2018-2019学年陕西省西安市长安区第一中学高二下学期寒假学情检测数学试题(理科实验班)Word版含解析

2018-2019学年陕西省西安市长安区第一中学高二下学期寒
假学情检测数学试卷
（理科实验）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．已知i 为虚数单位，若复数z 满足（1﹣i ）z =1+i ，则|z |=（ ）
A ．1
B ．
C ．
D ．2
2．cos10°sin70°﹣cos80°sin20°=（ ）
A ．
B ．
C ．﹣
D ．﹣
3．函数y =f （x ）为可导函数，“方程)(x f ' =0有解”是“可导函数)(x f y =有极值”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5.已知向量(1,)(3,2)a m a =-，
=，且()a b b ⊥+，则m =（ ） （A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8
6．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ﹣ABC 为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，PA =AB =2，AC =4，三棱锥P ﹣ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ） A ．8π
B ．12π
C ．20π
D ．24π
7．已知x 、y 满足
，则4x ﹣y 的最小值为（ ） A ．4
B ．6
C ．12
D ．16
8. 曲线)12ln(-=x y 上的点到直线082=+-y x 的最短距离是（ ）
A ．5
B ．52
C ．53
D ．0 9．设⎰
=
π
sin dx x a ，则6
1⎪⎭⎫
⎝
⎛+x x a 展开式的常数项为（ ）
A ．﹣20
B ．20
C ．﹣160
D ．240
10、函数1
1y x
=
-的图像与函数)42(sin 2≤≤-=x x y π的图像所有交点的横坐标之和等于（ ）
A ．2
B ． 4
C ． 6
D ．8
11．设A 、B 、P 是双曲线
（a ＞0，b ＞0）上不同的三个点，且A 、B 连线经过坐
标原点，若直线PA 、PB 的斜率之积为，则该双曲线的离心率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．定义在R 上的函数f （x ），)(x f '是其导函数，且满足f （x ）+)(x f '＞2，f （1）=2+
e
4，则不等式e x f （x ）＞4+2e x
的解集为（ ） A ．（﹣∞，1）
B ．（1，+∞）
C ．（﹣∞，2）
D ．（2，+∞）
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且当x ＞0时，f （x ）=2x ，则f （log 4）的值为 ．
14.
=+⎰
dx x
x 2
1
21
__________． 15．过点H （1，﹣1）作抛物线Γ：x 2=4y 的两条切线HA 、HB ，切点分别为A ，B ，则以线段AB 为直径的圆方程为 ．
16．在Rt △ABC 中，
A =，
AB =2，AC =2，线段EF 在斜边BC 上运动，且EF =1，设∠EAF =θ，
则tan θ的取值范围是 ．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（本小题满分12分）
在△ABC 中，已知a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 所对应的边长,且222
.b c a bc +-=
（Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）若222
sin sin sin A B C +=，试判断△ABC 的形状并求角B 的大小.
18．（12分）在多面体ABCDE 中，平面ABC ⊥平面BCE ，四边形ABED 为平行四边形，
AB =AC =BC =2，CE =1，BE =，O 为AC 的中点．
（1）求证：BO ⊥AE ；
（2）求平面ABC 与平面ACD 所成锐二面角的大小．
19．（12分）私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成如表：
年龄（岁） [15，25） [25，35） [35，45） [45，55） [55，65） [65，75] 频数 5 10 15 10 5 5 赞成人数
4
6
9
6
3
4
（Ⅰ）完成被调查人员的频率分布直方图；
（Ⅱ）若从年龄在[55，65），的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查，记选中的2人中赞成“车辆限行”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．
20．已知椭圆C ： 122
22=+b
y a x （a ＞b ＞0），其焦距为2，点P （1，）在椭圆C 上．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）是否存在与椭圆C 交于A ，B 两点的直线l ：y =mx +t （m ∈R ），使得•
=0成立？
若存在，求出实数t 的取值范围，若不存在，请说明理由．
21．（12分）已知函数g （x ）=ln x ，f （x ）=ag （x ）+x
a 1
+﹣2（a +1），（a ∈R ）． （1）求函数f （x ）的单调区间；
（2）将函数f （x ）解析式中的g （x ）改为g （x ）的反函数得函数h （x ），若x ＞0时，
h（x）≥0．求a的取值范围．
22．选修题（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）=，曲线C的参数方程为（θ为参数）．（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；
（2）曲线C交x轴于A、B两点，且点A的横坐标小于点B的横坐标，P为直线l上的动点，求
△PAB周长的最小值．
参考答案
一、选择题
1．A
【解析】由（1﹣i）z=1+i，
得=，
则|z|=1．
故选：A．
2．B
【解析】cos10°sin70°﹣cos80°sin20°=sin80°cos20°﹣cos80°sin20°
=sin（80°﹣20°）
=sin60°
=．
故选：B．
3．B
【解析】“函数y=f（x）有极值”⇒“方程f′（x）=0有解”，反之不成立．
∴“方程f′（x）=0有解”是“函数y=f（x）有极值”的必要不充分条件．
故选：B．
4．A
【解析】甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，
不同的送法有四种：甲送丙，乙送丙；甲送丙，乙送丁；甲送丁，乙送丙；甲送丁，乙送丁．甲、乙将贺年卡送给同一人的送法有两种：甲送丙，乙送丙；甲送丁，乙送丁．
∴甲、乙将贺年卡送给同一人的概率p=．
故选A．
5．C
【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，点M、N满足，，
∴根据图形可得：=+=，
==，
∴=，
∵=•（）=2﹣，
2
=22，
=22，
||=6，||=4，
∴=22=12﹣3=9
故选：C
6．C
【解析】∵三棱锥O﹣ABC底面ABC的顶点在半径为的球O表面上，且AB=，AC=，BC=2，
∴OA=OB=OC=AB=AC=，
∴OC2+OB2=BC2，AB2+AC2=BC2，∴∠BAC=∠BOC=90°，
取BC中点D，连结AD，OD，则AD⊥BC，OD⊥BC，
AD=OD===1，∴AD2+OD2=AO2，
∴OD⊥AD，∵BC∩AD=D，∴OD⊥平面ABC，
∴三棱锥O﹣ABC的体积为：
V O﹣ABC==
=．
故选：C．
7．B
8.B
9．D
【解析】令x=1则有1+a=2，得a=1，故二项式为（x+）（2x﹣）5
故其常数项为﹣22×C53+23C52=40．
故选：D．
10.D
11．A
【解析】根据双曲线的对称性可知A，B关于原点对称，
设A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），P（x，y），
则，
∴k PA•k PB==﹣=﹣，
∴该双曲线的离心率e==．
故选：A．
12．B
【解析】令g（x）=e x f（x）﹣2e x﹣4，g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣2e x =e x[f（x）+f′（x）﹣2]；
∵f（x）+f′（x）＞2；
∴g′（x）＞0；
∴g（x）在R上单调递增；
；
∴；
∴x＞1时，g（x）＞0；
∴原不等式的解集为（1，+∞）．
故选B．
二、填空题
13．3
【解析】∵f（x）是R上的偶函数，
∴f（﹣x）=f（x），
∵当x＞0时，f（x）=2x，
∴f （log 4）=f （log 49）=f （log 23）=3， 故答案为3． 14.2
ln 2
3
+
15．
【解析】设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
∵抛物线x 2
=4y ，∴y ′=x ，
∴过点A 的切线方程为y ﹣y 1=x 1（x ﹣x 1），即x 1x ﹣2y ﹣2y 1=0． H （1，﹣1）代入可得x 1﹣2y 1+2=0， 同理x 2﹣2y 2+2=0，
∴A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）都满足方程x ﹣2y +2=0，即为直线AB 的方程，
与抛物线Γ：x 2=4y 联立，可得x 2
﹣2x ﹣4=0，∴AB 的中点坐标为（1，），
|AB |==5
∴以线段AB 为直径的圆方程为，
故答案为．
16． [
，
]
【解析】如图建立直角坐标系，设BF =k ，k ∈[0，3]．
∴∠B =60°，∴F （2﹣，
），E （
，）．
∴tan ∠EAB =
，tan ∠FAB =
，．
tan θ=tan （∠EAB ﹣∠FAB ）=；
∵k ∈[0，3]．∴，tan θ的取值范围是[]
故答案为[]．
三、解答题
17．解：（Ⅰ）在△ABC 中，由余弦定理得：222
2cos a b c bc A =+-
222
cos 2b c a A bc +-∴=
，………………………………………………………2分
又∵222
.b c a bc +-=
1
c o s ,
2A ∴=
………………………………………………………5分
∵
0A π<< ∴
3A π
=
…………6分
（Ⅱ）∵222sin sin sin A B C +=，由正弦定理得
222
22
2444a b c R R R +=…………8分 即: 222
a b c += 故△ABC 是以角C 为直角的直角三角形……………10分
又,3
6
A B π
π
=
∴=
…………………………………………………………12分
18．证明：（1）∵AB =AC =BC =2， 又O 为AC 中点，∴BO ⊥AC
又
，∴BC 2+CE 2=BE 2
，∴BC ⊥CE
又∵平面ABC ⊥平面BCE ，且平面ABC ∩平面BCE =BC ，∴CE ⊥平面ABC
∴CE ⊥BO ，又CE ∩AC =C ，∴BO ⊥平面ACE ∵AE ⊂平面ACE ，∴BO ⊥AE ．
（2）以C 为原点，CB 为x 轴，CE 为y 轴，建立空间直角坐标系
C
﹣
xyz
，
则
∵
由（1
）知，
是平面ABC 的平面角， 设平面ACD
的法向量为
=（x ，y ，z ），
，
∴，取x =1
，得
设平面ABC 与平面ACD 所成锐二面角为θ，
则
∴，∴平面ABC与平面ACD所成锐二面角的大小为．
19．解：（Ⅰ）由已知得各组的频率分别是：
0.1，0.2，0.3，0.2，0.1，0.1，
∴图中各组的纵坐标分别是：
0.01，0.02，0.03，0.02，0.01，0.01，
由此能作出被调查人员的频率分布直方图，如右图：
（Ⅱ）由表知年龄在[55，65）内的有5人，
不赞成的有2人，因此X=0，1，2．
则P（X=k）=，可得P（X=0）=，P（X=1）
=，P（X=0）=．
可得X的分布列：
X0 1 2
P
E（X）=0+=．
20．解：（1）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，且过点，
∴
设△PF1F2内切圆的半径为r，点P的坐标为（x0，y0），
则△PF1F2重心G的坐标为，
∵IG∥F1F2，∴|y0|=3r．
由△PF1F2面积可得）r=，
即a=2c，，
则解得，
即所求的椭圆方程为则椭圆方程为
（2）设M（x1，y1），A（x2，y2），B（x3，y3）则切线MA，MB的方程分别为，
．
∵点M在两条切线上，
∴，，
故直线AB的方程为．
又∵点M为直线x﹣y=4上，
∴y1=x1﹣4
即直线AB的方程可化为，整理得（3x+4y）x1=16y+12，
由解得，
因此，直线AB过定点．
21．解：（1）∵g（x）=ln x，
∴f（x）=ag（x）+﹣2（a+1）=a ln x+﹣2（a+1），（a∈R）；
∴f（x）定义域为（0，+∞），
且；
①当﹣1≤a≤0时，f'（x）＜0，即f（x）的单调减区间为（0，+∞）；
②当a＞0时，f（x）的单调增区间为，
单调减区间为；
③当a＜﹣1时，f（x）的单调增区间为，
单调减区间为；
（2）由题意得，
∵x＞0时，h（x）≥0，∴h（1）≥0，
则a（e﹣1）≥1，即；
则由，得，
即，x∈（0，+∞）；
设，
则；
令u'（x）=0，解得x=1或x=﹣∉（0，+∞）舍去；
u'（x）＜0时，x∈（0，1）；u′（x）＞0 时，x∈（1，+∞）；
∴[u（x）]min=u（1）=，
∴≥，解得a≥；
故a的取值范围是[，+∞）．
四、选修题
22．解：（1）∵直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）=，
∴由直线l的极坐标方程，得=，即ρcosθ﹣ρsinθ=1，
∴直线l的直角坐标方程为x﹣y=1，即x﹣y﹣1=0，
∵曲线C的参数方程为（θ为参数），
∴由曲线C的参数方程得C的普通方程为：（x﹣5）2+y2=1．
（2）由（1）知曲线C表示圆心（5，0），半径r=1的圆，
令y=0，得x=4或x=6．
∴A点坐标为（4，0），B点坐标为（6，0）．
作A关于直线l的对称点A1得A1（1，3）．
由题设知当P为A1B与l的交点时，△PAB的周长最小，
∴△PAB周长的最小值为：|AP|+|PB|+|AB|=|A1B|+|AB|=．。