2024届山东省济南市济钢高级中学高一上数学期末学业水平测试模拟试题含解析

2024届山东省济南市济钢高级中学高一上数学期末学业水平测试模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．已知集合{}{}
|1,|21x
M x x N x =<=>，则M N ⋂=
A.∅
B.{}|01x x <<
C.{}|0x x <
D.{}|1x x <
2．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()I t （t 的单位：天）的Logistic 模型：()()
0.23521t K I t e
--=+其中K 为最大确诊病例数．当()*
0.95I t
K =时，
标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（）()ln193≈ A.60 B.65 C.66
D.69
3．如果两个函数的图象经过平移后能够重合，则称这两个函数为“互为生成”函数，给出下列函数：()sin f x x =①；
()
sin cos f x x x =-②；()2cos 12f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭③；()22cos 2x f x x =-④，其中“互为生成”函数的是( )
A.①②
B.①④
C.②③
D.③④
4．已知条件:240p x ->，条件2
:560q x x -+<，则p 是q 的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
5．甲乙两名同学6次考试的成绩统计如右图，甲乙两组数据的平均数分别为12,m m ，标准差分别为12,n n 则
A.1212,m m n n <<
B.1212,m m n n <>
C.1212,
m m n n ><
D.1212,
m m n n >>
6．已知函数()2sin(2)(0)2f x x π
φφ=+<<，若()()124f f ππ=，且当[,]6
x π
θ∈-时()[1,2]f x ∈-，则θ的取值范围是 A.{}6
π
B.[
,]62
ππ
C.5[
,
]26ππ
D.(,]62
ππ-
7．下列区间中，函数f （x ）=|ln （2-x ）|在其上为增函数的是（ ） A.(],1∞-
B.41,3
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
C.30,
2⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
D.[)1,2
8．已知全集U R =，则正确表示集合{-1,0,1}A =和2
{x|}B x x ==关系的韦恩图是
A. B.
C. D.
9cos 251sin 40
︒
︒
︒
=-
A.1
B.3
C.2
D.2
10．下表是某次测量中两个变量,x y 的一组数据,若将y 表示为关于x 的函数,则最可能的函数模型是
x
2 3 4 5 6 7 8 9 y
0.63
1.01
1.26
1.46
1.63
1.77
1.89
1.99
A.一次函数模型
B.二次函数模型
C.指数函数模型
D.对数函数模型
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．已知集合{||1|3}A x x =-<，1|
05x B x x -⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭
，则A B =________________.（结果用区间表示） 12．奇函数
是定义在
上的减函数，若
，则实数的取值范围是_______
13．实数x ，y 满足lg 8x x +=，108y
y +=，则x y +=__________
14．若sinα＜0 且tanα＞0，则α是第___________象限角 15．已知a ，0b >，21a b +=，则
11
a b
+的最小值___________. 16．若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；对于集合1,2A ，{}2|2,0B x ax a ==≥，
若这两个集合构成“鲸吞”，则a 的取值为____________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．某化工企业致力于改良工艺，想使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为3
0mg /m r ，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为3
1mg /m r ，第n 次改良工艺后所排放
的废气中含有的污染物数量为3
mg /m n r ，则可建立函数模型()()0.5001=5
R,N*n P
n r r r r P n +--⋅∈∈，其中n 是指改
良工艺的次数.已知02r =，1 1.94r =（参考数据：lg 20.3≈）. （1）试求该函数模型的解析式；
（2）若该地环保部门要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过3
0.08mg /m ，试问至少进行多少次改良工艺才能使该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标？
18．已知cos()cos()
2()sin(2)
f π
πθθθπθ+⋅-=
-
（1）若1
()3
f θ=
，求cos2θ的值； （2）若1
()63f πθ-=，且263
θππ<<，求sin θ的值
19．如图，在三棱锥V ABC -中，平面VAB ⊥平面,ABC VAB ∆为等边三角形，AC BC ⊥且2,,AC BC O M
==分别为,AB VA 的中点
（1）求证：//VB 平面MOC ； （2）求证：平面MOC ⊥平面VAB ；
20．如图，ABCD 是正方形，直线PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC 的中点.
（1）证明：直线//PA 平面EDB ；
（2）求直线PB 与平面ABCD 所成角的正切值.
21．已知函数1
2,021
()23,012
x x x e f x x e ⎧-≥⎪⎪+=⎨⎪-<⎪+⎩
（1）求函数()f x 的零点；
（2）若实数t 满足221
(log )(log )2(2)f t f f t
+≤，求t 的取值范围.
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、B
【解题分析】由题意{}
0N x x =，所以{|01}M N x x ⋂=<<．故选B 考点：集合的运算 2、B
【解题分析】由已知可得方程
()
0.23520.951t K K e
--=+，解出t 即可
【题目详解】解：由已知可得
()
0.23520.951t K K e --=+，解得()
52
0.23119
t e
--=
， 两边取对数有()0.2352ln193t --=-≈-， 解得65t ≈. 故选：B 3、D
【解题分析】根据“互为生成”函数的定义，利用三角恒等变换化简函数的解析式，再结合函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论
【题目详解】∵()sin f x x =①；()sin cos 4f x x x x ②π⎛
⎫=-=
- ⎪⎝
⎭；
()72cos 2sin 2sin 1212212f x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫
=+=++=+
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
③； ()
2
1cos 2cos 22sin 1226x x f x x x x π+⎛
⎫=-=-⋅=-- ⎪⎝⎭④， 故把③中的函数72sin 12
y x π⎛⎫
=+
⎪
⎝
⎭
的图象向右平移93124ππ=后再向下平移1个单位，可得④中的函数2sin 16x π⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭图象，故③④为“互为生成”函数，故选D
【题目点拨】本题主要主要考查新定义，三角恒等变换，函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于中档题 4、B
【解题分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断 【题目详解】由240x ，得2x >，即:2p x >，
由2560x x -+<，得23x <<，即:2
3q x
2x >推不出23x <<，但23x <<能推出2x >，
∴p 是q 的必要不充分条件. 故选：B 5、C
【解题分析】利用甲、乙两名同学6次考试的成绩统计直接求解 【题目详解】由甲乙两名同学6次考试的成绩统计图知： 甲组数据靠上，乙组数据靠下，
甲组数据相对集中，乙组数据相对分散分散布，
由甲乙两组数据的平均数分别为12,m m ，标准差分别为12,n n 得12m m >，12n n < 故选C
【题目点拨】本题考查命题真假的判断，考查平均数、的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 6、B
【解题分析】首先确定函数的解析式，然后确定θ的取值范围即可. 【题目详解】由题意可知函数关于直线6
x π
=对称，
则()26
2
k k Z π
π
ϕπ⨯
+=+
∈，据此可得()6
k k Z π
ϕπ=+∈，
由于02
π
φ<<
，故令0k =可得6π=
ϕ，函数的解析式为()2sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
则16f π⎛⎫
-
=- ⎪⎝⎭
，结合三角函数的性质，考查临界情况： 当26
2
x π
π
+
=
时，6
x π
=
；当726
6
x π
π+
=
时，2x π
=；
则θ的取值范围是,62ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
. 本题选择B 选项.
【题目点拨】本题主要考查三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 7、D
【解题分析】函数定义域为(,2);-∞当1x <时，()ln(2)f x x =-是减函数；当12x ≤<时，()ln(2)f x x =--是增
函数；故选D 8、B
【解题分析】∵集合{
}
2
B x x x == ∴集合{}0,1B = ∵集合{}1,0,1A =- ∴B A ⊆ 故选B 9、C
【解题分析】根据二倍角公式以及两角差的余弦公式进行化简即可.
【题目详解】原式22cos 20sin 20cos 25(cos 20sin 20)
︒-︒
=︒︒-︒
022
2
cos 20sin 20cos 20sin 202cos -2522=
=cos 25cos 25cos 25︒+︒︒+︒
︒=
︒
︒︒
（）（45） 2cos 25=
2cos 25︒
=︒
.
故选C.
【题目点拨】这个题目考查了二倍角公式的应用，涉及两角差的余弦公式以及特殊角的三角函数值的应用属于基础题. 10、D
【解题分析】对于A ，由于x 均匀增加1，而y 值不是均匀递增，∴不是一次函数模型；对于B ，由于该函数是单调递增，不是二次函数模型；对于C ，x
y a =过()0,1,∴不是指数函数模型，故选D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、(1,4)
【解题分析】先求出集合A ，B ，再根据交集的定义即可求出. 【题目详解】
{}
{}1324A x x x x =-<=-<<，{}1|
0155x B x x x x -⎧⎫
=<=<<⎨⎬-⎩⎭
， {}()141,4A B x x ∴⋂=<<=.
故答案为：(1,4). 12、
【解题分析】利用函数的奇偶性、单调性去掉不等式中的符号“”，可转化为具体不等式，注意函数定义域 【题目详解】解：由得，
又
为奇函数，得
，
，
又
是定义在
，上的减函数，
解得：
即
故答案为：
【题目点拨】本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，考查转化思想，解决本题的关键是利用性质去掉符号“” 13、8
【解题分析】因为lg 8x x +=，108y
y +=，所以lg 8x x =-，108y
y =-，因此由84y x
x y y x =-⎧⇒==⎨=⎩
，即两交点关于(4,4)对称,所以x y +=8
点睛：利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合的思想求解. 14、第三象限角
【解题分析】当sinα＜0，可知α是第三或第四象限角，又ta nα＞0， 可知α是第一或第三象限角，所以当sinα＜0 且tanα＞0， 则α是第三象限角
考点：三角函数值的象限符号. 15、322+【解题分析】利用“1”的变形，结合基本不等式，求
11
a b
+的最小值. 【题目详解】
()1111222332322b a b a
a b a b a b a b a b
⎛⎫+=++=++≥+⋅=+ ⎪⎝⎭ 当且仅当
2b a
a b
=时，即2a b =等号成立，
21
2a b a b +=⎧⎪⎨
=⎪⎩
，解得：21a =-，2
12
b ， 所以
11
a b
+的最小值是322+. 故答案为：322+ 16、0
【解题分析】根据题中定义，结合子集的定义进行求解即可. 【题目详解】当0a =时，B =∅，显然B A ⊆，符合题意；
当0a ≠时，显然集合B 中元素是两个互为相反数的实数，而集合A 中的两个元素不互为相反数，所以集合B 、A 之间不存在子集关系，不符合题意， 故答案为：0
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）()0.50.5
=20.065N*n n r n --⋅∈；
（2）6.
【解题分析】（1）将02r =，1 1.94r =代入函数模型解解得答案； （2）结合题意，解出指数不等式即可. 【小问1详解】
根据题意，()0.51.94=22 1.9450.5P
P +--⋅⇒=-，所以该函数模型的解析式为
.
【小问2详解】
由（1），令()0.50.5
0.50.510lg 2
=20.0655320.50.5lg55lg 20.018lg5
n n n r n n ---⋅≤≥⇒-≥⇒≥
+⇒， 则100.3100.3
1,1 5.30.70.7
n ⨯⨯≥
++≈，而*n ∈N ，则6n ≥. 综上：至少进行6次改良工艺才能使该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标. 18、（1）7
9
-
（2）
261
6
【解题分析】（1）利用诱导公式化简可得()cos f θθ=，然后利用二倍角公式求解即可；
（2）由条件可得1
cos 63πθ⎛⎫-
= ⎪⎝
⎭
，sin 6πθ⎛⎫-= ⎪⎝
⎭，然后根据sin sin sin cos cos sin 666666ππππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭求解即可.
【小问1详解】
cos()cos()
cos sin 2()cos sin(2)sin f π
πθθθθθθπθθ
+⋅--===--
因为1()cos 3f θθ==，所以2
7cos 22cos 19
θθ=-=- 【小问2详解】 因为1()cos 663f π
πθθ⎛
⎫-
=-= ⎪⎝
⎭，263θππ<< 所以06
2π
θπ<-
<
，sin 63πθ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭
所以111sin sin sin cos cos sin 6
6666632326ππππππθθθθ⎛⎫
⎛⎫⎛
⎫=-
+
=-+-=
+⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
19、（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解题分析】（1）因为,O M 分别为,AB VA 的中点，所以//OM VA ，由线面平行的判定定理，即可得到//VB 平面MOC ； （2）因为,AC BC O =为AB 的中点，得到OC AB ⊥，利用面面垂直的性质定理可证得OC ⊥平面VAB ，由面面垂直的判定定理，即可得到平面MOC ⊥平面VAB
【题目详解】（1）因为O 、M 分别为AB 、VA 的中点，所以//OM VB . 又因为VB ⊄平面MOC ，所以//VB 平面MOC ； （2）因为AC BC =，O 为AB 的中点，所以OC AB ⊥ ，又因为平面VAB ⊥平面ABC ，平面VAB 平面ABC AB =，且OC ⊂平面ABC ，
所以OC ⊥平面VAB ，
OC ⊂平面MOC ，∴平面MOC ⊥平面VAB .
【题目点拨】本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直 20、（1）证明见解析；（2
）
2
；
【解题分析】（1）连接AC ，由三角形中位线可证得//EO PA ，根据线面平行判定定理可证得结论；
（2）根据线面角定义可知所求角为PBD ∠，且tan PD PBD BD ∠=
，由长度关系可求得结果. 【题目详解】（1）连接AC ，交BD 于O ，连接EO
四边形ABCD 为正方形 O ∴为AC 中点，又E 为PC 中点 //EO PA ∴
EO ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE //PA ∴平面BDE
（2）PD ⊥平面ABCD ∴直线PB 与平面ABCD 所成角即为PBD ∠
PD BD ⊥ tan PD PBD BD ∴∠=
设PD DC a ==，则222BD a a a =+= 2tan 22PBD a
∴∠== 【题目点拨】本题考查立体几何中线面平行关系的证明、直线与平面所成角的求解；证明线面平行关系常采用两种方法：（1）在平面中找到所证直线的平行线；（2）利用面面平行的性质证得线面平行.
21、（1）零点为ln3±；（2）144
t ≤≤. 【解题分析】（1）分类讨论，函数对应方程根的个数，综合讨论结果，可得答案； （2）分析函数的奇偶性和单调性，进而可将不等式化为2|log |2t ≤，解得t 的取值范围
【题目详解】（1）000ln 312()0302+1
x x x x x x f x e e ≥⎧≥≥⎧⎧⎪⇒⇒⇒=⎨⎨⎨==-=⎩⎩⎪⎩， 或000ln 3231()00+123x x x x x x f x e e -<<⎧⎧<⎧⎪⎪⇒⇒⇒=-⎨⎨⎨=-==⎩⎪⎪⎩⎩
， 函数()f x 的零点为ln3±； （2）当0x >时，0x -<，
此时231222()()20122111
x x x x x e f x f x e e e e ---=--+=+-=++++， 当0x <时，0x ->，
同理，()()0f x f x --=，
故函数()f x 为偶函数，
又0x 时，12()21
x f x e =-+为增函数， 221(log )(log )2f t f f t
∴+≤（2）时，22(log )2f t f ≤（2）， 即2|log |2t ≤，
22log 2t -≤≤，
144
t ∴≤≤， 综上所述，t 的取值范围是144
t ≤≤. 【题目点拨】关键点点睛：（1）函数的零点即相应方程的根；
（2）处理抽象不等式要充分利用函数的单调性与奇偶性去掉绝对值，转化为具体的不等式.。