函数复习教案(职业中专)

函数复习教案1. 函数的概念及其表示法：
2. 函数的基本性质：
3. 分段函数
若在函数的定义域中，对于自变量的不同取值范围，以含有x 的不同的式子或常数来表示对应法则，则称这种函数为分段函数．
分段函数的图象特征：由各段函数表达式所确定的图象连接、组合而成．4 函数简单应用
单调增加随着自变量x 的增加，函数值增加单调减小
随着自变量x 的增减，函数值减小
增减性
单调区间
单调：单调增加和单调减小的统称．
[a ,b ]⊂D ，若函数在[a ,b ]上是单调的，则称[a ,b ]为f (x )的一个单调区间．在单调区间内，函数图象沿x 轴的正向是上升的(若单调增加)或是下降的(若单调减小)轴对称
存在一条直线(对称轴)，沿直线对折后，在此直线两边的函数图象重合．
一般讨论
中心对称
存在一个叫做对称中心的点C ，函数图象上任一点P 与对称中心连线的反向延长线上，与|PC |等长的点P 1也在图象上．
偶函数
函数y =f (x ),x ∈D 若以y 轴为对称轴，则叫做偶函数．
偶函数的数学特征：
1. 定义域D 关于原点对称，即x ∈D ⇔ -x ∈D ；
2. f (x )=f (-x ), x ∈D ．
对称性
特殊情况
奇函数
函数y =f (x ),x ∈D 若以原点为对称中心，则叫做奇函数．
奇函数的数学特征：
1. 定义域D 关于原点对称，即x ∈D ⇔ -x ∈D ；
2. f (x )=-f (-x ), x ∈D ．
周期现象
每一个因变量的值，在相隔固定的自变量区段后会重复出现，则这个因变量的变化有随着自变量变化的周期现象．从图象上看，整个图象是由基本曲线或直线段重复拼接而成．
周期函数及周期
反映周期现象的函数是周期函数．周期函数的数学描述：
函数y =f (x )的定义域D =(-∞,+∞)；存在常数(周期)T >0，使f (x +T )=f (x ), x ∈D ．使上式成立T 的最小值叫做最小正周期．周期性
周期函数的图象特征
由某一基本曲线段或直线段重复拼接而成．
基本曲线段或直线段所占的自变量的区间的长度就是最小正周期．
应用问题有两类：
(1)数量关系有常规的公式．例如，在商品销售中，销售总金额、单价和销售量有如下
的关系：销售总金额＝单价×销售量；在路程问题中，路程、速度和时间有如下的关系：路程＝速度×时间等等．
(2)数量关系没有常规的公式．例如，各种球类比赛的记分规则等．对于这类问题，我们必须首先弄清问题的意思，分析问题中牵涉到哪些数量，弄清这些数量之间的关系．
例题解析
例1 哪些不是函数？哪些是函数？哪些是一一对应函数？
（1）D ＝{x ∣－1＜x ＜1}, M ＝{y ∣0＜y ＜1}，对应法则：y ＝x 2；（2）D ＝{x ∣x ＝1，2，3，4，5，6}, M ＝{y ∣y ＝2，3，4，5，6，7}，对应法则：
y ＝x ＋1；
（3）D ＝{x ∣－1＜x ＜1}, M ＝{y ∣0≤y ≤1}，对应法则：y ；
（4）D ＝{x ∣x ∈N }, M ＝{y ∣y ∈R }，对应法则：y ；
（5）D ＝{x ∣x ∈R ，x ＞0}，M ＝{y ∣y ∈R ，y ＞0}，对应法则：y 解 （1）是函数，但不是一一对应函数；例如，取y ＝
时，存在两个x 的值：±，使x 2＝（±）2 ＝．14121214
（2）是一一对应函数．
（3）不是函数．因为当x ∈D ，且x ＜0无意义．
（4）不是函数．因为当D ＝{x ∣x ∈N }, y 时，值域 M 不是R ，而应该是R 的
真子集．
（5）是一一对应函数．
例2 求下列函数的(自然)定义域：
(1)f(x)=2x 3-4x +5； (1)f(x)=；
2
1-x (2)f(x)=； (3)f(x)=+．
23+x 1+x 2
1-x 解
(1)因为对于任意x ∈R ，f (x )＝2x 3-4x +5都有意义，所以函数f(x)=2x 3-4x +5的定义
域是D =R ；
(2)由x -2≠0，得x ≠2，所以函数f (x )=
的定义域是D ={x |x ≠2} ；2
1
-x
(3)由3x +2≥0，解得x ≥-
，3
2所以函数f(x)=的定义域是D ={x |x ≥-}
，即D =[-,+∞ ；23+x 32
3
2
(4)分析
使根式有意义的实数x 的集合是{x |x ≥-1}；使分式
有意义的实1+x 2
1
-x 数x 的集合是{x |x ≠2}．所以，这个函数的定义域D 是既满足x ≥-1，又满足x ≠2的全体实数．
解 x +1≥0，
x ≠2．
即
x ≥-1，x ≠
2．
所以所给函数的定义域是： D ={x |x ≥-1}
∩{x |x ≠2} ，即
D =[-1,2)∩(2,+∞) ．
例3 指出下列函数在定义域中的单调区间：
(1)y =
； (2)y =2x 2； (3)y =．
x
1
23+x
解 (1)函数定义域为(-∞,0)⋃(0,+∞)．
从图象可见，(-∞,0)及(0,+∞)均为函数的单调减小区间(但函数在其定义域(-∞,0)
⋃(0,+∞)上并不是单调函数)；
(2)函数定义域为(-∞,+∞)．
从图象可见，(-∞,0)为函数的单调减小区间，(0,+∞)为函数的单调增加区间； (3)函数定义域为(-∞,+∞)．
．从图象可见，(-∞,+∞)例4 利用定义，判断下列函数中，哪些是偶函数，哪些是奇函数(凡是不指明定义域的，
表示它的定义域是自然定义域)：
(1)f (x )= -2x ；
(2)f (x )=|x |；
(3)f (x )=x 2 +1；
(4)f (x )=x 2 -2, x ∈(0, +∞)；
(5)f (x )=-x 4+3x 2 –1；；
解 (1) ∵x ∈(-∞,+∞)
∴函数f (x )= -2x 定义域关于原点对称又∵f (x )= -2x , f (-x )= -2(-x )= -2x = -f (x )，∴f (x )是奇函数；
图2-9(1)
图2-9(2)
y
x
(2) ∵x ∈(-∞,+∞),
∴函数f (x )=|x |定义域关于原点对称又∵ f (-x )=|-x |=|x |=f (x )，∴f (x )是偶函数；(3) ∵x ∈(-∞,+∞),
∴函数f (x )=x 2 +1定义域关于原点对称又∵f (-x )=(-x )2+1=x 2+1=f (x )，∴f (x )是偶函数；
(4)因为定义域(0,+∞)关于原点不对称，所以f (x )既非奇函数，也非偶函数；
(5)∵x ∈(-∞,+∞),
∴函数f (x )=-x 4+3x 2 –1定义域关于原点对称∵f (-x )= -(-x )4+3(-x )2+1= -x 4+3x 2-1= f (x )，∴f (x )是偶函数；
例5 已知函数f(x)=|2x -1|，
（1）把f (x )写成分段函数的形式；（2）求当x =-2, -1, 0, 1, 2时的函数值；（3）作出函数f (x )=|2x -1|的图像．
解 (1)因为当x >时2x -1>0, x <时2x -1<0, x = 时2x -1=0，所以12121
2
2x -1，（x >），
1
2f (x )=|2x -1|= 0，
（x = ），
1
2-(2x -1)，（x <）．
1
2(2)f (-2)=-[2⨯(-2)-1]=5；f (-1)=-[2⨯(-1)-1]=3；f (0)=-[2⨯(-0)-1]=1；
f (1)=2⨯1-1=1；f (2)=2⨯2-1=3．
(3)图象如图2-22．
例6 一种商品共20件，采用网上集体议价的方式销售．规则是这样的：
其价格将随着定购量的增加而不断下降，直至底价．每件价格x 元与定购量n 件的关系是：，比方说，在规定时间内只定购一件(n =1)，单价就是
50100=+x n
150元；而20件商品都被定购完的话，单价就只有102.5元．
(1)请写出该商品的销售总金额y 元与销量件数n 之间的关系；(2)求购买12件时的销售总金额．
图2-22
分析 商品的销售总金额y 元是随着销量件数n 的变化而变化的．在商品销售中，有几个基本的量，它们之间的关系是：销售总金额＝单价⨯销售量．
解 (1)本题中，单价元，销售量是n 件，所以
50100=+x n
y=()⨯n=100n +50，
50100=+x n
所以，销售总金额y 元与销量件数n 之间的函数关系是：
y = 100n +50，（0<n ≤20，n ∈N ）．
(2)当x =12时，y = 100⨯12+50=1250（元）．所以，购买12件时的销售总金额为1250元．
例7某商店规定：某种商品一次性购买10kg 以下按零售价格50元/kg 销
售；若一次性购买量满10kg ，可打9折；若一次性购买量满20kg ，可按40元/kg 的更优惠价格供货．
(1)试写出支付金额y 元与购买量x 公斤之间的函数关系式；(2)分别求出购买15 kg 和25 kg 应支付的金额．
分析 在销售商品问题中，销售总金额=单价⨯销售量．本题中，不同的购买量单价不同，所以这是一个分段函数．
解 (1) 50x ，
(0<x <10)；y = 50⨯90%⨯x ，(0≤x <20）；
40x ，
(20≤x )．
(2)当x =15时，y =50⨯90%⨯x =50⨯90%⨯15=675；当x = 25时， y = 40x =1000． 所以，购买15 kg 和25 kg 应支付的金额分别为675元和1000元．
作业
1．求下列函数的定义域： (1)f(x)=
； (2)f(x)=；
3
21
+x 52-x (3)f(x)=+；
(4)f(x)=-+6．4+x 1
2-x 43-x 152
-x 2利用定义，判断下列函数中，哪些是偶函数，哪些是奇函数
(1)f (x )=x 3-x (2)f (x )=
+1； (3)f (x )=x 5+2x , x ∈[-2,3]．
3
1
x。