北京2020版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数夯基提能

第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数
A组基础题组
1.给出下列四个命题:
①角-是第二象限角;②角是第三象限角;③角-400°是第四象限角;④角-315°是第一象限角.其中正确的命题有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2.若sin αtan α<0,且<0,则角α是( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
3.(2017北京海淀期中)若角θ的终边过点P(3,-4),则tan(θ+π)=( )
A. B.-
C. D.-
4.已知扇形的面积为2,扇形圆心角的弧度数是4,则扇形的周长为( )
A.2
B.4
C.6
D.8
5.角α的终边与直线y=3x重合,且sin α<0,又P(m,n)是角α终边上一点,且|OP|=,则m-n等于( )
A.2
B.-2
C.4
D.-4
6.设角α是第三象限角,且=-sin,则角是第象限角.
7.已知角α的终边上一点的坐标为,则角α的最小正值为.
8.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长,则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为.
9.已知sin α<0,tan α>0.
(1)求角α的集合;
(2)求角终边所在的象限;
(3)试判断tan sin cos的符号.
B组提升题组
10.已知角θ是第四象限角,则sin(sin θ)( )
A.大于0
B.大于或等于0
C.小于0
D.小于或等于0
11.已知角α=2kπ-(k∈Z),若角θ与角α的终边相同,则y=++的值为( )
A.1
B.-1
C.3
D.-3
12.已知sin θ-cos θ>1,则角θ的终边在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
13.(2015北京东城二模)如图,△ABC是边长为1的正三角形,以A为圆心,AC为半径,沿逆时针方向画圆弧,交BA的延长线于A1,记弧CA1的长为l1;以B为圆心,BA1为半径,沿逆时针方向画圆弧,交CB的延长线于A2,记弧A1A2的长为l2;以C为圆心,CA2为半径,沿逆时针方向画圆弧,交AC的延长线于A3,记弧A2A3的长为l3,则l1+l2+l3= .如此继续,以A为圆心,AA3为半径,沿逆时针方向画圆弧,交AA1的延长线于A4,记弧A3A4的长为l4,……,当弧A n-1A n的长l n为8π时,n= .
14.(2015北京石景山一模)在平面直角坐标系xOy中,设锐角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边与单
位圆交于点P(x1,y1),将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转后与单位圆交于点Q(x2,y2),记
f(α)=y1+y2.
(1)求函数f(α)的值域;
(2)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若f(C)=,且a=,c=1,求b.
15.已知扇形AOB的周长为8.
(1)若这个扇形的面积为3,求圆心角的大小;
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.
答案精解精析
A组基础题组
1.C
2.C
3.D
4.C
5.A
6.答案四
解析由角α是第三象限角,知2kπ+π<α<2kπ+(k∈Z),得kπ+<<kπ+(k∈Z),知角是第二
或第四象限角,再由=-sin知sin<0,
所以角只能是第四象限角.
7.答案π
解析∵
=,
∴角α是第四象限角,
且sin α=-,cos α=,
∴角α的最小正值为.
8.答案
解析设圆的半径为r,则其内接正三角形的边长为r,所以r=αr,所以α=.
9.解析(1)由sin α<0,知角α的终边在第三、四象限或y轴的负半轴上;
由tan α>0,知角α的终边在第一、三象限,故角α的终边在第三象限.
其集合为.
(2)由2kπ+π<α<2kπ+,k∈Z,
得kπ+<<kπ+,k∈Z,
故角终边在第二、四象限.
(3)当角终边在第二象限时,
tan<0,sin>0,cos<0,
所以tan sin cos>0;
当角终边在第四象限时,
tan<0,sin<0,cos>0,
所以tan sin cos>0.
因此,tan sin cos的符号为正.
B组提升题组
10.C ∵角θ为第四象限角,∴-1<sin θ<0,
令α=sin θ,则-1<α<0,
∴角α为第四象限角,
∴sin α=sin(sin θ)<0.
11.B 由α=2kπ-(k∈Z)知,角α的终边在第四象限,又角θ与角α的终边相同,所以角θ是第四象限角,所以sin θ<0,cos θ>0,tan θ<0.所以y=-1+1-1=-1.
12.B 由已知得(sin θ-cos θ)2>1,
即1-2sin θcos θ>1,sin θcos θ<0,
又sin θ>cos θ,所以sin θ>0>cos θ,
所以角θ的终边在第二象限.
13.答案4π;12
解析根据题意可知每次所画圆弧的圆心角均为,半径构成首项是1,公差是1的等差数列,故
l n=r n=,所以l1+l2+l3=(r1+r2+r3)=(1+2+3)=4π.l n==8π,所以n=12.
14.解析(1)由三角函数定义知,
y1=sin α,y2=sin=cos α,
则 f(α)=y1+y2=sin α+cos α
=sin.
∵角α为锐角,即0<α<,
∴<α+<,∴<sin≤1,
∴1<sin≤,
∴f(α)的值域是(1,].
(2)∵f(C)=,即sin=,
∴sin=1,
∵0<C<π,
∴<C+<,∴C+=,
即C=,
又a=,c=1,
∴由c2=a2+b2-2abcos C得,
1=2+b2-2×b,
∴b2-2b+1=0,解得b=1.
15.解析设扇形AOB的圆心角为α,半径为r,弧长为l.
(1)由题意可得
解得或
∴α==或6.
(2)解法一:∵2r+l=8,
∴S扇=lr=l·2r≤=×=4,
当且仅当2r=l,即α==2时,扇形的面积取得最大值4,
∴当这个扇形的面积取得最大值时,圆心角α=2,r=2,弦长AB=2×2sin 1=4sin 1.解法二:∵2r+l=8,
∴S扇=lr=r(8-2r)=r(4-r)=-(r-2)2+4≤4,
当且仅当r=2,即α==2时,扇形面积取得最大值4.
∴当这个扇形的面积取得最大值时,圆心角α=2,弦长AB=2×2sin 1=4sin 1.。