广东省高州四中高三数学12月月考试题 理 新人教A版

2013-2014学年度高三级质量监测12月份理数试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）．
1.已知集合
{}
|01
A x x
=<<
，
1
|
2
B
x x
⎧⎫
=≥
⎨⎬
⎩⎭，则A B=
U（）
A.
{}
|01
x x
<<
B.
{}
|1
x x>
C.
1
|
2
x x
⎧⎫
>
⎨⎬
⎩⎭ D.
{}
|0
x x>
2. 设1
z i
=-（i是虚数单位），则
2
z
z
+=
（）
A. 2
B. 2i-
C. 22i
+ D. 2i+
3. 对于空间的两条直线m、n和一个平面α，下列命题中的真命题是 ( )
A、若m//a ，n//a ，则m//n
B、若m//a ，n//a ，则m//n CD
4. 设变量
,x y满足约束条件
3
1
23
x y
x y
x y
+≥
⎧
⎪
-≥-
⎨
⎪-≤
⎩，则目标函数23
z x y
=+的最小值为（）
A. 6
B. 7
C. 8
D. 23
5. 定义两种运算：
2
2b
a
b
a-
=
⊕，2)
(b
a
b
a-
=
⊗
，则
()
()
2
22
x
f x
x
⊕
=
-⊗
是（）函数．
A．偶函数 B．奇函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
6．设向量a
r
与b
r
的模分别为6和5，夹角为120°，则||
a b
+
r r
等于
A．
2
3 B．
2
3
-
C91 D31
7. 已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图中半圆的直径为2，
则该几何体的体积为（）
A.
24
3
π
-
B.
24
2
π
-
C.
3
24
2
π
-
D. 24π
-
8.若函数
22
()(1)(5)
f x x x ax
=-+-的图像关于直线0
x=对称，则
()
f x的最大值是
A.4-
B.4
C.4或4-
D.不存在
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9. 给出如下四个命题：①若“
p且q”为假命题，则p、q均为假命题；
②命题“若2
x≥且3
y≥，则5
x y
+≥”的否命题为“若2
x<且3
y<，则5
x y
+<”；
③在ABC ∆中，“45A >o
”是“2
sin 2A >
”的充要条件。

④命题 “00,0
x x R e ∃∈≤”是真命题. 其中正确的命题的个数是
10. 计算
= . [来源:
11．已知曲线42
1y x ax =++在点()12a -+，处切线的斜率为8,则=a 12. 已知函数
2
()1,f x x mx =++若命题“000,()0x f x ∃><”为真，则m 的取值范围是________.
13. 有一个奇数列1, 3, 5, 7, 9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{}1，第二组
含两个数
{}3,5，第三组含三个数{}7,9,11，第四组含四个数{}13,15,17,19，…，现观察
猜想每组内各数之和为
n
a 与其组的编号数n 的关系为 .
14.已知点(a ，b)不在直线x ＋y －2＝0的下方，则2a ＋2b 的最小值为________．
三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程） 15.（12分）已知函数231()sin 2cos 2f x x x =
--，x R ∈． （Ⅰ）求函数
()f x 的最小值和最
小正周期；
（Ⅱ）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，满足3c =，()0f C =且
sin 2sin B A =，求a 、b 的值.
16、（13分）已知等比数列{
}单调递增，
（I ）求 （II ）若求n 的最小值。

17.（13分）如图，在三棱锥A BCD -中，90ABC BCD CDA ∠=∠=∠=︒， 63AC = 6BC CD ==，设顶点在底面BCD 上的射影为．
（Ⅰ）求证: CE BD ⊥；
（Ⅱ）设点G 在棱AC 上，且2CG GA =，试求二面角C EG D --的余弦值．
18.( 14分)已知(,)P x y 为函数1ln y x =+图像上一点，O 为坐标原点，记直线OP 的斜率()k f x =．
E A
B
A
C
D
E
G
若函数()f x 在区间1,(0)3m m m ⎛
⎫+> ⎪⎝⎭上存在极值，求实数m 的取值范围；
当1x ≥时，不等式
()1t
f x x ≥
+恒成立，求实数t 的取值范围.
19.（14分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S 1
4与2(1)n a +的等比中项.
（1）求证：数列{}
n a 是等差数列； （2）若
11
b a =，且
123
n n b b -=+，求数列
{}
n b 的
通项公式；
（3）在（Ⅱ）的条件下，若
3n
n n a c b =
+，求数列{}n c 的前n 项和n T .
20. （本小题满分14分）已知函数2
()2f x x =，()ln (0)g x a x a =>.
（1）若直线l 交()f x 的图像C 于,A B 两点，与l 平行的另一条直线1l
切图像于M ，
求证：,,A M B 三点的横坐标成等差数列； （2）若不等式()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围；
（3）求证：
4444
44ln 2ln 3ln 2
23n n e ++⋅⋅⋅+<（其中e 为无理数，约为2.71828）. 2013-2014学年度高三级质量监测
12月份 理数 答题卷
16（13分）
17. （13分）18．(14分)
19.（14分）
20．（14分）
…
…
…
…
…
…
…
密
…
…
…
…
…
…
封
…
…
…
…
…
2013-2014学年度高三级质量监测12月份理数答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）．1—5： D C D B A 6—8：A C B
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9. 0 ； 10. 2e；km11．-6； 12.（—∞，-2）； 13.
3
n
a n
=
； 14. 4
三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程）
15. （12
分）解（Ⅰ）
1cos21
()2sin(2)1
226
x
f x x x
π
+
=--=--
， (3)
分
则
()
f x的最小值是2-，最小正周期是
2
2
T
π
π
==
；…………6分
（Ⅱ）
()sin(2)10
6
f C C
π
=--=
，则
sin(2)10
6
C
π
--=
，…………7分
0C π<<,022C π<<,所以1126
6
6
C π
π
π
-
<-
<
，
所以
26
2C π
π
-
=
，
3C π
=
，………… 9分
因为sin 2sin B A =，所以由正弦定理得2b a =，……①…………10分
由余弦定理得
2222cos
3c a b ab π
=+-，即2223c a b ab =+-=……②…………11分
由①②解得：1a =，2b =．…………12分
16（本题13分）
17. （本小题满分13分）证明：（Ⅰ）方法一：由平面，得，
又，则平面，
故，………………………………………… 3分
同理可得，则为矩形， 又
，则
为正方形，故
．………………… 6分
方法二：由已知可得，设为的中点，则
，则平面，故平面平面，则顶点在底面上的射影必在，故．
（Ⅱ）方法一:由（I ）的证明过程知平面，过作，垂足为，则易证得，故即为二面角的平面角，………………………… 9分
由已知可得，则，故，则，又，则，…………………………………… 11分
故，即二面角的余弦值为…13分
方法二: 由（I ）的证明过程知为正方形，如图建立坐标系，
则
(0,0,0)
E，(0,6,0)
F(0,0,6)
A，(6,0,0)
B(6,6,0)
C，可得(2,2,4)
G， (9)
分
则
(0,6,0)
ED=
uu u r
，
(2,2,4)
EG=
uu u r
，易知平面的一个法向量为
(6,6,0)
BD=-
u u u r
，设平
面的一个法向量为
()
,,1
x y
=
n
，则由
ED
EG
⎧⋅=
⎪
⎨
⋅=
⎪⎩
n
n
uu u r
uu u r
得
()
2,0,1
=-
n
………………………11分
则
10
cos,
5
BD
BD
BD
⋅
<>==
⋅
n
n
n
uu u r
uu u r
uu u r
，即二面角的余弦值为
10
5．…… 13分
18．(本题满分14分)解：（1）由题意
()1ln x
k f x
x
+
==
，0
x>……………2分
所以
()
2
1ln ln
x x
f x
x x
'
+
⎛⎫
'==-
⎪
⎝⎭………………4分
B
A
C
D
E
G
当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0
f x '<．
所以()
f x 在
()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，
故
()
f x 在1x =处取得极大值． ………………5分
因为函数()f x 在区间
1,3m m ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭（其中0m >）上存在极值， 所以01
113m m <<⎧⎪
⎨+>⎪⎩，得213m <<．即实数m 的取值范围是213⎛⎫ ⎪⎝⎭，． ……………7分
（2）由
()1t
f x x ≥
+得()()11ln x x t x ++≤
，……………8分
令
()()()
11ln x x g x x
++=
，则
()2ln x x
g x x -'=
．……………10分
令()ln h x x x =-，则
()11
1=x h x x x -'=-，……………………11分 因为1,x ≥所以()0
h x '≥,故
()
h x 在
[)1+∞，上单调递增．
所以
()()110
h x h ≥=>,从而
()0
g x '>……………………12分
()
g x 在
[)1+∞，上单调递增, ()()12g x g ≥=
所以实数t 的取值范围是
(],2-∞． …………………………………………14分
19.（14分）解：
（Ⅰ）221(1)4n a =+即2
1
(1)4n n S a =+------1分 当1n =时，2
111
(1)4a a =+，∴11a =------2分 当2n ≥时，2
111
(1)4n n S a --=+
∴22
1111(22)
4n n n n n n n a S S a a a a ---=-=-+-------3分
即
11()(2)0
n n n n a a a a --+--=------4分
∵0n a > ∴ 12n n a a --=
∴数列{}n a 是等差数列------5分
（Ⅱ）由123n n b b -=+得132(3)n n b b -+=+------7分
∴数列{3}n b +是以2为公比的等比数列
∴ 1
11
113(3)2(3)22n n n n b b a --++=+=+=
∴ 1
23n n b +=- ------9分 （Ⅲ）1
21
32n n n n a n c b +-
=
=+ ------10分
∴23411
35212222n n n T +-=++++L ① 两边同乘以12得3452113521
22222n n n T +-=++++L ②
①-②得23451211222221
2222222n n n n T ++-=+++++-L
234111
1
111121
2222222n n n n T -+-=++++++-L
1111
121323
(1)22222n n n n n -++-+=+--=- ------14分
20．（14分）解：（Ⅰ）设切点M 的横坐标为0x ,,A B 点的横坐标分别为12,x x ；
因为()4'f x x =，所以104l l k k x ==；令AB 方程为04y x x b =+
2
024y x y x x b ⎧=⎨=+⎩消去y 得20240x x x b --=，当201680x b =+>V 时
1202x x x +=，所以B M A ,,三点的横坐标成等差数列. ……………4分
（Ⅱ）令x a x x g x f x F ln 2)()()(2-=-=，x a
x x F -=4)('，
令0'()F x =，得2a x =，所以()f x
的减区间为0⎛ ⎝⎭
，增区间为
⎫+∞⎪⎪⎝⎭，()F x 极小值=2ln 2)(min a a a x F -=，只要02ln 2≥-a a a 即可，
得e a 4≤且0a >，即](04,a e ∈. ……………10分
（Ⅲ） 由（Ⅱ）得x e x ln 422≥，即242ln 4ex x
x ≤，所以 e n n e n e n n 2))1(1321211(2)13121(2ln 33ln 22ln 2
22444444<-++⨯+⨯<+++≤+++ΛΛΛ
……………14分。