八年级数学上尖子生全等三角形及轴对称提优试题及详细解析

八年级数学上尖子生全等三角形及轴对称提优试题及详细解析
一．选择题（共1小题）
1．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC 的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°；②BF=BA；③PH=PD；④连接CP，CP 平分∠ACB，其中正确的是（）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
二．解答题（共8小题）
2．如图（1），点O是等边△ABC内一点，将△AOB绕点A逆时针旋转60°得△ADC，连接OD．（1）求证：△DOA是等边三角形；
（2）如图（2），当∠AOB=150°时，判断△COD的形状，并说明理由；
（3）如图（3），当∠AOB=110°时，探究：当∠COB为多少度时，△COD是等腰三角形．
3．如图所示，∠BAC=∠ABD=90°，AC=BD，点O是AD，BC的交点，点E是AB的中点．
（1）图中有哪几对全等三角形？请写出来；
（2）试判断OE和AB的位置关系，并给予证明．
4．在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连结CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，如果∠BAC=90°，则∠BCE= °．
（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．
①如图2，当点D在线段BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由．
②当点D在直线BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请你在备用图上画出图形，并直接写出你的结论．
5．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E．在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC．
（1）求证：BE=CF；
（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME．求证：ME⊥BC．
6．如图，在四边形ABCD中，AD=BC=4，AB=CD，BD=6，点E从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C作匀速移动，点G从点B 出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动．（1）试证明：AD∥BC．
请你探究当点G的运动速度取哪些值时，△DEG与△BFG全等．
7．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠PCQ=45°，把∠PCQ绕点C旋转，在整个旋转过程中，过点A作AD⊥CP，垂足为D，直线AD交CQ于E．
（1）如图①，当∠PCQ在∠ACB内部时，求证：AD+BE=DE；
（2）如图②，当CQ在∠ACB外部时，求证：AD﹣BE=DE；
（3）在（1）的条件下，若CD=18，S
△BCE =2S
△ACD
，求AE的长．（直接写结果）
8．已知△ABC，分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE，连接DC 与BE，G、F分别是DC与BE的中点
（1）如图1，DG BF（用＞、＜或=填空）
（2）如图2，连接AG，判断△AFG的形状，并说明理由；
（3）如图3，若∠DAB=100°，则∠AFG= ；
（4）在图3中，若∠DAB=α，∠AFG=β，直接写出α与β的关系．
9．△ABC中，射线AD平分∠BAC，AD交边BC于E点．
（1）如图1，若AB=AC，∠BAC=90°，则；
（2）如图2，若AB≠AC，则（1）中的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，若AB＞AC，∠BAC=∠BDC=90°，∠ABD为锐角，DH⊥AB于H，则线段AB、AC、BH之间的数量关系是，并证明．
2018年10月03日陆枳彤的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共1小题）
1．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC 的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°；②BF=BA；③PH=PD；④连接CP，CP 平分∠ACB，其中正确的是（）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
【解答】解：在△ABC中，∵∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°，
又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∴∠BAD+∠ABE=（∠BAC+∠ABC）=45°，
∴∠APB=135°，故①正确．
∴∠BPD=45°，
∴∠FPB=90°+45°=135°，
∴∠APB=∠FPB，
又∵∠ABP=∠FBP，BP=BP，
∴△ABP≌△FBP，
∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，故②正确．
在△APH和△FPD中，
∵∠APH=∠FPD=90°，∠PAH=∠BAP=∠BFP，PA=PF，
∴△APH≌△FPD，
∴PH=PD，故③正确．
∵△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，
∴点P到AB、AC的距离相等，点P到AB、BC的距离相等，
∴点P到BC、AC的距离相等，
∴点P在∠ACB的平分线上，
∴CP平分∠ACB，故④正确．
故选：D．
二．解答题（共8小题）
2．如图（1），点O是等边△ABC内一点，将△AOB绕点A逆时针旋转60°得△ADC，连接OD．（1）求证：△DOA是等边三角形；
（2）如图（2），当∠AOB=150°时，判断△COD的形状，并说明理由；
（3）如图（3），当∠AOB=110°时，探究：当∠COB为多少度时，△COD是等腰三角形．
【解答】（1）证明：∵△AOB绕点A逆时针旋转60°得△ADC，
∴AO=AD，∠OAD=60°，
∴△DOA为等边三角形；
（2）解：△COD为直角三角形．理由如下：
∵△AOB绕点A逆时针旋转60°得△ADC，
∴∠ADC=∠AOB=150°，
∵△DOA为等边三角形，
∴∠ADO=60°，
∴∠ODC=∠ADC﹣∠ADO=150°﹣60°=90°，
∴△COD为直角三角形；
（3）解：∵△DOA为等边三角形，
∵∠ADC=∠AOB=110°，∠ADO=60°，
∴∠ODC=∠ADC﹣∠ADO=110°﹣60°=50°，
当OD=OC时，∠OCD=∠ODC=50°，则∠DOC=180°﹣50°﹣50°=80°，所以∠BOC=360°﹣∠AOB ﹣∠AOD﹣∠DOC=360°﹣110°﹣60°﹣80°=110°；
当CO=CD时，∠DOC=∠OCD=50°，所以∠BOC=360°﹣∠AOB﹣∠AOD﹣∠DOC=360°﹣110°﹣60°﹣50°=140°；
当DO=DC时，∠DOC=∠DCO，则∠DOC=（180°﹣50°）=65°，所以∠BOC=360°﹣∠AOB﹣∠AOD ﹣∠DOC=360°﹣110°﹣60°﹣65°=125°；
综上所述，当∠COB为110°或125°或140°时，△COD是等腰三角形．
3．如图所示，∠BAC=∠ABD=90°，AC=BD，点O是AD，BC的交点，点E是AB的中点．
（1）图中有哪几对全等三角形？请写出来；
（2）试判断OE和AB的位置关系，并给予证明．
【解答】解：（1）△ABC≌△BAD，△AOE≌△BOE，△AOC≌△BOD；
（2）OE⊥AB．理由如下：
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD（SAS），
∴∠DAB=∠CBA，
∴OA=OB，
∵点E是AB的中点，
∴OE⊥AB．
4．在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连结CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，如果∠BAC=90°，则∠BCE= 90°°．
（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．
①如图2，当点D在线段BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由．
②当点D在直线BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请你在备用图上画出图形，并直接写出你的结论．
【解答】解：（1）∵∠DAE=∠BAC，∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC；
∴∠CAE=∠BAD；
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
∴∠B=∠ACE；
∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=∠BCA+∠B=180°﹣∠BAC=90°；
故答案为90°；
（2）①由（1）中可知β=180°﹣α，
∴α、β存在的数量关系为α+β=180°；
②当点D在射线BC上时，如图1，
同（1）的方法即可得出，△ABD≌△ACE（SAS）；
∴∠ABD=∠ACE，
∴β=∠BCE=∠ACB+∠ACE=∠ACB+∠ABD=180°﹣∠BAC=180°﹣α，
∴α+β=180°；
当点D在射线BC的反向延长线上时，如图2，
同（1）的方法即可得出，△ABD≌△ACE（SAS）；
∴∠ABD=∠ACE，
∴β=∠BCE=∠ACE﹣∠ACB=∠ABD﹣∠ACB=∠BAC=α，
∴α=β．
5．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E．在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC．
（1）求证：BE=CF；
（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME．求证：ME⊥BC．
【解答】证明：（1）∵∠BAC=90°，AF⊥AE，
∴∠1+∠EAC=90°∠2+∠EAC=90°
∴∠1=∠2，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵FC⊥BC，
∴∠FCA=90°﹣∠ACB=90°﹣45°=45°，
∴∠B=∠FCA，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴BE=CF；
（2）如图，过点E作EH⊥AB于H，则△BEH是等腰直角三角形，
∴HE=BH，∠BEH=45°，
∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，
∴DE=HE，
∴DE=BH=HE，
∵BM=2DE，
∴HE=HM，
∴△HEM是等腰直角三角形，
∴∠MEH=45°，
∴∠BEM=45°+45°=90°，
∴ME⊥BC．
6．如图，在四边形ABCD中，AD=BC=4，AB=CD，BD=6，点E从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C作匀速移动，点G从点B 出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动．（1）试证明：AD∥BC．
（2）在移动过程中，小明发现当点G的运动速度取某个值时，有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究当点G的运动速度取哪些值时，△DEG与△BFG全等．
【解答】（1）证明：在△ABD和△CDB中
，
∴△ABD≌△CDB，
∴∠ADB=∠CBD，
∴AD∥BC；
（2）解：设运动时间为t，点G的运动速度为v，
当0＜t≤时，若△DEG≌△BFG，则，
∴，
∴v=3；
若△DEG≌△BGF，则，
∴，
∴（舍去）；
当＜t≤时，若△DEG≌△BFG，则，
∴，
∴，
∴v=；
若△DEG≌△BGF，则，
∴，
∴，
∴v=1．
综上，点G的速度为3或或1．
7．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠PCQ=45°，把∠PCQ绕点C旋转，在整个旋转过程中，过点A作AD⊥CP，垂足为D，直线AD交CQ于E．
（1）如图①，当∠PCQ在∠ACB内部时，求证：AD+BE=DE；
（2）如图②，当CQ在∠ACB外部时，求证：AD﹣BE=DE；
（3）在（1）的条件下，若CD=18，S
△BCE =2S
△ACD
，求AE的长．（直接写结果）
【解答】解：（1）如图①，延长DA到F，使DF=DE，∵CD⊥AE，
∴CE=CF，
∴∠DCE=∠DCF=∠PCQ=45°，
∴∠ACD+∠ACF=∠DCF=45°，
又∵∠ACB=90°，∠PCQ=45°，
∴∠ACD+∠BCE=90°﹣45°=45°，
∴∠ACF=∠BCE，
∵，
∴△ACF≌△BCE（SAS），
∴AF=BE，
∴AD+BE=AD+AF=DF=DE，
即AD+BE=DE；
（2）如图②，在AD上截取DF=DE，∵CD⊥AE，
∴CE=CF，
∴∠DCE=∠DCF=∠PCQ=45°，
∴∠ECF=∠DCE+∠DCF=90°，
∴∠BCE+∠BCF=∠ECF=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠ACF+∠BCF=90°，
∴∠ACF=∠BCE，
∵在△ACF和△BCE中，
，
∴△ACF≌△BCE（SAS），
∴AF=BE，
∴AD=AF+DF=BE+DE，
即AD﹣BE=DE；
（3）∵∠DCE=∠DCF=∠PCQ=45°，∴∠E CF=45°+45°=90°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴CD=DF=DE=18，
∵S
△BCE =2S
△ACD
，
∴AF=2AD，
∴AD=×18=6，
∴AE=AD+DE=6+18=24．
8．已知△ABC，分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE，连接DC
（1）如图1，DG = BF（用＞、＜或=填空）
（2）如图2，连接AG，判断△AFG的形状，并说明理由；
（3）如图3，若∠DAB=100°，则∠AFG= 40°；
（4）在图3中，若∠DAB=α，∠AFG=β，直接写出α与β的关系．【解答】解：（1）∵∠DAB=∠CAE，
∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE．
在△ADC和△ABE
，
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴DC=BE，
∵G、F分别是DC与BE的中点，
∴DG=CD，BF=BE，
∴DG=BF；
故答案为：=；
（2）如图2，连接AG，
∵△ADC≌△ABE，
∴CD=BE，∠ADC=∠ABE，
∵G、F分别是DC与BE的中点，
∴DG=CD，BF=BE，
∴DG=BF，
在△ADG与△ABF中，，
∴△ADG≌△ABF，
∴AG=AF，
∴△AFG是等腰三角形；
（3）如图3，连接AG．
∵△ADC≌△ABE，
∴∠ADC=∠ABE．AD=AB．
∴DG=DC，BF=BE，
∴DG=BF．
在△ADG和△ABF中
，
∴△ADG≌△ABF（SAS），
∴AG=AF，∠DAG=∠BAF，
∴∠AGF=∠AFG，∠DAG﹣∠BAG=∠BAF﹣∠BAG，
∴∠DAB=∠GAF．
∵∠DAB=100°，
∴∠GAF=100°．
∵∠GAF+∠AFG+∠AGF=180°，
∴∠AFG=40°；
故答案为：40°；
（4）∵∠DAB=a，
∴∠GAF=a．
∵∠GAF+∠AFG+∠AGF=180°，
∴a+2β=180°．
9．△ABC中，射线AD平分∠BAC，AD交边BC于E点．
（1）如图1，若AB=AC，∠BAC=90°，则= ；
（2）如图2，若AB≠AC，则（1）中的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，若AB＞AC，∠BAC=∠BDC=90°，∠ABD为锐角，DH⊥AB于H，则线段AB、AC、BH之间的数量关系是AB﹣AC=2BH．，并证明．
【解答】解：（1）∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴BE=CE．
∴．
∵AB=AC，
∴，
∴=．
（2）成立，
证明：作EH⊥AB于H，EQ⊥AC于Q，AN⊥BC于N，则EH=EQ，设AB=c，AC=b，BE=m，EC=n，EH=h
1
，
AN=h
2
，
∵S△ABE：S△AEC=h
1c÷h
1
b=c：b，S△ABE：S△AEC=h
2
m÷h
2
n=m：n，
∴c：b=m：n，
即=；
（3）AB﹣AC=2BH．
理由：作DQ⊥AC交AC的延长线于Q，∴∠Q=90°
∵DH⊥AB，AD平分∠BAC，
∴DH=DQ，∠AHD=90°，∠HAD=∠CAD．∴∠AHD=∠Q．
在△AHD和△AQD中，
，
∴△AHD≌△AQD（AAS），
∴AH=AQ．
∵∠BAC=90°，∠AHD=∠Q=90°，
∴四边形AHDQ是矩形，
∴∠HDQ=90°．
∵∠BDC=90°，
∴∠HDQ=∠BDC，
∴∠HDQ﹣∠HDC=∠BDC=∠HDC，
∴∠CDQ=∠BDH．
在△DHB和△DQC中
∴△DHB≌△DQC（AAS），
∴BH=CQ，
∵AB﹣BH=AH，
∴AB﹣BH=AQ，
∴AB﹣BH=AC+CQ，
∴AB﹣AC=2BH．
故答案为：AB﹣AC=2BH．。