七年级初一数学第二学期第六章 实数单元 易错题难题测试提优卷

七年级初一数学第二学期第六章 实数单元 易错题难题测试提优卷
一、选择题
1．16的算术平方根是（ ）
A ．2
B ．2±
C ．4
D ．4±
2．40在下面哪两个整数之间（ ） A ．5和6 B ．6和7 C ．7和8 D ．8和9 3．下列数中，有理数是（ ）
A ．﹣7
B ．﹣0.6
C ．2π
D ．0．151151115… 4．若2a a a -=，则实数a 在数轴上的对应点一定在（ ）
A ．原点左侧
B ．原点或原点左侧
C ．原点右侧
D ．原点或原点右侧
5．如图，四个有理数m ，n ，p ，q 在数轴上对应的点分别为M ，N ，P ，Q ，若n+p=0，则m ，n ，p ，q 四个有理数中，绝对值最大的一个是（ ）
A ．p
B ．q
C ．m
D ．n
6．下列命题中，①81的平方根是9；②16的平方根是±2；③−0.003没有立方根；④−64的立方根为±4；⑤5，其中正确的个数有（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7．130a b -+-=，则a b +的值是（ ）
A ．0
B ．±2
C ．2
D ．4
8．规定用符号[]n 表示一个实数的小数部分，例如:[]3.50.5,22 1.⎡⎦=
⎤-⎣=按照此规定, 101⎡⎤+⎣⎦的值为（ ）
A ．101-
B ．103-
C ．104-
D ．101+
9．在如图所示的数轴上，,AB AC A B =，两点对应的实数分别是3和1,－则点C 所对应的实数是（ ）
A ．13
B ．23
C ．231-
D ．231 10．在下列实数：
2π、34、227、﹣1.010010001…中，无理数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
二、填空题
11．一个数的平方为16，这个数是 ．
12．一个正数的平方根是21x -和2x -，则x 的值为_______．
13．m 的平方根是n +1和n ﹣5；那么m +n ＝_____．
14．已知
72m =-，则m 的相反数是________． 15．比较大小：512-__________0.5．（填“>”“<”或“=”） 16．实a 、b 在数轴上的位置如图所示，则化简()2a b b a ++-=___________.
17．49的平方根是________,算术平方根是______,-8的立方根是_____.
18．若34330035.12=，30.3512x =-，则x =_____________．
19．如果一个正数的两个平方根为a+1和2a-7，则这个正数为_____________．
20．若x ，y 为实数，且|2|30x y ++-=，则(x+y) 2012的值为____________．
三、解答题
21．观察下列各式的计算结果
2113131-1-24422===⨯ 2118241-1-39933
===⨯ 21115351-
1-4161644===⨯ 21124461-1-5252555
===⨯ （1）用你发现的规律填写下列式子的结果： 211-
6= × ； 2
11-10= × ； （2）用你发现的规律计算：
22222111111-1-1-1-1-23420162017⨯⨯⨯⋯⨯⨯（）（）（）（）（） （3）计算()2222211111111112341n n ⎡⎤⎛⎫-⨯-⨯-⨯⨯-⨯-⎢⎥ ⎪⎝
⎭-⎢⎥⎣⎦（）（）（）（直接写出结果） 22．阅读下面的文字，解答问题： 大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用21-来表示2的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分.又例如：∵22＜（7）2＜32 ，即2＜
＜3， 7的整数部分为
27－2）.
请解答：
（110的整数部分是__________，小数部分是__________
（2）5a 37的整数部分为b ，求a ＋b 5的值；
23．对于结论：当a+b ＝0时，a 3+b 3＝0也成立．若将a 看成a 3的立方根，b 看成b 3的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反
数”
（1）举一个具体的例子来判断上述结论是否成立；
（2）若38y -和325y -互为相反数，且x+5的平方根是它本身，求x+y 的立方根．
24．你会求（a ﹣1）（a 2012+a 2011+a 2010+…+a 2+a+1）的值吗？这个问题看上去很复杂，我们可以先考虑简单的情况，通过计算，探索规律：
()()2111a a a -+=-，
()()23111a a a a -++=-，
()()324111a a a a a -+++=-，
（1）由上面的规律我们可以大胆猜想，得到（a ﹣1）（a 2014+a 2013+a 2012+…+a 2+a+1）＝ 利用上面的结论，求：
（2）22014+22013+22012+…+22+2+1的值是 ．
（3）求52014+52013+52012+…+52+5+1的值．
25．在已有运算的基础上定义一种新运算⊗：x y x y y ⊗=-+，⊗的运算级别高于加
减乘除运算，即⊗的运算顺序要优先于+-⨯÷、、、
运算，试根据条件回答下列问题． （1）计算：()53⊗-= ；
（2）若35x ⊗=，则x = ；
（3）在数轴上，数x y 、的位置如下图所示，试化简：1x y x ⊗-⊗；
（4）如图所示，在数轴上，点A B 、分别以1个单位每秒的速度从表示数-1和3的点开始运动，点A 向正方向运动，点B 向负方向运动，t 秒后点A B 、分别运动到表示数a 和b 的点所在的位置，当2a b ⊗=时，求t 的值．
26．如果有一列数，从这列数的第2个数开始，每一个数与它的前一个数的比等于同一个非零的常数，这样的一列数就叫做等比数列（Geometric Sequences ）．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示（q ≠0）．
（1）观察一个等比列数1，1111,,,24816
，…，它的公比q ＝ ；如果a n （n 为正整数）表示这个等比数列的第n 项，那么a 18＝ ，a n ＝ ；
（2）如果欲求1+2+4+8+16+…+230的值，可以按照如下步骤进行：
令S ＝1+2+4+8+16+…+230…①
等式两边同时乘以2，得2S ＝2+4+8+16++32+…+231…②
由② ﹣ ①式，得2S ﹣S ＝231﹣1
即（2﹣1）S ＝231﹣1
所以
31
31
21
21
21
S
-
==-
-
请根据以上的解答过程，求3+32+33+…+323的值；
（3）用由特殊到一般的方法探索：若数列a1，a2，a3，…，a n，从第二项开始每一项与前一项之比的常数为q，请用含a1，q，n的代数式表示a n；如果这个常数q≠1，请用含
a1，q，n的代数式表示a1+a2+a3+…+a n．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
本题是求16的算术平方根，应看哪个正数的平方等于16，由此即可解决问题．
【详解】
∵（±4）2=16，
∴16的算术平方根是4．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了算术平方根的运算．一个数的算术平方根应该是非负数．
2．B
解析：B
【分析】
6＜7．
【详解】
所以6＜7．
故选：B．
【点睛】
的取值范围是解题关键．
3．B
解析：B
【分析】
根据有理数的定义选出即可．
【详解】
解：A是无理数，故选项错误；
B、﹣0.6是有理数，故选项正确；
C、2π是无理数，故选项错误；
D、0．l51151115…是无理数，故选项错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了实数，注意有理数是指有限小数和无限循环小数，包括整数和分数．
4．B
解析：B
【分析】
根据非正数的绝对值是它的相反数，可得答案．
【详解】
解：由a-|a|=2a，得
|a|=-a，
故a是负数或0，
∴实数a在数轴上的对应点在原点或原点左侧
故选：B．
【点睛】
本题考查了实数与数轴，利用了非负数的绝对值，非正数与数轴的关系：非正数位于原点及原点的左边．
5．B
解析：B
【分析】
根据n+p=0可以得到n和p互为相反数，原点在线段PN的中点处，从而可以得到绝对值最大的数．
【详解】
解：∵n+p=0，
∴n和p互为相反数，
∴原点在线段PN的中点处，
∴绝对值最大的一个是Q点对应的q．
故选B．
【点睛】
本题考查了实数与数轴及绝对值．解题的关键是明确数轴的特点．
6．A
解析：A
【分析】
根据平方根的定义对①②进行判断；根据立方根的定义对③④进行判断；根据命题的定义对⑤进行判断．
解：81的平方根是±9，所以①错误；
±2，所以②正确；
-0.003有立方根，所以③错误；
−64的立方根为-4，所以④错误；
故选：A．
【点睛】
本题考查了立方根和平方根的应用，主要考查学生的辨析能力，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
7．C
解析：C
【分析】
由算术平方根和绝对值的非负性，求出a、b的值，然后进行计算即可．
【详解】
解：根据题意，得
a﹣1＝0，b﹣3＝0，
解得：a＝1，b＝3，
∴a+b＝1+3＝4，
∴2．
故选：C．
【点睛】
本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，解题的关键是正确求出a、b的值．
8．B
解析：B
【分析】
根据3＜4的小数部分，根据用符号[n]表示一个实数的小数部分，可得答案．
【详解】
解：由34，得
4+1＜5．
3，
故选：B．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，利用了无理数减去整数部分就是小数部分．
9．D
解析：D
根据线段中点的性质，可得答案．
【详解】
∵AC=AB=3+1，A 的坐标为3，
∴C 点坐标为3+3+1=23+1，
故选：D ．
【点睛】
此题考查实数与数轴，利用线段中点的性质得出AC 的长是解题关键．
10．C
解析：C
【分析】
根据“无理数”的定义进行分析判断即可.
【详解】
∵在实数：π2、3、4、227
、-1.010010001…中，属于无理数的是： 3?-1.010010001
2，，π
， ∴上述实数中，属于无理数的有3个.
故选C.
【点睛】
本题考查了无理数，熟记“无理数”的定义：“无限不循环小数叫做无理数”是解答本题的关键.
二、填空题
11．【详解】
解：这个数是
解析：
【详解】
解：2(4)16,±=∴这个数是4±
12．-1
【分析】
根据“一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数”列出方程求解即可．
【详解】
解：∵一个正数的平方根是2x-1和2-x ，
∴2x -1+2-x=0，
解得：x=-1．
故答案为：-
解析：-1
【分析】
根据“一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数”列出方程求解即可．
【详解】
解：∵一个正数的平方根是2x-1和2-x，
∴2x-1+2-x=0，
解得：x=-1．
故答案为：-1．
【点睛】
本题主要考查的是平方根的性质以及解一元一次方程，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．
13．11
【分析】
直接利用平方根的定义得出n的值，进而求出m的值，即可得出答案．
【详解】
解：由题意得，
n+1+n﹣5＝0，
解得n＝2，
∴m＝（2+1）2＝9，
∴m+n＝9+2＝11．
故答
解析：11
【分析】
直接利用平方根的定义得出n的值，进而求出m的值，即可得出答案．
【详解】
解：由题意得，
n+1+n﹣5＝0，
解得n＝2，
∴m＝（2+1）2＝9，
∴m+n＝9+2＝11．
故答案为11．
【点睛】
此题主要考查了平方根，正确利用平方根的定义得出n的值是解题关键．
14．【分析】
根据相反数的定义即可解答．
【详解】
解：的相反数是，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了求一个数的相反数以及实数，解题的关键是熟知只有符号不同的两个数是相反数．
解析：2
【分析】
根据相反数的定义即可解答．
【详解】
解：m的相反数是2)2
-=，
故答案为：2
【点睛】
本题考查了求一个数的相反数以及实数，解题的关键是熟知只有符号不同的两个数是相反数．
15．＞
【分析】
首先把两个数采用作差法相减，根据差的正负情况即可比较两个实数的大小．【详解】
∵，
∵-2＞0，
∴＞0．
故＞0.5．
故答案为：＞.
【点睛】
此题考查实数大小比较，解题关键在于
解析：＞
【分析】
首先把两个数采用作差法相减，根据差的正负情况即可比较两个实数的大小．
【详解】
1
2
＞0，
∴
2
2
＞0．
故
1
2
＞0.5．
故答案为：＞.
【点睛】
此题考查实数大小比较，解题关键在于掌握比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法等．
16．【解析】
由数轴得，a+b<0,b-a>0,
|a+b|+=-a-b+b-a=-2a.
故答案为-2a.
点睛：根据，推广此时a可以看做是一个式子，式子整体大于等于0,把绝对值变为括号;式子整体小
解析：2a
-
【解析】
由数轴得，a+b<0,b-a>0,
=-a-b+b-a=-2a.
故答案为-2a.
点睛：根据
,0
,0
a a
a
a a
≥
⎧
=⎨
-<
⎩
，推广此时a可以看做是一个式子，式子整体大于等于0,把绝
对值变为括号;式子整体小于0，把绝对值变为括号，前面再加负号.最后去括号，化简. 17．±7 7 -2
【解析】
试题解析：∵（±7）2=49，
∴49的平方根是±7，算术平方根是7；
∵（-2）3=-8，
∴-8的立方根是-2.
解析：±77-2
【解析】
试题解析：∵（±7）2=49，
∴49的平方根是±7，算术平方根是7；
∵（-2）3=-8，
∴-8的立方根是-2.
18．－0.0433
【分析】
三次根式变化规律为：三次根号内的式子扩大或缩小1000倍，则得到的结果扩大或缩小10倍，根据规律可得x的值．
从35.12变为－0.3512，缩小了100倍，且添
解析：－0.0433
【分析】
三次根式变化规律为：三次根号内的式子扩大或缩小1000倍，则得到的结果扩大或缩小10倍，根据规律可得x 的值．
【详解】
从35.12变为－0.3512，缩小了100倍，且添加了“－”
∴根据规律，三次根式内的式子应该缩小1000000倍，且添加“－”
故答案为：－0.0433
【点睛】
本题考查三次根式的规律，二次根式规律类似：二次根号内的式子扩大或缩小100倍，则得到的结果扩大或缩小10倍．
19．9
【分析】
根据一个正数的平方根有2个，且互为相反数求出a 的值，即可确定出这个正数．
【详解】
解：根据一个正数的两个平方根为a+1和2a-7得： ，
解得：，
则这个正数是．
故答案为：9．
【
解析：9
【分析】
根据一个正数的平方根有2个，且互为相反数求出a 的值，即可确定出这个正数．
【详解】
解：根据一个正数的两个平方根为a+1和2a-7得： 1270a a ++-=，
解得：2a =，
则这个正数是2
(21)9+=．
故答案为：9．
【点睛】
本题主要考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键． 20．1
【分析】
先根据绝对值的非负性、算术平方根的非负性求出x 、y 的值，再代入计算有理数的乘方即可．
由绝对值的非负性、算术平方根的非负性得：
解得
则
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了
解析：1
【分析】
先根据绝对值的非负性、算术平方根的非负性求出x 、y 的值，再代入计算有理数的乘方即可．
【详解】
由绝对值的非负性、算术平方根的非负性得：2030x y +=⎧⎨-=⎩
解得23x y =-⎧⎨=⎩
则201220122012()(23)11x y +=-+==
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了绝对值的非负性、算术平方根的非负性、有理数的乘方运算，利用绝对值的非负性、算术平方根的非负性求解是常考知识点，需重点掌握．
三、解答题
21．（1）
5766⨯；9111010⨯（2）10092017（3）12n n + 【解析】
试题分析：（1）根据题目中所给的规律直接写出答案；（2）根据所得的规律进行计算即可；（3）根据所得的规律进行计算即可德结论.
试题解析：
（1）5766⨯ ， 9111010
⨯； （2）原式=
13
24352016201822334420172017⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（） =
1201822017⨯ =10092017
;
（3）12n n
+. 点睛：本题是一个数字规律探究题，解决这类问题的基本方法为：通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用规律解决问题．
22．（1）33；（2）4
【解析】
分析：求根据题目中所提供的方法求无理数的整数部分和小数部分.
详解：
（1
的整数部分是3，
3；
（2）∵
∴
a 2， ∵
∴
6b =， ∴
a b +264+=．
点睛：求无理数的整数部分和小数部分，需要先给这个无理数平方，观察这个数在哪两个
整数平方数之间.需要记忆1-20平方数,1²
= 1， 2² = 4 ，3² = 9， 4² = 16， 5² = 25， 6² = 36 ，7² = 49 ，8² = 64 ，9² = 81 ，10² = 100，11² = 121， 12² = 144 ，13² = 169 ，14² = 196 ，15² = 225， 16² = 256， 17² = 289 ，18² = 324， 19² = 361 ，20² = 400.
23．（1）成立，例子见解析；（2）﹣2
【分析】
（1
（2）根据互为相反数的和为0，列等式可得y 的值，根据平方根的定义得：x+5＝0，计算x+y 并计算它的立方根即可．
【详解】
解：（10，则2+（﹣2）＝0，即2与﹣2互为相反数；
所以“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”成立；
（2
＝0，
∴8﹣y+2y ﹣5＝0，
解得：y ＝﹣3，
∵x+5的平方根是它本身，
∵x+5＝0，
∴x ＝﹣5，
∴x+y ＝﹣3﹣5＝﹣8，
∴x+y 的立方根是﹣2．
【点评】
本题考查立方根和平方根的知识，难度一般，注意互为相反数的和为0，知道这一知识是本题的关键．
24．（1）a 2015﹣1；（2）22015﹣1；（3）2015514
-． 【分析】
（1）根据已知算式得出规律，即可得出答案．
（2）先变形，再根据规律得出答案即可．
（3）先变形，再根据规律得出答案即可．
【详解】
（1）由上面的规律我们可以大胆猜想，（a ﹣1）（a 2012+a 2011+a 2010+…+a 2+a+1）＝a 2015﹣1，
故答案为：a 2015﹣1；
（2）22014+22013+22012+…+22+2+1
＝（2﹣1）×（22014+22013+22012+…+22+2+1）
＝22015﹣1，
故答案为：22015﹣1；
（3）52014+52013+52012+…+52+5+1 ＝14
×（5﹣1）×（52014+52013+52012+…+52+5+1） ＝2015514
-． 【点睛】
本题考查了实数运算的规律题，掌握算式的规律是解题的关键．
25．（1）5；（2）5或1；（3）1+y-2x ；（4）t 1=3；t 2=
53
【分析】
（1）根据题中的新运算列出算式，计算即可得到结果；
（2）根据题中的新运算列出方程，解方程即可得到结果；
（3）根据题中的新运算列出代数式，根据数轴得出x 、y 的取值范围进行化简即可；
（4）根据A 、B 在数轴上的移动方向和速度可分别用代数式表示出数a 和b ，再根据（2）的解题思路即可得到结果．
【详解】
解：（1）5(3)5(3)(3)5⊗-=--+-=；
（2）依题意得：335-+=x ， 化简得：3=2-x ，
所以32x -=或32x -=-，
解得：x =5或x =1；
（3）由数轴可知：0<x <1，y <0，
所以1x y x ⊗-⊗ = (1)()-+--+x x y x x
=1-++--x x y x x
=12+-y x
（4）依题意得：数a =−1+t ，b =3−t ；
因为2a b ⊗=， 所以(1)(3)32-+--+-=t t t ， 化简得：241-=-t t ，
解得：t =3或t =53
， 所以当2a b ⊗=时，t 的值为3或
53． 【点睛】
本题主要考查了定义新运算、有理数的混合运算和解一元一次方程，根据定义新运算列出关系式是解题的关键．
26．（1）12 ，1712 ，n-112 ；（2）24332-；（3）()11111
n a a a -- 【分析】
（1）
12
÷1即可求出q ，根据已知数的特点求出a 18和a n 即可； （2）根据已知先求出3S ，再相减，即可得出答案；
（3）根据（1）（2）的结果得出规律即可．
【详解】 解：（1）
12÷1＝12， a 18＝1×（12）17＝1712，a n ＝1×（12
）n ﹣1＝112n -， 故答案为：
12，1712，112n -； （2）设S ＝3+32+33+ (323)
则3S ＝32+33+…+323+324，
∴2S ＝324﹣3， ∴S ＝24332
- （3）a n ＝a 1•q n ﹣1，a 1+a 2+a 3+…+a n ＝()1111
1n a a a --．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算的应用，主要考查学生的理解能力和阅读能力，题目是一道比较好的题目，有一定的难度．。