山东省、湖北省2017届高考冲刺模拟数学文科试题(二)有答案

山东、湖北部分重点中学2017年高考冲刺模拟（二）
数学（文）试题
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分 注意事项：
1． 答第Ⅰ卷前，考生需将自已的姓名、考号、科目、试卷类型涂写在答题卡上。

2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干静，再选涂其
他选项
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．(原创、易)已知集合103x A x z
x ⎧+⎫
=∈≤⎨⎬-⎩⎭
，},1|{2A x x y y B ∈+==，则集合B 的含有元素1的子集个数为（ ）
5.A 4.B 3.C 2.D 【答案】B
【解析】}2,1,0,1{-=A ，}5,2,1{=B ，子集个数为422
=个 【考点】集合中的元素的有关问题
2．（原创、易）若z i i =++|2|)1(2
，其中bi a z +=（,,a b R i ∈为虚数单位），则直线0=+-a ay bx 的斜率为（ ）
A ．-1
B ．1
C D
【答案】A
【解析】i z 22+=，i z 22-=，1,2,2-=-==k b a 【考点】复数运算与直线的斜率
3.（原创、易）从编号为1～50的50名学生中随机抽取5人来进行学情的测评分析，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取的5名学生的编号可能是( ) A ．5,10,15,20,25 B ．3,13,23,33,43 C ．1,2,3,4,5 D ．2,4,6, 16 ,32
【答案】B 【解析】略
【考点】抽样方法，系统抽样
4．（改编、易）若直线y x =上存在点(,)x y 满足约束条件40230x y x y x m
+-≤⎧⎪⎪
--≤⎨⎪≥⎪⎩,则实数m 的最大值为
（ ）
A ．-1
B ．1
C ．3
2
D ．2 【答案】
【解析】
5．（改编、易）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的外接球的体积为( )
【答案】D
【考点】三视图及外接球的体积
6. （改编、易）若双曲线)0,0(12222>>=-b a b
y a x 的渐近线与圆2)2(2
2=+-y x 相离，则此双曲线的离
心率的取值范围是（ ）
A ．（2，+∞）
B ．（1，2）
C ．（1，）
D ．（
，+∞）
【答案】D
【解析】由题意可得
21,,2222
2
2
22>+=∴<∴>+a b e b a b
a b
【考点】直线与圆的位置关系及双曲线的离心率
7.（选编、中）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，若
,2sin sin c A
b
B a =+则=A （ ） ︒45.A ︒30.B ︒60.
C ︒90.D
【答案】A 【
解
析
】
,2sin sin c A
b
B a =+由正弦定理得
,sin 2sin sin sin sin C A
B
B A =+而
2sin sin .sin sin 2sin sin sin sin =≥+A
B
B A A B B A （当且仅当B A sin sin =时取等号）.所以,2sin 2≥
C 即1sin ≥C ，又1sin ≤C ，故1sin =C ，︒==∴︒=∴4590B A C ，
8.（选编、中）已知方程1ln x|=kx+|在),0(3
e 上有三个不等的实根，则实数k 的取值范围是（ ）
)2,0(.3e A )2,3(.23e e B )1,2(.23e e C ]
1,2[.23e
e D 【答案】C
【解析】1+=kx y 与|ln |x y =的图象在)1,0(一定有一个交点，依题意只需x x g kx x f ln )(,1)(=+=在
),1(3e 上有2个交点即可.作x x g kx x f ln )(,1)(=+=的图象，利用数形结合的思想求解即可
【考点】根的存在性及根的个数判断．
9.（选编、中）函数⎪⎩⎪
⎨⎧>≤=)1(log )
1(3)(3
1
x x x x f x ，则)1(x f y -=的图象是（ ）
【答案】C
【解析】解：由题意得，⎪⎩⎪
⎨⎧>≤=)1(log )
1(3)(3
1
x x x x f x ，
则⎪⎩⎪⎨⎧<-≥⎪⎩⎪⎨⎧=<-≥=-=-)0)(1(log )0()31.(3)0)(1(log )0(3)1(3
1
3
11x x x x x x x f y x x ，
所以当0=x 时，3=y ，且在[0，+∞）是减函数，在（﹣∞，0）上是增函数， 根据A 、B 、C 、D 选项中的图象，只有C 的图象符合条件， 故选：C ．
【考点】函数的图象．
10.（选编、难）如图，在△OMN 中，B A ,分别是ON OM ,的中点，若y x +=),(R y x ∈，且点P 落在四边形ABNM 内（含边界），则
2
1
+++y x y 的取值范围是（ ）
]3
2,31[.A ]43,31[.B ]43,41[.C ]3
2,41[.D 【答案】C
【解析】由题意可知0,>y x
P 在线段AB 上时，⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∈+=+++=+32,313121,
1y y x y y x
P 在线段MN 上时，⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈+=+++=+43,414121,
2y y x y y x
故P 在四边形ABMN 内（含边界）时⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈+++43,4121y x y
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
第II 卷 （非选择题 共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11.（原创、易）阅读右侧程序框图，为使输出的数据为40，则①处应填的自然数为 ．
【答案】4 【解析】略 【考点】程序框图
12.（原创、易）数列}{n a 的前n 项和为21n S n n =++，))(2()1(*N n a b n n n ∈--=，则数列}{n b 的前50
项和为______________ . 【答案】48
【解析】,2,21
,3⎩
⎨⎧≥==n n n a n
49
2
...221)
(...)(5049432150=++++-=++++++=b b b b b b S
【考点】数列分组求和
13.（原创、中）等腰ABC ∆的顶角3
π
=
A ，2=BC ，以A 为圆心，3为半径作圆，MN 为该圆的一条
直径，则BM ⋅的最大值为 . 【答案】132- 【解析】
()()()
21
223
2
23cos 1231
BM CN BA AM CA AN BA CA AM CA BA AM CB AM θ⋅=+⋅+=⋅+⋅--=⨯⨯+⋅-=-≤
【考点】向量的分解与数量积运算
14.（原创、易）一只小虫在半径为3的球内自由飞行，若在飞行中始终保持与球面的距离大于1，称为“安全距离”，则小虫安全的概率为________. 【答案】
27
8
【解析】3
34
2
834
2733
ππ⋅=
⋅
【考点】几何概型
15.（原创、中）以下四个关于圆锥曲线的命题中
①设B A ,为两个定点，k 为非零常数，k PB PA =+||||，则动点P 的轨迹为椭圆； ②设定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O 为坐标原点，若)(2
1
+=
，则动点P 的轨迹为圆； ③方程02ln ln 2
=--x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线
125922=-x y 与椭圆135
22
=+y x 有相同的焦点． 其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号） 【答案】②③
【解析】①不正确，若为椭圆则需满足||AB k >；
②正确，P 是AB 中点，︒=∠90CPA ，所以P 的轨迹是以CA 为直径的圆； ③正确，方程的两根分别是
1,11
2><e e
，故正确； ④不正确，双曲线焦点在y 轴上，椭圆的焦点在x 轴上. 【考点】圆锥曲线的定义及性质
三．解答题（本大题共6小题，共75分.应写出证明过程或演算步骤．)
16.（改编、易）某学校高三年级800名学生在一次百米测试中，成绩全部在12秒到17秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[12，13），第二组[13，14），…，第五组[16，17]，如图是根据上述分组得到的频率分布直方图．
（1）若成绩小于13秒被认为优秀，求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数； （2）请估计本次测试的平均成绩；
（3）若样本中第一组只有一名女生，第五组只有一名男生，现从第一、第五组中各抽取1名学生组成一个实验组，求所抽取的2名同学中恰好为一名男生和一名女生的概率．
【考点】古典概型；频率分布直方图．
16.解：（1）由频率分布直方图，得成绩小于13秒的频率为0.06， ∴该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数为：
0.06×50=3（人）．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分
（2）7.1408.05.1632.05.1538.05.1416.05.1306.05.12=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分 （3）由频率分布直方图，得第一组的频率为0.06，第五组的频率为0.08， ∴第一组有50×
0.06=3人，第五组有50×0.08=4人，..................7分 ∵样本中第一组只有一名女生，第五组只有一名男生，
∴第一组中有1名女生2名男生，第五组中有3名女生1名男生， 现从第一、第五组中各抽取1名学生组成一个实验组，
设第一组中三人分别为321,,a a a ，其中1a 为女生，第五组中四人分别为4321,,,b b b b ，其中1b 为男生，
则基本时间空间为
)},)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,{(433323134232221241312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a =Ω
n=12，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅9分
所抽取的2名同学中恰好为一名男生和一名女生，包含的基本事件个数m=7， ∴所求概率为
p=
．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分
17.（原创、易）已知()()()R x x x x x ∈>-==
,0,cos ,cos ,cos ,sin 3ωωωωω，()12
f x m n =⋅-且()x f 的图象上相邻两条对称轴之间的距离为2
π
. （1）求函数()x f 的单调递增区间；
（2）若ABC ∆中内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,且(),sin 3sin ,0,7C A B f b ===
求c a ,的值及
ABC ∆的面积.
17.解：（1
）
21
()2
1
cos cos (12)
1sin 2cos 2 1 (222)
f x m n x x x x x ωωωωω=⋅-
=--=--分
分
162sin -⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=πωx ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分
因为相邻两对称轴之间的距离为
2π，所以πω
π
==22T 1=∴ω1)6
2sin()(--=∴π
x x f ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分
令3
6
2
26
22
2π
ππ
ππ
ππ
π
π+
≤≤-
+
≤-
≤-
k x k k x k 则
)(x f ∴的单增区间为Z k k k ∈+-
],3
,6[π
ππ
π┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分 (2)()sin(2)106
0112 (76)
6
6
26
2
(83)
f B B B B B B π
ππππ
πππ=--=<<∴-
<-
<
∴-=
∴=
分分
sin 3sin ,3A C a c
=∴=
在ABC ∆中，由余弦定理可得
2
1
67106792cos 2
2222222=-=-+=-+=c c c c c ac b c a B ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅9分
3,1==∴a c ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10分
4
33231321sin 21=⨯⨯⨯==
∆B ac S ABC ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分 【考点】三角函数的性质与解三角形
18.（选编、易）如图，已知ABCD 是边长为2的正方形，EA ⊥平面ABCD ，FC ∥EA ，设EA=1，FC=2． （1）证明：EF ⊥BD ；
（3）求多面体ABCDEF 的体积．
图中BD 应是虚线。

（1）证明：连接AC
EACF CF EA ∴,//四点共面
∵ABCD 是正方形，
∴BD ⊥AC ，.......................1分 ∵EA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴BD ⊥EA ，..................3分 ∵EA 、AC ⊂平面EACF ，EA ∩AC=A ，
∴BD ⊥平面EACF ，...................5分 又∵EF ⊂平面EACF ，
∴EF ⊥BD ；┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分 （2）解：∵BD ⊥平面EACF ，
ACFE B ABCDEF V V -=∴2
∵ABCD 是边长为2的正方形，
∴AC=
，.......................8分
又EA=1， FC=2，
∴，.......................10分
∴
．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．
19.（选编、中）在数1和100之间插入n 个实数，使得这n+2个数构成等比数列，将这n+2个数的乘积记作
n T ，再令1,lg ≥=n T a n n ,且+∈N n .
（1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）设1tan tan +⋅=n n n a a b ，求数列}{n b 的前n 项和n S .
19.解：（1）由题意知：,102
+=n n T 即得2+=n a n ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4
分
（2）1tan )
2tan()3tan(1)
2tan()3tan()]2()3tan[(=+⋅+++-+=+-+n n n n n n ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅
┅┅┅┅8分
11
tan )
2tan()3tan()2tan()3tan(-+-+=
+⋅+∴n n n n ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10
分
n n n n n S n -+-++++-+++-+=+++++++++=)]2tan()3tan(...)22tan()32tan()21tan()31[tan(1
tan 1
)3tan()2tan(...)32tan()22tan()31tan()21tan( n n --+=
1
tan 3
tan )3tan(┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分
【考点】等比数列的性质及列项相消求数列的和
20．（原创，难）本小题满分13分） 已知函数x x b ax x f ln 2)(--
=，对任意实数0>x ，都有)1
()(x
f x f -=成立. （1）求函数)(x e f y =所有零点之和；
（2）对任意实数1≥x ，函数0)(≥x f 恒成立，求实数a 的取值范围.
20.解：（1）由)1()(x f x f -=得，
0)1
)(-=+x
x b a （，所以b a =.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅1分 则x x
x a x f ln 21)(--=）
（， 设x 是)(x f 的零点，可知
x
1
也是)(x f 的零点， 不妨设)(x f 的零点是n t t t ，，
， 21，则有121=n t t t .┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分
因为x e t =单调递增，设)(x e f y =的零点为n x x x ，，
， 21，有i x i e t =，n i ,.2.1 = 则 =⋅⋅⋅n x x x e e e 21121=n t t t ，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分 所以021=+++n x x x ，
故函数)(x e f y =所有零点之和为0. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分
（2）解：x x x a x f ln 21)(--=）（，2
222211)(x
a
x ax x x a x f +-=-+='）（┅┅┅┅┅┅6分 当0≤a 时，因为1≥x ，所以0)(<'x f ，)(x f 在[)+∞∈,1x 上单调递减，
此时0)1()2(=<f f 与0)(≥x f 不符，（舍）┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅8分 当0>a 时，令a x ax x g +-=2)(2，24-4a =∆
若0≤∆即1≥a 时，0)(≥x g ，0)(≥'x f ，)(x f 在[)+∞∈,1x 上单调递增. 0)1()(=≥f x f 成立┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10分 若0>∆即10<<a 时，设)(x g 的零点为21x x ，()21x x <， 则02
21>=
+a
x x ，121=x x . 所以有2110x x <<<. 则当()2,1x x ∈时，0)(<x g ，0)(<'x f ，)(x f 在()2,1x x ∈上单调递减， 0)1()(=<f x f 与0)(≥x f 不符，（舍）. ┅┅┅┅┅┅┅┅12分
综上：实数a 的取值范围是[)+∞,1.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅13分 【考点】函数零点，利用导数研究函数不等式恒成立问题
21．（原创，难）（本小题满分14分）
已知椭圆C ：)0122
22>>=+b a b y a x （的左、右焦点分别为21,F F ，点），（231P 在椭圆C 上，满足
4
9
21=
⋅→
→
PF PF . （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）直线1l 过点P ，且与椭圆只有一个公共点，直线2l 与1l 的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点P 的两点
N M ,，
与直线1=x 交于点K （K 介于N M ,两点之间）. (ⅰ)求证：KM PN KN PM ⋅=⋅；
(ⅱ)是否存在直线2l ，使得直线1l 、2l 、PM 、PN 的斜率按某种排序能构成等比数列？若能，求出
2l 的方程；若不能，请说明理由.
21.解：（1）设0),0,(),0,-21>c c F c F （，则)2
3,1)23
,1-21--⋅--=⋅→
→
c c PF PF
（（=4
949-12
=+c ，
所以1=c . ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 1分
因为212PF PF a +==4，所以2=a .
32=∴b ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分
故椭圆C 的标准方程为13
42
2=+y x . ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分 （2）(ⅰ)设1l 方程为)1(23-=-x k y ，与13
42
2=+y x 联立，消y 得 012)23()812()342222=--+-++k x k k x k （
由题意知0=∆，解得2
1-=k .┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅5分 因为直线2l 与1l 的倾斜角互补，所以2l 的斜率是
21. 设直线2l 方程：t x y +=2
1，),(),,2211y x N y x M （， 联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=134
2122y x t x y ，整理得0322=-++t tx x ， 由0>∆，得42<t ，
t x x -=+21，3-221t x x =⋅；┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅7分
直线PM 、PN 的斜率之和1231232211--+--
=+x y x y k k PN PM ()()()()
111232112321211221---⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=x x x t x x t x ()()
11)32())(2(212121----+-+=x x t x x t x x 0=┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅9分
所以PN PM 、关于直线1=x 对称，即NPK MPK ∠=∠，
在PMK ∆和PNK ∆中，由正弦定理得
MPK MK PKM PM ∠=∠sin sin ，NPK
NK PKN PN ∠=∠sin sin ，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10分 又因为NPK MPK ∠=∠， 180=∠+∠PKN PKM 所以NK
MK PN PM =
故KM PN KN PM ⋅=⋅成立. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅11分
(ⅱ)由(ⅰ)知，0=+PN PM k k ，211-=l k ，2
12=l k . 假设存在直线2l ，满足题意.不妨设k k PM -=，k k PN =，
)0>k （ 若k k ,-2121，
，-按某种排序构成等比数列，设公比为q ，则1-=q 或1-2=q 或1-3=q . 所以1-=q ，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅13分 则2
1=k ，此时直线PN 与2l 平行或重合，与题意不符， 故不存在直线2l ，满足题意. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅14分
【考点】椭圆的简单性质．椭圆方程的求法，注意运用椭圆的定义和点满足椭圆方程，考查存在性问题的解
法，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和斜率公式，考查正弦定理的运用，考查化简整理的运算能力.。