七年级初一数学第二学期第六章 实数单元 易错题难题提优专项训练试卷

七年级初一数学第二学期第六章 实数单元 易错题难题提优专项训练试卷
一、选择题
1．设记号*表示求,a b 算术平均数的运算，即*2
a b
a b +=，那么下列等式中对于任意实数,,a b c 都成立的是（ ）
①()()()**a b c a b a c +=++；②()()**a b c a b c +=+；③()()()**a b c a b a c +=++；④()()**22
a
a b c b c +=+ A ．①②③
B ．①②④
C ．①③④
D ．②④
2．下列各式正确的是( ) A ．164=±
B ．1116
493
= C ．164-=- D ．164= 3．给出下列各数①0.32，②
22
7
，③π，④5，⑤0.2060060006（每两个6之间依
次多个0），⑥327，其中无理数是（ ） A ．②④⑤ B ．①③⑥ C ．④⑤⑥ D ．③④⑤ 4．估计27的值在（ ）
A ．2和3之间
B ．3和4之间
C ．4和5之间
D ．5和6之间
5．在3.14，23
7
，2-，327，π这几个数中，无理数有（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
6．在如图所示的数轴上，点B 与点C 关于点A 对称，A ，B 两点对应的实数分别是2和﹣1，则点C 所对应的实数是（ ）
A ．12
B ．22+
C ．221
D ．221
7．在实数：3.14159364，1.010010001....，4.21••
，π，22
7
中，无理数有（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
8．33x y ，则x 和y 的关系是( )． A ．x ＝y ＝0 B ．x 和y 互为相反数 C ．x 和y 相等
D ．不能确定
9．下列说法：①±3都是27的立方根；②
116的算术平方根是±1
4
38-216的平方根是±4；⑤﹣9是81的算术平方根，其中正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
10．下列判断正确的有几个（ ）
①一个数的平方根等于它本身，这个数是0和1；②实数包括无理数和有理数；③33是
3的立方根；④无理数是带根号的数；⑤2的算术平方根是2． A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 二、填空题
11．若已知()2
1230a b c -+++-=，则a b c -+=_____．
12．如图，四个实数m ，n ，p ，q 在数轴上对应的点分别为M ，N ，P ，Q ，若0n q +=，则m ，n ，p ，q 四个实数中，绝对值最大的是________．
13．某校数学课外小组利用数轴为学校门口的一条马路设计植树方案如下：第k 棵树种植在点k x 处，其中11x =，当2k ≥时，112
(
)()55
k k k k x x T T ---=+-，()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如(26)2T .=，(02)0T .=. 按此方案，第6棵树种植点6x 为________；第2011棵树种植点2011x ________.
14．规定：[x]表示不大于x 的最大整数，（x ）表示不小于x 的最小整数，[x ）表示最接近x 的整数（x≠n+0.5，n 为整数），例如：[2.3]=2，（2.3）=3，[2.3）=2．当﹣1＜x ＜1时，化简[x]+（x ）+[x ）的结果是_____．
15．按一定规律排列的一列数依次为：2-，5，10-，17，26-，，按此规律排列下
去，这列数中第9个数及第n 个数（n 为正整数）分别是__________． 16．下面是按一定规律排列的一列数：
14，37，512，719
，9
28…，那么第n 个数是__．
17．规定运算：()a b a b *=-，其中b a 、为实数，则154)15+=____ 18．如果某数的一个平方根是﹣5，那么这个数是_____． 19．23(2)0y x --=，则y x -的平方根_________．
20．若x 、y 分别是811-2x -y 的值为________．
三、解答题
21．阅读型综合题
对于实数x y ，我们定义一种新运算(),L x y ax by =+（其中a b ，均为非零常数），等式右边是通常的 四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为(),L x y ，其中
x y ，叫做线性数的一个数对．若实数 x y ，都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性
数，这时的x y ，叫做正格线性数的正格数对．
（1）若(),3L x y x y =+，则()2,1L = ，31,22L ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
；
（2）已知(),3L x y x by =+，31,222L ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
．若正格线性数(),18L x kx =，（其中k 为整数），问是否有满足这样条件的正格数对？若有，请找出；若没有，请说明理由． 22．（1）观察下列式子： ①100222112-=-==； ②211224222-=-==； ③322228442-=-==； ……
根据上述等式的规律，试写出第n 个等式，并说明第n 个等式成立； （2）求01220192222++++的个位数字.
23．阅读理解： 计算1111234⎛
⎫+
++ ⎪⎝⎭×11112345⎛⎫+++ ⎪⎝⎭﹣111112345⎛⎫++++ ⎪⎝⎭×111234⎛⎫
++ ⎪⎝⎭
时，若把11112345⎛⎫+++ ⎪⎝⎭与111234⎛⎫
++ ⎪⎝⎭
分别各看着一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下： 解：设111234⎛⎫++
⎪⎝⎭为A ，11112345⎛⎫
+++ ⎪⎝⎭
为B ， 则原式=B （1+A ）﹣A （1+B ）=B+AB ﹣A ﹣AB=B ﹣A=1
5
．请用上面方法计算： ①11111123456⎛⎫+
++++ ⎪⎝⎭×111111234567⎛⎫+++++ ⎪⎝⎭
-1111111234567⎛⎫++++++ ⎪⎝⎭×1111123456⎛⎫++++ ⎪⎝⎭ ②111123
n ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭
11123
1n ⎛⎫+++
⎪+⎝⎭-111123
1n ⎛⎫++++ ⎪+⎝⎭
11123
n ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭
． 24．观察下列两个等式：112-
2133=⨯+，22
5-5133
=⨯+，给出定义如下：我们称使等式 1a b ab -=+ 成立的一对有理数a ，b 为“共生有理数对”，记为（a ，b ），如：数对（2，
13），（5，2
3
），都是“共生有理数对”． （1）数对（-2，1），（3，
1
2
）中是“共生有理数对”吗？说明理由． （2）若（m ，n ）是“共生有理数对”，则（-n ，-m ）是“共生有理数对”吗？说明理由． 25．计算：
（1）()2
3
20181122⎛⎫-+- ⎪⎝⎭
（23
26．阅读下列解题过程：
为了求23501222...2+++++的值，可设23501222...2S =+++++，则
2345122222...2S =+++++，所以得51221S S -=-，所以
5123505121:1222...221S =-+++++=-，即；
仿照以上方法计算：
（1）2320191222...2+++++= . （2）计算：2320191333...3+++++ （3）计算：101102103200555...5++++
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
根据材料新定义运算的描述，把等式的两边进行变形比较即可． 【详解】
①中()*2b c a b c a ++=+，()*()22
a b a c b c
a b a c a ++++++==+，所以①成立；
②中()2a b c a b c ++*+=
，()*2
a b c a b c +++=，所以②成立； ③中，()()32*2a b c a b a c ++++=，()2*2
a b c
a b c +++=，所以③不成立； ④中()2a b a b c c +*+=+，22(*2)22222
a a
b
c a b c a b b c c +++++=+==+，所以④成立． 故选：B ． 【点睛】
考核知识点：代数式．理解材料中算术平均数的定义是关键．
2．D
解析：D 【分析】
根据算术平方根的定义逐一判断即可得解. 【详解】
4=，故原选项错误；
=
，故原选项错误；
D. 4=，计算正确，故此选项正确. 故选D. 【点睛】
此题主要考查了算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义.
3．D
解析：D 【分析】
无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：π，开方开不尽的数，以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．由此逐一判断即可得答案． 【详解】
①0.32是有限小数，是有理数，
②
22
7
是分数，是有理数， ③π是无限循环小数，是无理数，
⑤0.2060060006
（每两个6之间依次多个0）是无限循环小数，是无理数，
，是整数，是有理数， 综上所述：无理数是③④⑤， 故选：D ． 【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数；熟练掌握定义是解题关键．
4．D
解析：D 【分析】
用平方法进行比较，看27在哪两个整数平方之间即可. 【详解】
∵252527=＜，263627=＞
∴5＜6 故选：D 【点睛】
本题考查比较二次根式的大小，常见方法有2种： （1）将数字平方，转化为不含二次根号的数字比较；
（2）将数字都转化到二次根式中，然后进行比较.
5．B
解析：B 【分析】
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】
3.14，
23
7
，π中无理数有:,
π,共计2个. 故选B.
【点睛】
考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
6．D
解析：D 【分析】
设点C 所对应的实数是x ，根据中心对称的性质，即对称点到对称中心的距离相等，即可列方程求解即可． 【详解】
设点C 所对应的实数是x ．
则有x ﹣（﹣1），
解得+1． 故选D ． 【点睛】
本题考查的是数轴上两点间距离的定义，根据题意列出关于x 的方程是解答此题的关键．
7．B
解析：B 【分析】
有理数能写成有限小数和无限循环小数，而无理数只能写成无限不循环小数，据此判断出无理数有哪些即可． 【详解】
解：因为3.14159，
22
7
是有限小数，4.21是无限循环小数， 所以它们都是有理数；
=4，4是有理数； 因为1.010010001…，π=3.14159265…， 所以1.010010001…，π，都是无理数．
综上，可得无理数有2个：1.010010001…，π．
故选：B．
【点睛】
本题考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．
8．B
解析：B
【解析】
分析：先移项，再两边立方，即可得出x=-y，得出选项即可．
详解：
,
=
∴x=-y，
即x、y互为相反数，
故选B．
点睛：考查了立方根，相反数的应用，解此题的关键是能得出x=-y．
9．A
解析：A
【分析】
根据平方根，算术平方根，立方根的定义找到错误选项即可．
【详解】
①3是27的立方根，原来的说法错误；
②
1
16
的算术平方根是
1
4
，原来的说法错误；
2是正确的；
4，4的平方根是±2，原来的说法错误；
⑤9是81的算术平方根，原来的说法错误．
故其中正确的有1个．
故选：A．
【点睛】
本题考查了立方根，平方根，算术平方根的知识；用到的知识点为：一个正数的正的平方根叫做这个数的算术平方根；一个正数的平方根有2个；任意一个数的立方根只有1个．10．B
解析：B
【分析】
根据平方根的定义判断①；根据实数的定义判断②；根据立方根的定义判断③；根据无理数的定义判断④；根据算术平方根的定义判断⑤．
【详解】
解：①一个数的平方根等于它本身，这个数是0，因为1的平方根是±1，故①错误； ②实数包括无理数和有理数，故②正确；
3的立方根，故③正确；
④π是无理数，而π不带根号，所以无理数不一定是带根号的数，故④错误；
⑤2，故⑤正确． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了平方根、立方根、算术平方根及无理数、实数的定义，是基础知识，需熟练掌握．
二、填空题 11．6 【分析】
分别根据绝对值、平方和算术平方根的非负性求得a 、b 、c 的值，代入即可． 【详解】 解：因为， 所以， 解得， 故，
故答案为：6． 【点睛】
本题考查非负数的性质，主要考查绝对值、平方
解析：6 【分析】
分别根据绝对值、平方和算术平方根的非负性求得a 、b 、c 的值，代入即可． 【详解】
解：因为()2
120a b -+++=， 所以10,20,30a b c -=+=-=， 解得1,2,3a b c ==-=， 故1(2)36a b c -+=--+=， 故答案为：6． 【点睛】
本题考查非负数的性质，主要考查绝对值、平方和算术平方根的非负性．理解几个非负数（式）的和为0，那么这几个数或（式）都为0是解题关键．
12．【分析】
根据可以得到的关系，从而可以判定原点的位置，从而可以得到哪个数的绝对
值最大，本题得以解决． 【详解】 ∵，
∴n 和q 互为相反数，O 在线段NQ 的中点处， ∴绝对值最大的是点P 表示的数． 故 解析：p
【分析】
根据0n q +=可以得到n q 、的关系，从而可以判定原点的位置，从而可以得到哪个数的绝对值最大，本题得以解决． 【详解】 ∵0n q +=，
∴n 和q 互为相反数，O 在线段NQ 的中点处， ∴绝对值最大的是点P 表示的数p ． 故答案为：p ． 【点睛】
本题考查了实数与数轴，解题的关键是明确数轴的特点，利用数形结合的思想解答．
13．403 【解析】
当k=6时，x6=T （1）+1=1+1=2， 当k=2011时,=T()+1=403. 故答案是:2,403.
【点睛】本题考查了坐标确定位置，读懂题目信息，理解xk 的表达
解析：403 【解析】
当k=6时，x 6=T （1）+1=1+1=2，
当k=2011时,2011
x =T(2010
5
)+1=403. 故答案是:2,403.
【点睛】本题考查了坐标确定位置，读懂题目信息，理解xk 的表达式并写出用T 表示出的表达式是解题的关键．
14．﹣2或﹣1或0或1或2． 【分析】 有三种情况：
①当时，[x]＝-1，（x ）＝0，[x ）=-1或0， ∴[x]+（x ）+[x ）＝-2或-1；
②当时，[x]＝0，（x ）＝0，[x ）=0， ∴[x]
解析：﹣2或﹣1或0或1或2． 【分析】 有三种情况：
①当10x -<<时，[x ]＝-1，（x ）＝0，[x ）=-1或0， ∴[x ]+（x ）+[x ）＝-2或-1；
②当0x =时，[x ]＝0，（x ）＝0，[x ）=0， ∴[x ]+（x ）+[x ）＝0；
③当01x <<时，[x ]＝0，（x ）＝1，[x ）=0或1， ∴[x ]+（x ）+[x ）＝1或2；
综上所述，化简[x ]+（x ）+[x ）的结果是-2或﹣1或0或1或2. 故答案为-2或﹣1或0或1或2.
点睛：本题是一道阅读理解题.读懂题意并进行分类讨论是解题的关键. 【详解】 请在此输入详解！
15．； 【解析】
观察这一列数，各项的符号规律是奇数项为负，偶数项为正，故有， 又因为，，，，，所以第n 个数的绝对值是， 所以第个数是，第n 个数是，故答案为-82，. 点睛：本题主要考查了有理数的混合运
解析：82-；2(1)(1)n n -⋅+ 【解析】
观察这一列数，各项的符号规律是奇数项为负，偶数项为正，故有(1)n
-，
又因为2211=+，2521=+，21031=+，21741=+，
，所以第n 个数的绝对值是
21n +，
所以第9个数是9
2
(1)(91)82-⋅+=-，第n 个数是2
(1)(1)n
n -⋅+，故答案为-82，2(1)(1)n n -⋅+.
点睛：本题主要考查了有理数的混合运算，规律探索问题通常是按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律，揭示的式子的变化规律，常常把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的规律．
16．【解析】
∵分子分别为1,3,5,7,…,∴第n 个数的分子是2n －1, ∵4-3=1=12,7-3=4=22,12-3=9=32,19-3=16=42,…, ∴第n 个数的分母为n2+3,∴第n 个数
解析：2213
n n -+ 【解析】
∵分子分别为1,3,5,7,…,∴第n 个数的分子是2n －1,
∵4-3=1=12,7-3=4=22,12-3=9=32,19-3=16=42,…,
∴第n 个数的分母为n 2+3,∴第n 个数是2213n n -+,故答案为:221 3
n n -+. 17．4
【分析】
根据题意将原式展开，然后化简绝对值，求解即可．
【详解】
=
=
=4
故答案为4．
【点睛】
本题考查了定义新运算，绝对值的化简，和实数的计算，熟练掌握绝对值的化简规律是本题的关键
解析：4
【分析】
根据题意将原式展开，然后化简绝对值，求解即可．
【详解】
4)+
4
=4=4
故答案为4．
【点睛】
本题考查了定义新运算，绝对值的化简，和实数的计算，熟练掌握绝对值的化简规律是本题的关键．
18．25
【分析】
利用平方根定义即可求出这个数.
【详解】
设这个数是x （x≥0），所以x ＝（-5）2＝25.
【点睛】
本题解题的关键是掌握平方根的定义.
解析：25
【分析】
利用平方根定义即可求出这个数.
【详解】
设这个数是x （x ≥0），所以x ＝（-5）2＝25.
【点睛】
本题解题的关键是掌握平方根的定义.
19．【分析】
根据算术平方根的性质及乘方的性质解答，得到y=3，x=2，再进行计算即可.
【详解】
解：，且，
∴y-3=0，x-2=0，
．
．
的平方根是．
故答案为：.
【点睛】
此题考查算术平
解析：±1
【分析】
根据算术平方根的性质及乘方的性质解答，得到y=3，x=2，再进行计算即可.
【详解】
解：23(2)0y x -+-=20,(2)0x -≥，
∴y-3=0，x-2=0，
3,2y x ∴==．
1y x ∴-=．
y x ∴-的平方根是±1．
故答案为：±1.
【点睛】
此题考查算术平方根的性质及乘方的性质，求一个数的平方根，根据算术平方根的性质及乘方的性质求出x 与y 的值是解题的关键.
20．【分析】
估算出的取值范围，进而可得x ，y 的值，然后代入计算即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∴的整数部分x ＝4，小数部分y ＝，
∴2x－y ＝8－4＋，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了估算无理
解析：4+【分析】
估算出8-x ，y 的值，然后代入计算即可．
【详解】
解：∵34<<，
∴4<85，
∴8x ＝4，小数部分y ＝448=
∴2x －y ＝8－44=
故答案为：4
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是求出x ，y 的值．
三、解答题
21．（1）5，3；（2）有正格数对，正格数对为()26L ，
【分析】
（1）根据定义，直接代入求解即可；
（2）将31,222L ⎛⎫= ⎪⎝⎭
代入(),3L x y x by =+求出b 的值，再将(),18L x kx =代入(),3L x y x by =+，表示出kx ，再根据题干分析即可．
【详解】
解：（1）∵(),3L x y x y =+
∴()2,1L =5，31,22L ⎛⎫= ⎪⎝⎭
3 故答案为：5，3；
（2）有正格数对． 将31,222L ⎛⎫= ⎪⎝⎭
代入(),3L x y x by =+， 得出，1111323232L b ⎛⎫
=⨯
+⨯= ⎪⎝⎭，，
解得，2b =，
∴()32L x y x y =+，，
则()3218L x kx x kx =+=， ∴1832
x kx -=
∵x ，kx 为正整数且k 为整数 ∴329k +=，3k =，2x =，
∴正格数对为：()26L ，
． 【点睛】
本题考查的知识点是实数的运算，理解新定义是解此题的关键．
22．（1）11222n n n ---=，理由见解析；（2）01220192222++++的个位数字为5.
【分析】
（1）找规律，发现等式满足11222n n n ---=，证明，即可．（2）利用公式11222n n n ---=，分别表示每个项，利用相消法，计算结果，即可.
【详解】
（1）11222n n n ---=
理由是：122n n -- 11122n n +--=-
11222n n --=⨯-
()1212n -=-⨯
12n -=
（2）原式=()()()()1021322020201922222222-+-+-++-
2020022=-
()505421=-
505161=-
因为6的任何整数次幂的个位数字为6.
所以505161-的个位数字为5，即01220192222++++的个位数字为5. 【点睛】
本题考查了与数字运算有关的规律题，仔细观察发现规律是解题的关键.
23．（1）
17；（2）11
n +. 【解析】
【分析】
①根据发现的规律得出结果即可；
②根据发现的规律将所求式子变形，约分即可得到结果．
【详解】
（1）设
11111
23456
⎛⎫
++++
⎪
⎝⎭
为A，
111111
234567
⎛⎫
+++++
⎪
⎝⎭
为B，
原式=（1+A）B﹣（1+B）A=B+AB﹣A﹣AB=B﹣A=1
7
；
（2）设
111
23n
⎛⎫
+++
⎪
⎝⎭
为A，
111
231
n
⎛⎫
+++
⎪
+
⎝⎭
为B，
原式=（1+A）B﹣（1+B）A=B+AB﹣A﹣AB=B﹣A=
1
1 n+
．
【点睛】
考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
24．(1) (−2,1)不是“共生有理数对”，
1
3,
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
是“共生有理数对”；理由见详解.
(2)(−n,−m)是“共生有理数对”，理由见详解.【分析】
（1）根据“共生有理数对”的定义即可判断；（2）根据“共生有理数对”的定义即可判断；【详解】
(1)−2−1=−3，−2×1+1=1，
∴−2−1≠−2×1+1，
∴(−2,1)不是“共生有理数对”，
∵
1515 3,31
2222 -=⨯+=，
∴
11
331
22
-=⨯+，
∴(
1
3,
2
)是“共生有理数对”；
(2)是.
理由：− n−(−m)=−n+m，
−n⋅(−m)+1=mn+1
∵(m,n)是“共生有理数对”
∴m−n=mn+1
∴−n+m=mn+1
∴(−n,−m)是“共生有理数对”，
【点睛】
考查有理数的混合运算，整式的加减—化简求值，等式的性质，读懂题目中“共生有理数对”的定义是解题的关键.
25．（1）-34；（2）3
【分析】
（1）利用乘方、立方、二次根式、开立方等概念分别化简每项，再整理计算即可； （2）利用绝对值的意义化简每一项，再整理计算即可．
【详解】
解：（1）()23
20181122⎛⎫-+- ⎪⎝⎭ ()()118444=-+-⨯+-⨯
()1321=--+-
=-34；
（23
3=-
+-+-
3=
【点睛】
此题考查了有理数的混合运算，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
26．（1）20202
1-；（2）2020312-；（3）201101554
-. 【分析】
仿照阅读材料中的方法求出所求即可．
【详解】
解：（1）根据2350511222...221+++++=-
得：2320191222...2+++++=202021-
（2）设2320191333...3S =+++++，
则234202033333...3S =+++++，
∴2020331S S -=-， ∴2020312
S -= 即：2020232019311333 (32)
-+++++= （3）设232001555...5S =+++++，
则23420155555...5S =+++++，
∴201551S S -=-，
∴201514
S -= 即：20123200511555 (5)
4-+++++= 同理可求⸫10123100511555 (54)
-+++++=
∵1011021032002320023100555...51555...5)(1555...5)++++=+++++-+++++（ 201101201101
101102103200515155555 (5444)
---∴++++=-= 【点睛】
此题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．。