现代控制理论 6-4 应用李雅普诺夫方法分析线性定常系统稳定性

9
线性定常离散系统 x(k + 1) = Φx(k ) x(0 ) = x 0
Φ ≠ 0 原点是唯一的平衡状态。
选取正定二次型函数为李雅普诺夫函数：
c
V (x(k )) = xT (k )Px(k )
e a e a
令 Φ T PΦ − P = −Q
ΔV (x(k )) = − xT (k )Qx(k )
e a
1 0⎤ −2 1 ⎥ ⎥ 0 − 1⎥ ⎦
⎡ x1 ⎤ ⎢x ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎣ ⎦
⎡0 0 0 ⎤ Q = ⎢0 0 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢0 0 1 ⎥ ⎦ ⎣
A T P + PA = −Q
t
y c
7
c
⎡0 0 − k ⎤ ⎡ p11 p12 p13 ⎤ ⎥ ⎢1 − 2 0 ⎥ ⎢ p ⎥ ⎢ 12 p22 p23 ⎥ + ⎢ ⎢0 1 − 1 ⎥ ⎢ p13 p23 p33 ⎥ ⎦ ⎦⎣ ⎣ 1 0 ⎤ ⎡0 0 0 ⎤ ⎡ p11 p12 p13 ⎤ ⎡ 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎢p ⎢ 12 p22 p23 ⎥ ⎢ 0 − 2 1 ⎥ = ⎢0 0 0 ⎥ ⎢ p13 p23 p33 ⎥ ⎢− k 0 − 1⎥ ⎢0 0 − 1⎥ ⎦ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎣
e a e a
A T P + PA = −Q
⎧ p13 = 0 ⎪ ⇒ ⎨ p11 − 2 p12 − kp23 = 0 ⎪ p − p − kp = 0 13 33 ⎩ 12
(1) (2) (3)
⎧ 2( p12 − 2 p22 ) = 0 ⎪ ⎨ p13 − 3 p23 + p22 = 0 ⎪2( p − p ) = −1 33 ⎩ 23
T T = [Φx(k )] P[Φx(k )] − x (k )Px (k )
= xT (k )ΦT PΦ x(k ) − xT (k )Px (k )
= xT (k ) ΦT PΦ − P x(k )
令 Φ T PΦ − P = −Q
)
ΔV (x(k )) = − xT (k )Qx(k )
t
y c
& m&& = −kx − μx x
1 选取 x = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ & ⎣ x2 ⎦ ⎣ x ⎦
返回
⎡x ⎤
⎡ x⎤
c
m
& ⎧ x1 = x2 ⎪ 状态方程 ⎨ k μ & x2 = − x1 − x2 ⎪ m m ⎩
解法一：选取 Q = I
⎡ p11 设 P=⎢ ⎣ p12 p12 ⎤ p22 ⎥ ⎦
4
c
e a
det(P)
MATLAB 相关函数 MATLAB 相关函数
& ⎡ x1 ⎤ ⎡ 0 1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎢ x ⎥ = ⎢− 1 − 1⎥ ⎢ x ⎥ ⎦⎣ 2 ⎦ ⎣ &2 ⎦ ⎣
Q=I
A = [0 1; -1 -1]'; Q = eye(2); P = lyap(A, Q) P(1,1)
线性定常离散系统渐近稳定
⇔
给定 P >0，存在 Q >0，满足 Φ T PΦ − P = −Q
t
y c
线性定常离散系统渐近稳定
⇔
T 给定 P >0，存在 Q >0，满足 Φ PΦ − P = −Q
判别步骤：
选取 Q 为正定实对称矩阵（对角阵或单位阵）； 求解 Φ T PΦ − P = −Q 若 x(k ) ≠ 0, ΔV (x(k )) ≡ 0
t
y c
6
& ⎡ x1 ⎤ ⎡ 0 扰动作用下 u = 0 ⇒ ⎢ x2 ⎥ = ⎢ 0 & ⎢ ⎥ ⎢ 的稳定性 ⎢ x3 ⎥ ⎢− k ⎣& ⎦ ⎣
⎡ x1e ⎤ ⎡0⎤ & 平衡状态 x = 0 ⇒ ⎢ x2e ⎥ = ⎢0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x3e ⎥ ⎢0⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
c
e a
& ⎡ x1 ⎤ ⎡ 0 ⎢x ⎥ = ⎢ 0 & ⎢ 2⎥ ⎢ ⎢ x3 ⎥ ⎢− k ⎣& ⎦ ⎣
c
e a
& ⎡ x1 ⎤ ⎡ 0 1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎢ x ⎥ = ⎢− 1 − 1⎥ ⎢ x ⎥ ⎦⎣ 2 ⎦ ⎣ &2 ⎦ ⎣
A T P + PA = −Q
p12 ⎤ ⎡ p11 + p22 ⎥ ⎢ p12 ⎦ ⎣
p12 ⎤ ⎡ 0 1 ⎤ ⎡0 0 ⎤ = p22 ⎥ ⎢− 1 − 1⎥ ⎢0 − 1⎥ ⎦ ⎦ ⎣ ⎦⎣
0⎤ −2 1 ⎥ ⎥ 0 − 1⎥ ⎦ 1
⎡ x1 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎢ x ⎥ + ⎢ 0 ⎥u ⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢k ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
0⎤ −2 1 ⎥ ⎥ 0 − 1⎥ ⎦ 1
⎡0 0 0 ⎤ ⎥ ⎢ 选取 Q = ⎢0 0 0⎥ ⎢0 0 1 ⎥ ⎦ ⎣
t
y c
⎡ x1 ⎤ ⎢x ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎣ ⎦
t
3 0⎤ ⎡1 x(k + 1) = ⎢− 3 − 2 − 3⎥ x(k ) ⎢ ⎥ ⎢1 0 0⎥ ⎣ ⎦
y c
解法一：李雅普诺夫第一法
特征值是否在单位圆内？
z1 = 0.1173 + j 2.6974 z3 = − 1.2346
z −1 − 3 0 zI − Φ = 3 z+2 3 =0 −1 0 z
& ⎡ x1 ⎤ ⎡ 0 ⎢x ⎥ = ⎢ 0 & ⎢ 2⎥ ⎢ ⎢ x3 ⎥ ⎢− k ⎣& ⎦ ⎣
c
⎡0 0 − k ⎤ ⎡ p11 p12 p13 ⎤ ⎥ ⎢1 − 2 0 ⎥ ⎢ p ⎥ ⎢ 12 p22 p23 ⎥ + ⎢ ⎢0 1 − 1 ⎥ ⎢ p13 p23 p33 ⎥ ⎦ ⎦⎣ ⎣ 1 0 ⎤ ⎡0 0 0 ⎤ ⎡ p11 p12 p13 ⎤ ⎡ 0 ⎥ ⎢ 0 − 2 1 ⎥ = ⎢0 0 0 ⎥ ⎢p ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ 12 p22 p23 ⎥ ⎢ ⎢ p13 p23 p33 ⎥ ⎢− k 0 − 1⎥ ⎢0 0 − 1⎥ ⎦ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎣
选取正定二次型函数为李雅普诺夫函数
c
V (x ) = xT Px
& V (x ) = − xT Qx
线性定常连续系统渐近稳定
⇔
T
给定 P >0，存在 Q >0，满足 A P + PA = −Q
李雅普诺夫矩阵代数方程
t
y c
返回
2
线性定常连续系统渐近稳定
给定 P >0，存在 Q >0，满足 A T P + PA = −Q
c
x(0) = x 0 , t ≥ 0,
A ≠ 0 原点是唯一的平衡状态。
V (x ) = xT Px
t
y c
1
& 线性定常连续系统 x = Ax, x(0 ) = x 0 , t ≥ 0, A ≠ 0 原点是唯一的平衡状态。
T T & & & V (x ) = xT Px + xT Px = (Ax ) Px + x P(Ax )
c
选取正定二次型函数为李雅普诺夫函数
e a e a
V (x ) = xT Px
= xT A T Px + xT PAx = xT AT P + PA x
& V (x ) = − xT Qx
(
令 AT P + PA = −Q
t
y c
)
& 线性定常连续系统 x = Ax, x(0 ) = x 0 , t ≥ 0, A ≠ 0 原点是唯一的平衡状态。
判别步骤：
选取 Q 为正定实对称矩阵（对角阵或单位阵）； 求解 A T P + PA = −Q
c
e a e a
μ
k
⇔
李雅普诺夫矩阵代数方程
若 P 为正定实对称矩阵，则系统渐近稳定。
& 若 x ≠ 0, V (x ) ≡ 0 可选取 Q 为正半定实对称矩阵
t
y c
前页
例：机械位移系统
& x (t ), x (t )
c
离散 李雅普诺夫矩阵代数方程
若 P 为正定实对称矩阵，则系统渐近稳定。
可选取 Q 为正半定实对称矩阵
t
y c
10
例：分析下列系统平衡状态的稳定性。
c
e a e a
3 0⎤ ⎡1 x(k + 1) = ⎢− 3 − 2 − 3⎥ x(k ) ⎢ ⎥ ⎢1 0 0⎥ ⎣ ⎦
Φ ≠0
原点是唯一的平衡状态。
c
e a e a
Q=I
p12 ⎤ p22 ⎥ ⎦
A T P + PA = −Q
p12 ⎤ ⎡ p11 + p22 ⎥ ⎢ p12 ⎦ ⎣
p12 ⎤ ⎡ 0 1 ⎤ ⎡− 1 0 ⎤ = p22 ⎥ ⎢− 1 − 1⎥ ⎢ 0 − 1⎥ ⎦ ⎣ ⎦ ⎦⎣
t
y c
⎡1.5 0.5⎤ P=⎢ ⎥ ⎣0.5 1 ⎦
% 判据2
eig(A) % 判据1
t
y c
p12 ⎤ p22 ⎥ ⎦
& ⎧ x1 = x2 ⎪ ⎨ k μ & ⎪ x2 = − m x1 − m x2 ⎩
⎡0 0 ⎤ ⎡ p11 解法二：选取 Q = ⎢ ⎥ ，设 P = ⎢ ⎣0 1 ⎦ ⎣ p12
⎡0 − 1⎤ ⎡ p11 ⎢1 − 1⎥ ⎢ p ⎦ ⎣ 12 ⎣
t
⇒ 0<k <6
y c
8
二、线性定常离散系统渐近稳定性的判别
线性定常离散系统
c
e a e a
(
x(k +1) = Φx(k )
x(0 ) = x 0 ; k = 0,1,2, L
Φ ≠0
原点是唯一的平衡状态。
选取正定二次型函数为李雅普诺夫函数：
V (x(k )) = xT (k )Px(k )
t
正定
1 2 2 x1 + x2 2
)
正定
2 & V (x ) = −xT Qx = − x2
负半定，且不恒为零
同一个系统的李雅普诺夫函数不唯一！
t
y c
x1
例：用李雅普诺夫方程确定使下列线性定常 系统渐进稳定的k 值范围。
c
解：由图
u
−
e a
k s +1
x3
1 s+2
x2
1 s
1 ⎧ ⎪ X1 = s X 2 & ⎧ x1 = x2 ⎪ ⎪ 1 ⎪ & ⇒ ⎨ x2 = −2 x2 + x3 X3 ⎨X 2 = s+2 ⎪ ⎪ x = − kx − x + ku 1 3 ⎩ &3 k ⎪ (U − X 1 ) X3 = ⎪ s +1 ⎩
y c
x(k +1) = Φx(k ) x(0 ) = x 0 ; k = 0,1,2, L
原点是唯一的平衡状态。 V (x(k )) = xT (k )Px (k )
ΔV (x(k )) = V (x(k + 1)) − V (x(k ))
c
= xT (k + 1)Px(k + 1) − xT (k )Px(k )
t
0
y c
(4) (5) (6)
⎧ p13 = 0 ⎪ ⇒ ⎨ p11 − 2 p12 − kp23 = 0 ⎪ p − p − kp = 0 13 33 ⎩ 12
(1) (2) (3)
c
⎧ 2( p12 − 2 p22 ) = 0 ⎪ ⎨ p13 − 3 p23 + p22 = 0 ⎪2( p − p ) = −1 33 ⎩ 23
⎡0.5 0 ⎤ ∴P = ⎢ ⎥ ⎣ 0 0.5⎦
⎧ p12 = 0 ⎪ ⇒ ⎨ p22 = 0.5 ⎪ p = 0.5 ⎩ 11
t
y c
5
⎡0 0 ⎤ Q=⎢ ⎥ ⎣0 1 ⎦
系统平衡状态——状态空间原点渐近稳定。
V (x ) = xT Px =
c
e a
(
⎡ 0. 5 0 ⎤ P=⎢ ⎥ ⎣ 0 0.5⎦
第六章 李雅普诺夫稳定性分析
c
§1 李雅普诺夫意义下的稳定性 §2 李雅普诺夫第一法(间接法)
e a
§4 应用李雅普诺夫方法分析线性 定常系统的稳定性
t
y c
一、线性定常连续系统渐近稳定性的判别
& 线性定常连续系统 x = Ax
选取正定二次型函数为李雅普诺夫函数
正定
系统平衡状态——状态空间原点渐近稳定。
2 V (x ) = xT Px = 1.5 x12 + x1 x2 + x2
c
Δ1 = p11 = 1.5 > 0,
Δ2 =
1.5 0.5 = 1.25 > 0 0.5 1
2 & V (x ) = − xT Qx = − x12 + x2
(
)
t
y c
正定 负定
& ⎡ x1 ⎤ ⎡ 0 1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎢ x ⎥ = ⎢− 1 − 1⎥ ⎢ x ⎥ ⎦⎣ 2 ⎦ ⎣ &2 ⎦ ⎣
t
y c
3
⎡p 解法一：选取 Q = I，设 P = ⎢ 11 ⎣ p12
⎡0 − 1⎤ ⎡ p11 ⎢1 − 1⎥ ⎢ p ⎣ ⎦ ⎣ 12
⎧ p12 = 0.5 ⎧− 2 p12 = −1 ⎡1.5 0.5⎤ ⎪ ⎪ ∴P = ⎢ − p22 + p11 − p12 = 0 ⇒ ⎨ p22 = 1 ⎥ ⎨ ⎣0.5 1 ⎦ ⎪ p = 1.5 ⎪2( p − p ) = −1 ⎩ 11 22 ⎩ 12
⎤ ⎥ k ⎥ ⎥ 12 − 2k ⎥ 6 ⎥ 12 − 2k ⎥ ⎦
(4) (5) (6)
⎡ k 2 + 12k ⎢ − ⎢ 126k2k ∴P = ⎢ ⎢ 12 − 2k ⎢ 0 ⎢ ⎣
6k 12 − 2k 3k 12 − 2k k 12 − 2k
使 P 正定，则
12 − 2 k > 0 k >0