广西桂林市桂林中学2017届高三12月月考文数试题 Word

数学试卷(文科)
考生注意：
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分．考试120分钟.
2.请将各卷答案填在试卷后面的答题卡上.
3.本试卷主要考试内容:高考全部内容.
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.)
1.设集合(){}
M=10x x x -<,1,2
N ⎛⎤=-∞ ⎥⎝
⎦
,则M
N 等于( )
A ．1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭
B ．10,2
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
C ．10,2
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．1,2
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
2.复数
12i
i
-等于( ) A ．2i +
B ．2i -
C ．2i -+
D ．2i --
3.已知等比数列{}n a 共有10项，其中奇数项之积为2，偶数项之积为64，则其公比是( ) A ．
32
B
C ．2 D
．4.为了检查某高三毕业班学生的体重情况，从该班随机抽取了10位学生进行称重．右图为10位学生体重的茎叶图（单位：kg ），其中图中左边是体重的十位数字，右边是个位数字，则这10位学生体重的平均数与中位数之差为( )
4567
1401360120
A ．0.1
B ．0.2
C ．0.3
D ．0.4
5.设0.4
6
a =，0.4log 0.5
b =，*log 0.4
c =，则a ，b ，c 的大小关系是( )
A ．a b c <<
B ．c b a <<
C ．c a b <<
D ．b c a <<
6.执行如图所示的程序框图，若输入10n =，则输出S 等于( )
A ．511
B ．1011
C ．3635
D ．7255
7.若1cos 64x a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭
的值为( ) A ．
78 B ．78
-
C ．
716
D ．716
-
8.已知曲线()2
1
ax f x x =+在点()()1,1f 处切线的斜率为1，则实数a 的值为( )
A ．
32
B ．32
-
C ．34
-
D ．
43
9. ，它的三视图中的俯视图如图所示（其中三个三角形全等），侧视图是一个三角形，则这个三角形的面积是( )
A ．
3
B ．
3
C ．
3
D 10.半径为2的球O 中有一内接正四棱柱.当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的的侧面积之差是( )
A
．(16π
B
．(16π
C
．(82π- D
．(82π
11.若函数()sin 2y k kx πϕϕ⎛⎫
=+<
⎪⎝
⎭
与函数2
+6y kx k =-的部分图象如右图所示，则函数()()()=sin cos f x kx kx ϕϕ-+-图象的一条对称轴的方程可以为
( )
A ．24x π
=-
B ．3724x π
=
C ．1724
x π=
D ．1324
x π
=-
12.如图，1F ，2F 分别是双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双
曲线分别交于点A ，B
，且(A ，若2ABF ∆为等边三角形，则12B F F ∆的面积为
( )
A ．1 B
C
D ．2
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上． 13.已知向量()1,2a =，(),4b m =-，若//a b ，则实数m =＿＿＿．
14.设变量x 、y 满足约束条件360,20,30,x y x y y +-≥⎧⎪
--≤⎨⎪-≤⎩
则目标函数4z x y =+的最小值为＿＿＿．
15.“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高
斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而配方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2016这2016个数中能被3除余
1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}*a ，则此数列的项数为＿＿＿．
16.若直线1x my =-与圆2:0C x mx ny p +++=交于A 、B 两点，且A 、B 两点关于直线
y x =-对称，则实数p 的取值范围为＿＿＿．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分12分)
在锐角中ABC ∆，设角A ，B ，
C 所对边分别为a ，b ，c ，sin cos 4sin cos 0b C A c A B -=. （1）求证：tan 4tan B A =；
（2）若()tan 3A B +=-，3c =，5b -，求a 的值. 18.(本小题满分12分)
如图，PA ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，//AD BC ，1PA AB BC ===，2AD AB =，点
M ，N 分别在PB ，PC 上，且//MN BC .
（1）证明：平面AMN ⊥平面PBA ；
（2）若M 为PB 的中点，求三棱锥D —NAC 的体积.
19.(本小题满分12分)
2016年二十国集团领导人峰会（简称“20G 峰会”）于9月4日至5日在浙江杭州召开，为
保证会议期间交通畅通，杭州市已发布9月1日至7日为“20G 峰会”调休假期。

据报道对于杭州市民：浙江省旅游局联合11个市开展一系列旅游惠民活动，活动内容为：“本省游”、“黄山游”、“黔东南游”，某旅游公司为了解群众出游情况，拟采用分层抽样的方法从有意愿“本省游”、“黄山游”、“黔东南游”这三个区域旅游的群众中抽取7人进行某项调查，已知有意愿参加“本省游”、“黄山游”、“黔东南游”的群众分别有360,540,360人.
（1）求从“本省游”“黄山游”，“黔东南游”三个区域旅游的群众分别抽取的人数； （2）若从抽得的7人中随机地抽取2进行调查，用列举法计算这2人中至少有1人有意愿参
加“本省游”的概率. 20.（本小题满分12分）
已知椭圆()22
2210x y a b a b +=>>的焦距为2
，且过点2⎭
，其长轴的左右两个端点分别为A ，B ，直线3
2
y x m =
+交椭圆于C ，D 两点. （1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线AD ，CB 的斜率分别为1k ，2k ，若12:2:1k k =，求m 的值. 21.（本小题满分12分） 已知曲线()x
ax
f x e =
在0x =处的切线方程为y x b =+. （1）求a ，b 的值； （2）若对任意13,22x ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
，()2
163f x m x x <+-恒成立，求m 的取值范围. 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时请写清题号.
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为3x t
y =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半
轴为极轴建立坐标系，圆C
的极坐标方程为ρθ=. （1）写出直线l 的普通方程及圆C 的直角坐标方程；
（2）点P 是直线l 上的点，求点P 的坐标，使P 到圆心C 的距离最小. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()3f x x a x =--+，a R ∈. （1）当1a =-时，解不等式()1f x ≤；
（2）若[]0,3x ∈时，()4f x ≤，求a 的取值范围.
桂林2017届高三12月校际联考卷 数学试卷参考答案（文科）
1.B
(){}{}1001M x x x x x =-<=<<，1,2N ⎛
⎤=-∞ ⎥⎝⎦，10,2M
N ⎛⎤
∴= ⎥⎝⎦
2.D 121
22i i i i
-=-+=--. 3.C 设公比为q ，则*
64322
q ==，得2q =. 4.C 平均数()1
4144505153566061627054.810
x =⨯+++++++++=，中位数()1
535654.52
=⨯+=，∴选C . 5.B
0.40.40.4*61log 0.4log 0.50log 0.4>=>>>，
a b c ∴>>
6.A 22222111115
2141618110111
S =
++++=-----. 7.A 1cos 64a π⎛⎫-=
⎪⎝⎭，则27cos 2cos 212cos 3368
z a a a πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.
8.D ()()
2'
2
21ax ax
f
x x +=
+，()'1f l ∴=，即
314a =，解得43
a =.
9.B 设正四面体的边长a ，其体积为
3123
a =
，则2a =，侧视图是一个三角形，它的
，它的底边长为2.
10.A 设内接正四棱柱底边长为a ，高为h ，那么162z
z
a h =+≥，
正四棱柱的侧面积4S ah =≤
球的表面积与该正四棱柱的的侧面积之差是(16π.
11.因为()()sin 0y k kx k ϕ=+>的最大值为k ，所以2
6k k -+=，则2k =.将点,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
代入()2sin 2y x ϕ=+ 得sin 06πϕ⎛⎫
+=
⎪⎝⎭
，又2πϕ<，则6πϕ=-.
所以()5sin 2cos 222666412f x x x x x πππππ⎛
⎫
⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+++=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 由52122x n πππ+
=+得242n x ππ=+，n Z ∈.当3n =时，3724
x π
=. 12.C 由已知12z BF BF a -=，12z AF AF a -=，又
ABF ∆：为等边三角形，所以112z AF AF BF a -==，所以4z BF a =.在12AF F ∆中，16AF a =，4z AF a =，12z F F c =，1AF =60z F ︒∠，由余弦定理得43616264cos60z z z c a a a a =+-⨯⨯⨯，所以
7z
z
c a =，6z
z
z
z
b c a a =-=，所以双曲线方程为16z z
z z x y a a
-=，又(A 在曲线上，所
以
1316z z a a -=，解得12z
a =，即a =.
所以1z BF F 1
=
24sin120232
z S a a ∆⨯⨯⨯==. 13.2- 由//a b 得，24m =-，解得2m =-.
14.7 由x ，y 满足的约束条件360,20,30,x y x y y +-≥⎧⎪
--≤⎨⎪-≤⎩
画出可行域如图所示，
易求出()2,0A ，()5,3B ，()1,3C ，
可知直线4z x y =+过点()1,3C 时，z 最小值为437+=
.
15.135 能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数， 故1514n a n =-.
由15142016n a n =-≤得135n ≤，故此数列的项数为135. 16.1,
2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
A 、
B 两点关于直线y x =-对称，∴可知直线AB 的斜率为1，1m ∴=.
圆心,22m n C ⎛⎫
-
- ⎪⎝⎭
在直线y x =-上， 0m n ∴+=，从而1n =-，圆C 方程为220x y x y p ++-+=
由22
10
x y x y x y p =-⎧⎨++-+=⎩，消去x 得2220y y p -+=. 0∆>，4420p ∴-⨯>，解得1
2
p <
17.解：（1）
sin cos 4sin cos 0b C A c A B -=，
sin cos 4sin cos b C A c A B ∴=，………………1分
由正弦定理，得sin sin cos 4sin sin cos B C A C A B =，即
sin cos 4sin cos B A A B ⋅=⋅..………………3分
sin 4sin cos cos B A
B A
∴
=，即tan 4tan B A =………………5分 （2）()tan 3A B +=-，tan tan 31tan tan A B
A B
+∴
=--⋅.………………6分 由（1）得25tan 314tan A A =--，解得3tan 4A =，1
tan 3
A =-.………………8分
A 为锐角，3tan 4A ∴=，4
cos 5
A =.………………9分
2224
2cos 259253105
a b c bc A ∴=+-=+-⨯⨯⨯=，即a =………………12分
AD ∴⊥平面PBA ,………………3分
MN ∴⊥平面PBA ，………………4分
又
MN ⊂平面AMN ，
∴平面AMN ⊥平面PBA .………………6分
（2）若M 为的PB 中点，且//MN BC ，所以N 为PC 的中点. 三棱锥D —NAC 的体积也就是三棱锥N —ACD 的体积，其高为1122
PA =， 底面为ACD ∆，所以ACD ∆的面积为
11
12122
AB AD ⨯=⨯⨯=， D 111
1326
V =⨯⨯=—NAC ………………12分
19.（1）群众总数为3605403601260++=，样本容量与总体中的个体数比为
71
1260180
=，所以从“本省游”“黄山游”，“黔东南游”三个区域旅游的群众分别抽取的人数为2，3，
2.………………5分
（2）设1A ，2A 为在“本省游”中抽得的2人，1B ，2B ，3B 为在“黄山游”中抽得的3人，
C1，C2为在“黔东南游”中抽得的2人，在这7人中随机抽取2人，全部可能的结果有：
()A1,A2，()A1,B1，()A1,B2，()A1,B3，()A1,C1，()A1,C2，()A2,B1，()A2,B2，()A2,B3，()A2,C1，()A2,C2，()B1,B2，()B1,B3，()B1,C1，()B1,C2，()B2,B3，()B2,C1，()B2,C2，()B3,C1，()B3,C2，()B3,C2，()C1,C2共有21种.
随机地抽取的2人至少有1人有意愿参加“本省游”的结果（记为事件X ）有：()A1,A2，
()A1,B1，()A1,B2，()A1,B3，()A1,C1，()A1,C2，()A2,B1，()A2,B2，()A2,B3，()A2,C1，()A2,C2共有11种，所以这2人中至少有1人有意愿参加“本省游”的概率为
()11
21
P X =
.………………12分 20.解：（1）由题意得：2222222331
4a b c c a
b ⎧
⎪=+⎪
=⎨⎪⎪+=⎩，………………2分
解得2a =
，b =1c =，………………4分
椭圆的标准方程为22
=143
x y +.………………5分 （2）设()11C ,x y ，()22,D x y ，联立方程22
3214
3y x m x y ⎧
=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得22
3330x mx m ++-=， ∴判别式()()2
2223123336012m m m m ∆=--=-+>⇒<，………………7分
12x x m ∴+=-，2123
3
m x x -=………………8分 由题意知()2,0A -，()2,0B ，2ND 12=k 2y k x ∴=
+，.1
212
DC y k k x ==- 12:2:1k k =，即()()2112222y x y x -=+，得()()
2
2212
2
12242y x y x -=+①， 又2211143
x y +=，()2211344y x ∴=-，同理()22
22344y x =-，………………10分
代入①式，解得()()()()
21122242x x x x x --=++，即()112103120z x x x x +++=，
()2103120m m ∴-+-+=解得1m =或9
又
2129m m <∴=（舍去），1m ∴=.………………12分
21.解：（1）由题意得()()'1x a x f
x c -=，因曲线()y f x =在0x =处的切线方程为y x b =+， 所以，得()'011
a f ==，即1a =，又()00f =，从而0
b =.………………6分 （2）由（1）知()2163x x f x
c m x x =<+-对任意13,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
恒成立， 所以2630m x x +->，即236m x x >-对任意13,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，从而94
m ≥-.………………8分 又不等式整理可得236x c m x x x <+-，令()2236x
c g x x x x
=+-， 所以()()()'
221616x x c x c g x x x x -⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭，令()'0g x =得1x =，………………10分 当31,2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x >，函数()g x 在31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增， 同理，函数()g x 在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减，所以()()*13m g x g c <==-，………………11分 综上所述，实数m 的取值范围是9
,34c ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭
.………………12分 22.解：（1）
由3,x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩消去参数t ，得直线l
0y --=，………………2分
由ρθ=
得sin z ρθ=
，22x y +=，即圆C
的直角坐标方程为(223x y +=.………………5分
（2
）()3P t +
，(C ，
PC ==， 0t ∴=时PC 最小，此时()3,0P .………………10分
23.解：（1）当1a =-时，不等式为131x x +-+≤；
当3x ≤-时，不等式转化为131x x -+++≤.不等式解集为空集；
当31x -<<-时，不等式转化为131x x -+-+≤，解之得512
x -
≤<-； 当1x ≥-时，不等式转化为131x x +-+≤，恒成立； 综上不等式的解集为5,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
.………………5分 （2）若[]0,3x ∈时，()4f x ≤恒成立，即7x a x -≤+，亦即727a x -≤≤+恒成立，又因为[]0,3x ∈，所以77a =≤≤，所以a 的取值范围为[]7,7-.………………10分。