高中数学 正态分布 PPT课件 图文

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高考总复习 ·课标版 ·A 数学（理）
＝12×(0.954 4－0.682 6)
＝0.135 9.
(3)∵P(X≥5)＝P(X≤－3)，
∴P(X≥5)＝12[1－P(－3<X≤5)]
＝12[1－P(1－4<X≤1＋4)]
＝12[1－P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)]
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【错因分析】 (1)不能正确得出该正态分布的两个参数 μ，σ导致计算无从下手．(2)对正态分布中随机变量在三个区 间内取值的概率数值记忆不准，导致计算出错．
【正确解答】 依题意，μ＝116，σ＝8，所以μ－3σ＝ 92，μ＋3σ＝140，而服从正态分布的随机变量在(μ－3σ，μ＋ 3σ)内取值的概率约为0.997，所以成绩在区间(92,140)内的考 生所占百分比约为99.7%，从而成绩在140分以上的考生所占 的百分比为1－929.7%＝0.15%.故选D.
所示；
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(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小 ，曲线越“瘦 高”，表示总体的分布越集中；σ越大 ，曲线越“矮胖”，表 示总体的分布越分散，如图乙所示．
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(1)设随机变量ξ服从标准正态分布，则P(|ξ|<1.88)等于(已
知Ф(1.88)＝0.97)
()
A．0.03
B．0.06
C．0.97
D．0.94
(2)(2011年湖北)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，
且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)＝
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2．正态曲线的性质
(1)曲线位于x轴上方 ，与x轴不相交；
(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ 对称；
(3)曲线在 x＝μ
处达到峰值 σ
1； 2π
(4)曲线与x轴之间的面积为 1 ；
(5)当σ一定时，曲线随着 μ 的变化而沿x轴平移，如图甲
答案：D
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1
1．熟练地掌握正态曲线的解析式φμ，σ(x)＝ 2πσ·
，
x∈R.注意结构特点，特别是参数σ的一致性．
2．理解正态曲线的形状特征，如对称轴、顶点变化趋势
等．
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(2)充分利用正态曲线的对称性及面积为1的性质． 正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于直线x＝μ对称 的区间上，概率相等．
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设X～N(1,22)，试求 (1)P(－1<X≤3)； (2)P(3<X≤5)； (3)P(X≥5)．
)(σ2>0)的密度
函数图象如图所示，则有
()
A．μ1<μ2，σ1<σ2
B．μ1<μ2，σ1>σ2
C．μ1>μ2，σ1<σ2
D．μ1>μ2，σ1>σ2
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解析：根据正态分布N(μ，σ2)函数的性质：正态分布曲线 是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续钟形 曲线；σ越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，σ越 小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选A.
3．关于正态总体在某个区间内取值的概率求法 (1)熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－ 3σ<X≤μ＋3σ)的值． (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1. ①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的 区间上概率相等． ②P(X<a)＝1－P(X≥a)，P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)．
答案：(1)D (2)C
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在实际生活中，很多事例都服从或近似服从正态分布， 了解N(μ，σ)的含义并能正确应用是解决这些问题的关键．
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(2012全国课标)某一部件由三个电子元件按右图方式连接 而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正 常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态 分布N(1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么 该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________．
数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0.由
1＝ 2πσ
1 2π·4
，得σ
＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是 φμ，σ(x)＝4 12πe－3x22 ，x∈(－∞，＋∞)．
(2)P(－4<X≤4)＝P(0－4<X≤0＋4)
＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6.
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答案：A
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求正态总体X在某区间内取值的概率的基本方法有： (1)利用3σ原则：注意把给出的区间或范围与正态变量的 μ，σ进行对比，联系确定属于(μ－σ，μ＋σ)(μ－2σ，μ＋2σ)(μ －3σ，μ＋3σ)中的哪一个，P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6； P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4； P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997 4； 这三个概率值是已知的，把所求的问题转到这三个区间 内解决．
形状判别相应的μ和σ的大小关系．
2．正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的
区间上概率相等．正态曲线与x轴之间面积为1.
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若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函
数的最大值为 4
1 2π.
(1)求该正态分布的概率密度函数的解析式；
()
A．0.6
B．0.4
C．0.3
D．0.2
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解析：(1)依题意得P(|ξ|<1.88)＝2Ф(1.88)－1＝0.94，选D. (2)p(ξ<4)＝0.8 ∴p(ξ>4)＝1－p(ξ<4)＝0.2 p(2<ξ<4)＝0.5－0.2＝0.3 ∴p(0<ξ<2)＝0.3.
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正态分布是高中阶段惟一连续型随机变量的分布，这个 考点虽然不是高考的重点，但是近几年新课标高考中多次出 现，其中数值计算是考查的一个热点，考生往往不注意对这 些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误．
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在正态分布N 0，19 中，数值落在(－∞，－1)∪(1，＋∞)
内的概率为
()
A．0.097
B．0.046
C．0.03 解析：∵μ＝0，σ＝
D．0.002 6
1 3
，∴P(x<－1或x>1)＝1－P(－
1≤x≤1)＝1－P(μ－3σ≤x≤μ＋3σ)＝1－0.997 4＝0.002 6.
【思路启迪】 将所求概率转化到(μ－σ，μ＋σ]．(μ－ 2σ，μ＋2σ]或[μ－3σ，μ＋3σ]上的概率，并利用正态密度曲线 的对称性求解．
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【解】 ∵X～N(1,22)，∴μ＝1，σ＝2. (1)P(－1<X≤3)＝P(1－2<X≤1＋2) ＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6. (2)∵P(3<X≤5)＝P(－3<X≤－1)， ∴P(3<X≤5)＝21[P(－3<X≤5)－P(－1<X≤3)] ＝12[P(1－4<X≤1＋4)－P(1－2<X≤1＋2)] ＝12[P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)－P(μ－σ<X≤μ＋σ)]
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解决此类问题的关键是正确理解函数解析式与正态曲线 的关系，掌握函数解析式中参数的取值变化对曲线的影响．
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设两个正态分布N(μ1，σ
2 1
)(σ1>0)和N(μ2，σ
2 2
问题探究：参数μ，σ在正态分布中的实际意义是什么？ 提示：μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差．
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3．正态分布 (1)正态分布的定义及表示 如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b) ＝ ∫baφμ，σ(x)dx ，则称X的分布为正态分布，记作N(μ，σ2)． (2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝ 0.6826 ； ②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝ 0.9544 ； ③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝ 0.9974 .
P＝12×12＋12×12＋12×12×12＝38.
【答案】
3 8
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本题考查了独立事件的概率和正态分布，考查了理解和 转化能力．
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(对应学生用书P218)
1.若连续型随机变量ξ服从正态分布，即ξ～N(μ，σ2)，则
E(ξ)＝μ，D(ξ)＝σ2，这里μ，σ的意义是期望和标准差．μ在正
态分布曲线中确定曲线的位置，而σ确定曲线的形状．如果给
出两条正态分布曲线，我们可以根据正态分布曲线的位置和
(2)求正态总体在(－4,4]的概率．
【思路启迪】 要确定一个正态分布的概率密度函数的
解析式，关键是求解析式中的两个参数μ，σ的值，其中μ决定
曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值有关．
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【解】 (1)由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函
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【解析】 设元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的事件
分别记为A，B，C，显然P(A)＝P(B)＝P(C)＝21，
∴该部件的使用寿命超过1 000的事件为(A B ＋ A B＋
AB)C. ∴该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为
某校高考的数学成绩近似服从正态分布N(100,100)，则该
校成绩位于(80,120)内的人数占考生总人数的百分比约为
A．22.8%
B．45.6%
()
C．95.44%
D．97.22%
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解析：设该校高考数学成绩为X，由X～N(100,102)知，正 态分布的两个参数为μ＝100，σ＝10，所以P(80<X<120) ＝P(100－20<X<100＋20)＝0.954 4. 答案：C
＝12×(1－0.954 4)＝0.022 8.
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求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率，只 需借助正态曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的三个 区间上体现了转化与化归思想应用．
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(对应学生用书P219) 易错点 正态分布中概率计算错误
已知某次数学考试的成绩服从正态分布N(116,64)，则成
绩在140分以上的考生所占的百分比为
()
A．0.3%
B．0.23%
C．1.5%
D．0.15%
【错解】 A、B、C
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1．正态曲线的定义
(对应学生用书P218)
函数φμ，σ(x)＝
，x∈(－∞，＋∞)，其中实
数μ和σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象(如图)为正态分布密
度曲线，简称正态曲线．