高考数学复习简单的逻辑联结词全称量词与存在量词理含解析

高考数学复习核心素养提升练三
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
(25分钟50分)
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.已知命题p1:当x,y∈R时,|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0;p2:函数y=2x+2-x在R上为减函数.则命题q 1:p1∨p2,q2:p1∧p2,q3:(p1)∨p2,q4:p1∨(p2)中,真命题是( )
A.q1,q3
B.q2,q3
C.q1,q4
D.q2,q4
【解析】选C.对于p1(充分性)若xy≥0,则xy至少有一个为0或同号,所以|x+y|=|x|+|y|一定成立;
(必要性)若|x+y|=|x|+|y|,两边平方,得:
x2+2xy+y2=x2+2|x||y|+y2.
所以xy=|x||y|,
即xy≥0.故p1为真命题.对于p2,因为y′=2x ln 2-ln 2=ln 2,当x∈(0,+∞)
时,2x> ,又因为ln 2>0,所以y′>0,函数在(0,+∞)上单调递增;
同理,当x∈(-∞,0)时,y′<0,函数在(-∞,0)上单调递减.因此p2为假命题.
所以q1真,q2假,q3假,q4真.
2.下列命题中的假命题是( )
A.∀x∈R,x2≥0
B.∀x∈R,2x-1>0
C.∃x0∈N,sin x0=1
D.∃x0∈R,sin x0+cos x0=2
【解析】选D.因为任何实数的平方均非负,所以选项A正确;由指数函数的性质知:2x-1>0,所以
选项B正确;因为当x=1时,sin=1,所以选项C正确;因为sin x +cos x=sin,所以-≤sin x+cos x≤,所以选项D错误.
3.命题“∃x0∈R,<或>x0”的否定是( )
A.∃x0∈R,≥或≤x0
B.∀x∈R,2x≥或x2≤x
C.∀x∈R,2x≥且x2≤x
D.∃x0∈R,≥且≤x0
【解析】选C.特称命题的否定是全称命题,注意“或”的否定为“且”.
【变式备选】命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是( )
A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n<x2
B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n<x2
C.∃x0∈R,∃n∈N*,使得n<
D.∃x0∈R,∀n∈N*,使得n<
【解析】选D.原命题是全称命题,条件为“∀x∈R”,结论为“∃n∈N*,使得n≥x2”,其否定形式为特称命题,条件中改量词,并否定结论,只有D选项符合.
4.(2019·石家庄模拟)命题p:若sin x>sin y,则x>y;命题q:x2+y2≥2xy.下列命题为假命题的是( )
A.p或q
B.p且q
C.q
D.p
【解析】选B.取x=,y=,可知命题p是假命题;由(x-y)2≥0恒成立,可知命题q是真命题,故p为真命题,p或q是真命题,p且q是假命题.
5.(2019·唐山模拟)已知命题p:∃x0∈N,<;命题q:∀a∈(0,1)∪(1,+∞),函数
f(x)=log a(x-1)的图象过点(2,0),则( )
A.p假q真
B.p真q假
C.p假q假
D.p真q真
【解析】选A.由<,得(x0-1)<0,解得x0<0或0<x0<1,在这个范围内没有自然数,所以命题p为假命题;因为对任意的a∈(0,1)∪(1,+∞),均有f(2)=log a1 =0,所以命题q为真命题.
6.命题p:“∃x0∈,sin 2x0+cos 2x0<a”是假命题,则实数a的取值范围是
( ) A.(-∞,1] B.(-∞,]
C.[1,+∞)
D.[,+∞)
【解析】选A.因为命题p:“∃x0∈,sin 2x0+cos 2x0<a”是假命题,
所以命题p:“∀x∈,sin 2x+cos 2x≥a”是真命题,即(sin 2x+cos 2x)min≥a,
因为sin 2x+cos 2x=sin,且≤2x+≤,所以sin 2x+cos 2x≥1,则a ≤1.
7.已知命题“∃x0∈R,使2+(a-1)x0+≤0”是假命题,则实数a的取值范围是
( ) A.(-∞,-1) B.(-1,3)
C.(-3,+∞)
D.(-3,1)
【解析】选 B.原命题的否定为∀x∈R,2x2+(a-1)x+>0,由题意知,其为真命题,则
Δ=(a-1)2-4×2×<0.则-2<a-1<2,则-1<a<3.
二、填空题(每小题5分,共15分)
8.命题“∀x∈R,cos x≤1”的否定是________.
【解析】因为全称命题的否定为特称命题,且对结论进行否定,所以该命题的否定为∃x0∈
R,cos x0>1.
答案:∃x0∈R,cos x0>1
9.给出下列命题:
①∀x∈R,x2+1>0;②∀x∈N,x2≥1;
③∃x0∈Z,<1;④∃x0∈Q,=3;
⑤∀x∈R,x2-3x+2=0;⑥∃x0∈R,+1=0.
其中所有真命题的序号是________.
【解析】①显然是真命题;②中,当x=0时,x2<1,故②是假命题;③中,当x=0时, x3<1,故③是真命题;④中,对于任意的x∈Q,x2=3都不成立,故④是假命题;⑤中,只有当x=1或x=2时,x2-3x+2=0才成立,故⑤是假命题;⑥显然是假命题.综上可知,所有真命题的序号是①③.答案:①③
10.(2018·枣庄模拟)若“∀x∈,m≤tan x+1”为真命题,则实数m的最大值为________.
【解析】“∀x∈,m≤tan x+1”为真命题,可得-1≤tan x≤1,所以0≤tan x+1≤2,所以实数m的最大值为0.
答案:0
(20分钟40分)
1.(5分)已知f(x)=3sin x-πx,命题p:∀x∈,f(x)<0,则( )
A.p是假命题,p:∀x∈,f(x)≥0
B.p是假命题,p:∃x 0∈,f(x0)≥0
C.p是真命题,p:∃x 0∈,f(x0)≥0
D.p是真命题,p:∀x∈,f(x)>0
【解析】选C.因为f′(x)=3cos x-π,所以当x∈时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,即对∀x∈,f(x)<f(0)=0恒成立,所以p是真命题.又因为全称命题的否定是特称命题,所以p:∃x 0∈,f(x0)≥0.
2.(5分)已知p:∃x0∈R,m+1≤0,q:∀x∈R,x2+mx+1>0,若p∨q为假命题,则实数m的取值范围为( )
A.m≥2
B.m≤-2
C.m≤-2或m≥2
D.-2≤m≤2
【解析】选A.依题意知,p,q均为假命题.当p是假命题时,mx2+1>0恒成立,则有m≥0;当q是假命题时,则有Δ=m2-4≥0,m≤-2或m≥2.因此由p,q均为假命题得
即m≥2.
3.(5分)给定两个命题,p:对任意实数x都有ax2+ax+1>0恒成立;q:关于x的方程x2-x+a=0有实数根;如果p与q中有且仅有一个为真命题,则实数a的取值范围是________.
【解析】对任意实数x都有ax2+ax+1>0恒成立⇒a=0或⇒0≤a<4; 关于x的方程x2-x+a=0有实数根⇒1-4a≥0⇒a≤;
若p真q假,则有0≤a<4,且a>,所以<a<4;
若p假q真,则有a<0或a≥4,且a≤,所以a<0,
所以实数a的取值范围为(-∞,0)∪.
答案:(-∞,0)∪
4.(12分)已知a>0,设命题p:函数y=a x在R上单调递增;命题q:不等式ax2-ax+1>0对∀x∈R 恒成立.若p且q为假,p或q为真,求实数a的取值范围.
【解析】因为y=a x在R上单调递增,所以p:a>1.又不等式ax2-ax+1>0对∀x∈R恒成立,
所以Δ<0,即a2-4a<0,所以0<a<4.
所以q:0<a<4.
而命题p且q为假,p或q为真,那么p,q中有且只有一个为真,一个为假.
(1)若p真,q假,则a≥4;
(2)若p假,q真,则0<a≤1.
所以a的取值范围为(0,1]∪[4,+∞).
5.(13分)已知a∈R,命题p:∀x∈[1,2],x2-a≥0,命题q:∃x0∈R, +2ax0+2-a=0.
(1)若命题p为真命题,求实数a的取值范围.
(2)若命题p∨q为真命题,命题p∧q为假命题,求实数a的取值范围.
【解析】(1)因为命题p:∀x∈[1,2],x2-a≥0,令f(x)=x2-a,根据题意,只要x∈[1,2]时,f(x)min ≥0即可,也就是1-a≥0⇒a≤1,即a的取值范围是(-∞,1].
(2)由(1)可知,命题p为真时,a≤1,
命题q为真时,Δ=4a2-4(2-a)≥0,
解得a≤-2或a≥1.
因为命题p∨q为真命题,命题p∧q为假命题,所以命题p与命题q一真一假,
当命题p为真、命题q为假时,⇒-2<a<1;
当命题p为假、命题q为真时,
⇒a>1.
综上,实数a的取值范围是(-2,1)∪(1,+∞).
【变式备选】命题p:f(x)=-x2+2ax+1-a在x∈[0,1]时的最大值不超过2,命题q:正数x,y满足x+2y=8,且a≤+恒成立,若p∨(q)为假命题,求实数a的取值范围.
【解析】当a≤0时,f(x)max=f(0)=1-a≤2,解得-1≤a≤0;
当0<a<1时,f(x)max=f(a)=a2-a+1≤2,解得0<a<1;
当a≥1时,f(x)max=f(1)=a≤2,解得1≤a≤2.
所以使命题p为真的a的取值范围是[-1,2].
由x+2y=8,得+=1,又x,y都是正数,
所以+==+≥+2=1,当且仅当即时,等号成立,
故=1.
因为a≤+恒成立,所以a≤1,所以使命题q为真的a的取值范围是(-∞,1].
因为p∨(q)为假命题,所以p假q真,
所以所以a<-1,
故实数a的取值范围是(-∞,-1).。