西省中考数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.每小题只有一个正确选项）
1．﹣2的相反数是（ ）
A ．2
B ．﹣2
C ．12
D ．−12 【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的两个数互为相反数．
【解答】解：根据相反数的定义，﹣2的相反数是2．
故选：A ．
【点评】本题考查了相反数的意义．注意掌握只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．
2．如图，几何体的主视图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【分析】根据简单组合体的三视图的画法得出该组合体的主视图即可．
【解答】解：从正面看该组合体，长方体的主视图为长方形，圆柱体的主视图是长方形， 因此选项C 中的图形符合题意，
故选：C ．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握三视图的画法是正确判断的前提．
3．计算a+1a −1a 的结果为（ ） A ．1 B ．﹣1 C ．a+2a D ．a−2a
【分析】根据分式的加减运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式=
a+1−1a
=a a
＝1，
故选：A ．
【点评】本题考查分式的加减运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
4．如图是2020年中国新能源汽车购买用户地区分布图，由图可知下列说法错误的是（ ）
A ．一线城市购买新能源汽车的用户最多
B ．二线城市购买新能源汽车用户达37%
C ．三四线城市购买新能源汽车用户达到11万
D ．四线城市以下购买新能源汽车用户最少
【分析】根据扇形统计图中的数据一一分析即可判断．
【解答】解：A 、一线城市购买新能源汽车的用户最多，故本选项正确，不符合题意；
B 、二线城市购买新能源汽车用户达37%，故本选项正确，不符合题意；
C 、由扇形统计图中的数据不能得出三四线城市购买新能源汽车用户达到11万，故本选项错误，符合题意；
D 、四线城市以下购买新能源汽车用户最少，故本选项正确，不符合题意；
故选：C ．
【点评】本题考查了扇形统计图．关键是根据扇形统计图中的数据进行分析，解题时要细心．
5．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象，即可得出a＞0、b＞0、c＜0，
由此即可得出：二次函数y＝ax﹣+bx+c的图象开口向上，对称轴x=−b
2a＜0，与y轴的
交点在y轴负半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．【解答】解：观察函数图象可知：a＞0，b＞0，c＜0，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴x=−b
2a＜0，与y轴的交点在y轴负
半轴．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数图象和一次函数图象经过的象限，找出a＞0、b＞0、c＜0是解题的关键．
6．如图是用七巧板拼接成的一个轴对称图形（忽略拼接线）小亮改变①的位置，将①分别摆放在图中左，下，右的位置（摆放时无缝隙不重叠），还能拼接成不同轴对称图形的个数为（）
A．2B．3C．4D．5
【分析】能拼剪为等腰梯形，等腰直角三角形，矩形，由此即可判断．
【解答】解：观察图象可知，能拼接成不同轴对称图形的个数为3个．
故选：B．
【点评】本题考查利用轴对称设计图案，解题的关键是理解轴对称图形的性质，属于中考常考题型．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．国务院第七次全国人口普查领导小组办公室5月11日发布，江西人口数约为45100000人，将45100000用科学记数法表示为 4.51×107．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：45100000＝4.51×107，
故答案为：4.51×107．
【点评】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
8．因式分解：x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）．
【分析】直接运用平方差公式进行因式分解．
【解答】解：x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）．
【点评】本题考查了平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
9．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根，则x1+x1﹣x1x2＝1．【分析】直接根据根与系数的关系得出x1+x2、x1x2的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根，
∴x1+x2＝4，x1x2＝3．
则x1+x2﹣x1x2＝4﹣3＝1．
故答案是：1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系，关键是掌握
x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−b
a，x1•x2=
c
a．
10．如表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全表第四行空缺的数字是3．
【分析】根据表中的数据和数据的变化特点，可以发现：每一行中间的数字都等于这个数字上一行左上角和右上角的数字之和，然后即可写出第四行空缺的数字．
【解答】解：由表可知，每一行中间的数字都等于这个数字上一行左上角和右上角的数字之和，
故第四行空缺的数字是1+2＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是发现数字的变化特点，写出相应的数字．
11．如图，将▱ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，若∠B＝80°，∠ACE＝2∠ECD，FC＝a，FD＝b，则▱ABCD的周长为4a+2b．
【分析】由∠B＝80°，四边形ABCD为平行四边形，折叠的性质可证明△AFC为等腰三角形．所以AF＝FC＝a．设∠ECD＝x，则∠ACE＝2x，在△ADC中，由三角形内角和定理可知，2x+2x+x+80°＝180°，解得x＝20°，由外角定理可证明△DFC为等腰三角形．所以DC＝FC＝a．故平行四边形ABCD的周长为2（DC+AD）＝2（a+a+b）＝2＝4a+2b．
【解答】解：∵∠B＝80°，四边形ABCD为平行四边形．
∴∠D＝80°．
由折叠可知∠ACB＝∠ACE，
又AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴∠ACE＝∠DAC，
∴△AFC为等腰三角形．
∴AF＝FC＝a．
设∠ECD＝x，则∠ACE＝2x，
∴∠DAC＝2x，
在△ADC中，由三角形内角和定理可知，2x+2x+x+80°＝180°，
解得：x＝20°．
∴由三角形外角定理可得∠DFC＝4x＝80°，
故△DFC为等腰三角形．
∴DC＝FC＝a．
∴AD＝AF+FD＝a+b，
故平行四边形ABCD的周长为2（DC+AD）＝2（a+a+b）＝2＝4a+2b．
故答案为：4a+2b．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、三角形内角和定理、外角定理、图形的翻折变换，证明△AFC和△DFC为等腰三角形是解题关键．
12．如图，在边长为6√3的正六边形ABCDEF中，连接BE，CF，其中点M，N分别为BE 和CF上的动点．若以M，N，D为顶点的三角形是等边三角形，且边长为整数，则该等边三角形的边长为9或10或18．
【分析】连接DF,DB,BF．则△DBF是等边三角形．解直角三角形求出DF,可得结论．当点N在OC上，点M在OE上时，求出等边三角形的边长的最大值，最小值，可得结论．【解答】解：连接DF,DB,BF．则△DBF是等边三角形．
设BE交DF于J．
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴由对称性可知，DF⊥BE,∠JEF＝60°,EF＝ED＝6√3,
∴FJ＝DJ＝EF•sin60°＝6√3×√3
2
=9,
∴DF＝18,
∴当点M与B重合，点N与F重合时，满足条件，∴△DMN的边长为18，
如图，当点N在OC上，点M在OE上时，
等边△DMN的边长的最大值为6√3≈10.39，最小值为9，
∴△DMN的边长为整数时，边长为10或9，
综上所述，等边△DMN的边长为9或10或18．
故答案为：9或10或18．
【点评】本题考查正多边形与圆，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是判断出△BDF是等边三角形，属于中考常考题型．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）（1）计算：（﹣1）2﹣（π﹣2021）0+|−1
2|；
（2）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠ABC＝80°，BE平分∠ABC交AC于点E，ED ⊥AB于点D，求证：AD＝BD．
【分析】(1)根据乘方的意义、零指数幂和绝对值的意义计算；
（2）先证明∠A＝∠ABE得到△ABE为等腰三角形，然后根据等腰三角形的性质得到结论．
【解答】（1）解：原式＝1﹣1+1 2
=12；
(2)证明：∵BE平分∠ABC交AC于点E，
∴∠ABE=1
2∠ABC=
1
2
×80°＝40°，
∵∠A＝40°，∴∠A＝∠ABE，
∴△ABE 为等腰三角形，
∵ED ⊥AB ，
∴AD ＝BD ．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了等腰三角形的判断与性质和实数的运算．
14．（6分）解不等式组：{2x −3≤1
x+13＞−1并将解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2x ﹣3≤1，得：x ≤2，
解不等式x+13＞−1，得：x ＞﹣4，
则不等式组的解集为﹣4＜x ≤2，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
15．（6分）为庆祝建党100周年，某大学组织志愿者周末到社区进行党史学习宣讲，决定
从A ，B ，C ，D 四名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者参加．抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字．
（1）“A 志愿者被选中”是 随机 事件（填“随机”或“不可能”或“必然”）；
（2）请你用列表法或画树状图法表示出这次抽签所有可能的结果，并求出A ，B 两名志愿者被选中的概率．
【分析】（1）根据随机事件、不可能事件及必然事件的概念求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果数，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）“A 志愿者被选中”是随机事件，
故答案为：随机；
（2）列表如下：
A B C D
A﹣﹣﹣（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）﹣﹣﹣（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）﹣﹣﹣（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）﹣﹣﹣由表可知，共有12种等可能结果，其中A，B两名志愿者被选中的有2种结果，
所以A，B两名志愿者被选中的概率为2
12=
1
6
．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
16．（6分）已知正方形ABCD的边长为4个单位长度，点E是CD的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，将直线AC绕着正方形ABCD的中心顺时针旋转45°；
（2）在图2中，将直线AC向上平移1个单位长度．
【分析】（1）根据正方形的性质和旋转的性质即可作出图形；
（2）根据平移的性质即可作出图形．
【解答】解：（1）如图1，直线l即为所求；
（2）如图2中，直线a即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，作图﹣平移变换，正方形的性质，解决本题的关键是掌握旋转的性质和平移的性质．
17．（6分）如图，正比例函数y＝x的图象与反比例函数y=k
x（x＞0）的图象交于点A（1，
a）在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点C坐标为（﹣2，0）．
（1）求k的值；
（2）求AB所在直线的解析式．
【分析】(1)先求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得k的值；
（2）作AD⊥x轴于D,BE⊥x轴于E,通过证得△BCE≌△CAD，求得B(﹣3,3),然后根据待定系数法即可求得直线AB的解析式．
【解答】解：（1）∵正比例函数y＝x的图象经过点A（1，a），
∴a＝1,
∴A(1,1),
∵点A 在反比例函数y =k x
（x ＞0）的图象上， ∴k ＝1×1＝1；
(2)作AD ⊥x 轴于D ,BE ⊥x 轴于E , ∵A (1,1),C (﹣2,0), ∴AD ＝1,CD ＝3, ∵∠ACB ＝90°， ∴∠ACD +∠BCE ＝90°, ∵∠ACD +∠CAD ＝90°, ∴∠BCE ＝∠CAD , 在△BCE 和△CAD 中， {∠BCE =∠CAD
∠BEC =∠CDA =90°CB =AC
, ∴△BCE ≌△CAD (AAS ), ∴CE ＝AD ＝1,BE ＝CD ＝3, ∴B (﹣3,3),
设直线AB 的解析式为y ＝mx +n , ∴{m +n =1−3m +n =3,解得{
m =−1
2n =
32, ∴直线AB 的解析式为y =−12x +3
2．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，求得B 的坐标是解题的关键．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）甲，乙两人去市场采购相同价格的同一种商品，甲用2400元购买的商品数量比乙用3000元购买的商品数量少10件． （1）求这种商品的单价；
（2）甲，乙两人第二次再去采购该商品时，单价比上次少了20元/件，甲购买商品的总价与上次相同，乙购买商品的数量与上次相同，则甲两次购买这种商品的平均单价是 48 元/件，乙两次购买这种商品的平均单价是 50 元/件．
（3）生活中，无论油价如何变化，有人总按相同金额加油，有人总按相同油量加油，结合（2）的计算结果，建议按相同 金额 加油更合算（填“金额”或“油量”）． 【分析】(1)设这种商品的单价为x 元/件．根据“甲用2400元购买的商品数量比乙用3000元购买的商品数量少10件”找到相等关系，列出方程,解出方程即可得出答案； (2)先计算出第二次购买该商品时甲购买的数量和乙购买的总价，再用两次总价和除以两次的数量和即可得出两次的平均单价； （3）通过比较（2）的计算结果即可得出答案． 【解答】(1)解：设这种商品的单价为x 元/件． 由题意得：
3000x
−
2400x
=10,
解得：x ＝60,
经检验：x ＝60是原方程的根． 答：这种商品的单价为60元/件．
（2）解：第二次购买该商品时的单价为：60﹣20＝40（元/件），
第二次购买该商品时甲购买的件数为：2400÷40＝60（件），第二次购买该商品时乙购买的总价为：（3000÷60）×40＝2000（元）， ∴甲两次购买这种商品的平均单价是：2400×2÷（240060
+60）＝48（元/件），乙两次
购买这种商品的平均单价是：（3000+2000）÷（300060
×2）＝50（元/件）．
故答案为：48；50． （3）解：∵48＜50, ∴按相同金额加油更合算． 故答案为：金额．
【点评】本题考查了方式方程的应用，找到题目中的相等关系是解决问题的关键，计算平均单价的关键是能够正确的得出总价和数量，再思考从特殊到一般的规律．
19．（8分）为了提高农副产品的国际竞争力，我国一些行业协会对农副产品的规格进行了划分．某外贸公司要出口一批规格为75g的鸡腿，现有两个厂家提供货源，它们的价格相同，鸡腿的品质相近质检员分别从两厂的产品中抽样调查了20只鸡腿，它们的质量（单位：g）如下：
甲厂：76，74，74，76，73，76，76，77，78，74，76，70，76，76，73，70，77，79，78，71；
乙厂：75，76，77，77，78，77，76，71，74，75，79，71，72，74，73，74，70，79，75，77．
甲厂鸡腿质量频数统计表
质量x（g）频数频率
20.1
68≤x＜
71
30.15
71≤x＜
74
10a
74≤x＜
77
50.25
77≤x＜
80
合计201
分析上述数据，得到下表：
平均数中位数众数方差
统计量
厂家
甲厂7576b 6.3
乙厂757577 6.6
请你根据图表中的信息完成下列问题：
（1）a＝0.5，b＝76；
（2）补全频数分布直方图；
（3）如果只考虑出口鸡腿规格，请结合表中的某个统计量，为外贸公司选购鸡腿提供参
考建议；
（4）某外贸公司从甲厂采购了20000只鸡腿，并将质量（单位：g）在71≤x＜77的鸡腿加工成优等品，请估计可以加工成优等品的鸡腿有多少只？
【分析】（1）根据频数、频率、总数之间的关系可求出a的值，根据众数的意义可求出b 的值；
（2）求出乙厂鸡腿质量在74≤x＜77的频数，即可补全频数分布直方图；
（3）根据中位数、众数、平均数综合进行判断即可；
（4）求出甲厂鸡腿质量在71≤x＜77的鸡腿数量所占的百分比即可．
【解答】解：（1）2÷0.1＝20（个），a＝10÷20＝0.5，
甲厂鸡腿质量出现次数最多的是76g，因此众数是76，即b＝76，
故答案为：0.5，76；
（2）20﹣1﹣4﹣7＝8（个），补全频数分布直方图如下：
（3）两个厂的平均数相同，都是75g，而甲厂的中位数、众数都是76g，接近平均数且方差较小，数据的比较稳定，因此选择甲厂；
（4）20000×0.15＝3000（只），
答：从甲厂采购了20000只鸡腿中，可以加工成优等品的大约有3000只．
【点评】本题考查频数分布表、频数分布直方图，掌握频数、频率、总数之间的关系是解决问题的前提．
20．（8分）图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直．量得胳膊MN＝28cm，MB＝42cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3cm（即MP的长度），枪身BA＝8.5cm．
（1）求∠ABC的度数；
（2）测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3~5cm．在图2中，若测得∠BMN＝68.6°，小红与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？
并说明理由．（结果保留小数点后一位）
（参考数据：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，√2≈1.414）
【分析】(1)过点B作BH⊥MP,垂足为H,根据解直角三角形cos∠BMH=MH
BM
=16.8
42
=0.4,
即可计算出∠BMH的度数，再根据平行线的性质即可算出∠ABC的度数；
（2）根据（1）中的结论和已知条件可计算出∠NMI的度数，根据三角函数即可算出MI 的长度，再根据已知条件即可算出PK的长度，即可得出答案．
【解答】解：(1)过点B作BH⊥MP,垂足为H,过点M作MI⊥FG,垂足为I，过点P作PK ⊥DE,垂足为K,
∵MP＝25.3cm，BA＝HP＝8.5cm，
∴MH＝MP﹣HP＝25.3﹣8.5＝16.8(cm)，在Rt△BMH中，
cos∠BMH=MH
BM
=16.8
42
=0.4,
∴∠BMH＝66.4°，
∵AB∥MP,
∴∠BMH+∠ABC＝180°,
∴∠ABC＝180°﹣66.4°＝113.6°；
(2)∴∠ABC＝180°﹣∠BMH＝180°﹣66.4°＝113.6°．
∵∠BMN＝68.6°,∠BMH＝66.4°,
∴∠NMI＝180°﹣∠BMN﹣∠BMH＝180°﹣68.6°﹣66.4°＝45°,∵MN＝28cm，
∴cos45°=MI
MN
=MI28,
∴MI≈19.74cm，
∵KI＝50cm,
∴PK＝KI﹣MI﹣MP＝50﹣19.74﹣25.3＝4.96≈5.0(cm），
∴此时枪身端点A与小红额头的距离是在规定范围内．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法进行计算是解决本题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，点C作CE⊥AB于点E，连接
AC．
（1）求证：∠CAD＝∠ECB；
（2）若CE是⊙O的切线，∠CAD＝30°，连接OC，如图2．
①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；
̂围成阴影部分的面积．
②当AB＝2时，求AD，AC与CD
【分析】（1）先判断出∠CBE＝∠D,再用等角的余角相等，即可得出结论；
（2）①先判断出OC∥AB，再判断出BC∥OA，进而得出四边形ABCO是平行四边形，即可得出结论；
②先求出AC，BC，再用面积的和，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠CBE＝∠D，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠D+∠CAD＝90°，
∴∠CBE+∠CAD＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠CBE+∠BCE＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE；
(2)①四边形ABCO是菱形，理由：
∵∠CAD＝30°，
∴∠COD＝2∠CAD＝60°，∠D＝90°﹣∠CAD＝60°，
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
∴CE ⊥AB ， ∴OC ∥AB ，
∴∠DAB ＝∠COD ＝60°， 由（1）知，∠CBE +∠CAD ＝90°， ∴∠CBE ＝90°﹣∠CAD ＝60°＝∠DAB ， ∴BC ∥OA ，
∴四边形ABCO 是平行四边形， ∵OA ＝OC ， ∴▱ABCO 是菱形；
②由①知，四边形ABCO 是菱形， ∴OA ＝OC ＝AB ＝2， ∴AD ＝2OA ＝4， 由①知，∠COD ＝60°， 在Rt △ACD 中，∠CAD ＝30°， ∴CD ＝2，AC ＝2√3，
∴AD ，AC 与CD ̂围成阴影部分的面积为S △AOC +S 扇形COD =1
2S △ACD +S 扇形COD
=12×12×2×2√3+60π×2
2
360
=√3+2
3
π．
【点评】此题是圆的综合题，主要考查了同角的余角相等，切线的性质，菱形的判定，扇形的面积公式，判断出BC ∥OA 是解本题的关键．
22．（9分）二次函数y ＝x 2﹣2mx 的图象交x 轴于原点O 及点A ． 感知特例
（1）当m ＝1时，如图1，抛物线L ：y ＝x 2﹣2x 上的点B ，O ，C ，A ，D 分别关于点A 中心对称的点为B ′，O ′，C ′，A ′，D ′，如表： … B （﹣1，3） O （0，0） C （1，﹣1） A （ 2 ， 0 ）
D （3，3） … … B '（5，﹣3） O ′（4，0） C '（3，1）
A ′（2，0）
D '（1，﹣3）
…
①补全表格；
②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L'．
形成概念
我们发现形如（1）中的图象L'上的点和抛物线L上的点关于点A中心对称，则称L'是L 的“孔像抛物线”．例如，当m＝﹣2时，图2中的抛物线L'是抛物线L的“孔像抛物线”．
探究问题
（2）①当m＝﹣1时，若抛物线L与它的“孔像抛物线”L'的函数值都随着x的增大而减小，则x的取值范围为﹣3≤x≤﹣1；
②在同一平面直角坐标系中，当m取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数y＝x2﹣2mx的所有“孔像抛物线”L'都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是y ＝ax2（填“y＝ax2+bx+c”或“y＝ax2+bx”或“y＝ax2+c”或“y＝ax2”，其中abc≠0）；
③若二次函数y＝x2﹣2mx及它的“孔像抛物线”与直线y＝m有且只有三个交点，求m 的值．
【分析】（1）①根据中点公式即可求得答案；
②根据题意先描点，再用平滑的曲线从左到右依次连接即可；
（2）①当m＝﹣1时，抛物线L：y＝x2+2x＝(x+1)2﹣1，当x≤﹣1时，L的函数值随着x的增大而减小，抛物线L′：y＝﹣x2﹣6x﹣8＝﹣(x+3)2+1，当x≥﹣3时，L′的函数值随着x的增大而减小，找出公共部分即可；
②先观察图1和图2，可以看出随着m的变化，二次函数y＝x2﹣2mx的所有“孔像抛物
线”L'：y＝﹣(x﹣3m)2+m2，顶点坐标为N（3m，m2），顶点在抛物线y=1
9x
2上，根据这
条抛物线与二次函数y＝x2﹣2mx的所有“孔像抛物线”L'都有唯一交点，可知这条抛物线顶点为原点，即y＝ax2；
③观察图1和图2，可知直线y＝m与抛物线y＝x2﹣2mx及“孔像抛物线”L'有且只有三个交点，即直线y＝m经过抛物线L的顶点或经过抛物线L′的顶点或经过公共点A,分别建立方程求解即可．
【解答】解：（1）①∵B（﹣1，3）、B'（5，﹣3）关于点A中心对称，
∴点A为BB′的中点，
设点A(m，n)，
∴m=−1+5
2
=2，n=3−32=0，
故答案为：（2，0）；
②所画图象如图1所示，
（2）①当m＝﹣1时，抛物线L：y＝x2+2x＝(x+1)2﹣1，对称轴为直线x＝﹣1，开口向上，当x≤﹣1时，L的函数值随着x的增大而减小，
抛物线L′：y＝﹣x2﹣6x﹣8＝﹣(x+3)2+1，对称轴为直线x＝﹣3，开口向下，当x≥﹣3时，L′的函数值随着x的增大而减小，
∴当﹣3≤x≤﹣1时，抛物线L与它的“孔像抛物线”L'的函数值都随着x的增大而减小，故答案为：﹣3≤x≤﹣1；
②通过观察图1和图2，抛物线L：y＝x2﹣2mx的“孔像抛物线”L'：y＝﹣(x﹣3m)2+m2，顶点坐标为N（3m，m2），
顶点在抛物线y=1
9x
2上，
∴与二次函数y＝x2﹣2mx的所有“孔像抛物线”L'都有唯一交点的抛物线一定满足顶点在原点，开口向上；
∴这条抛物线的解析式为y＝ax2，
故答案为：y＝ax2；
③抛物线L：y＝x2﹣2mx＝(x﹣m)2﹣m2，顶点坐标为M（m，﹣m2），
其“孔像抛物线”L'为：y＝﹣(x﹣3m)2+m2，顶点坐标为N（3m，m2），
抛物线L与其“孔像抛物线”L'有一个公共点A(2m，0)，
∴二次函数y＝x2﹣2mx及它的“孔像抛物线”与直线y＝m有且只有三个交点时，有三种情况：
①直线y＝m经过M（m，﹣m2），
∴m＝﹣m2，
解得：m＝﹣1或m＝0（舍去），
②直线y＝m经过N（3m，m2），
∴m＝m2，
解得：m＝1或m＝0(舍去)，
③直线y＝m经过A(2m，0)，
∴m＝0，
但当m＝0时，y＝x2与y＝﹣x2只有一个交点，不符合题意，舍去，
综上所述，m＝±1．
【点评】本题是关于二次函数综合题，主要考查了二次函数图象和性质，中心对称性质及应用，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，新定义理解及应用等，解题关键是理解题意，运用数形结合思想和分类讨论思想、方程思想思考解决问题．
六、（本大题共12分）
23．（12分）课本再现
（1）在证明“三角形内角和定理”时，小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图1即可证明，其中与∠A相等的角是∠DCA′；
类比迁移
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC互余，小明发现四边形ABCD中这对互余的角可类比（1）中思路进行拼合：先作∠CDF＝∠ABC，再过点C作CE⊥DF于点E，连接AE，发现AD，DE，AE之间的数量关系是AD2+DE2＝AE2；
方法运用
（3）如图3，在四边形ABCD中，连接AC，∠BAC＝90°，点O是△ACD两边垂直平分线的交点，连接OA，∠OAC＝∠ABC．
①求证：∠ABC+∠ADC＝90°；
②连接BD ，如图4，已知AD ＝m ，DC ＝n ，
AB AC =2，求BD 的长（用含m ，n 的式子表
示）．
【分析】(1)根据图形的拼剪可得结论．
（2）利用勾股定理解决问题即可．
（3）①如图3中，连接OC ,作△ADC 的外接圆⊙O ．利用圆周角定理以及三角形内角和定理，即可解决问题．
②如图4中，在射线DC 的下方作∠CDT ＝∠ABC ,过点C 作CT ⊥DT 于T ．利用相似三角形的性质证明BD =√5AT ,求出AT ,可得结论．
【解答】（1）解：如图1中，由图形的拼剪可知，∠A ＝∠DCA ′,
故答案为：∠DCA ′．
（2）解：如图2中，
∵∠ADC +∠ABC ＝90°,∠CDE ＝∠ABC ,
∴∠ADE ＝∠ADC +∠CDE ＝90°,
∴AD 2+DE 2＝AE 2．
故答案为：AD 2+DE 2＝AE 2．
（3）①证明：如图3中，连接OC ,作△ADC 的外接圆⊙O ．
∵点O 是△ACD 两边垂直平分线的交点
∴点O 是△ADC 的外心，
∴∠AOC ＝2∠ADC ,
∵OA ＝OC ,
∴∠OAC ＝∠OCA ,
∵∠AOC +∠OAC +∠OCA ＝180°,∠OAC ＝∠ABC ,
∴2∠ADC +2∠ABC ＝180°,
∴∠ADC +∠ABC ＝90°．
②解：如图4中，在射线DC 的下方作∠CDT ＝∠ABC ,过点C 作CT ⊥DT 于T ．
∵∠CTD ＝∠CAB ＝90°,∠CDT ＝∠ABC ,
∴△CTD ∽△CAB ,
∴∠DCT ＝∠ACB ,
CD CB =CT CA , ∴CD CT =CB CA ,∠DCB ＝∠TCA
∴△DCB ∽△TCA ,
∴
BD AT =CB CA , ∵AB AC =2,
∴AC :BC :BC ＝CT :DT :CD ＝1:2:√5,
∴BD =√5AT ,
∵∠ADT＝∠ADC+∠CDT＝∠ADC+∠ABC＝90°,DT=2√5
5n,AD＝m,
∴AT=√AD2+DT2=m2+(2√5
5
n)2=√m2+45n2,
∴BD=√5m2+4n2．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了三角形的外心，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．。