考研数学一(高等数学)模拟试卷280(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）模拟试卷280(题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设函数则( )
A．在其有定义的任何区间(x1，x2)内，f(x)必是单调减少的
B．在点x1及x2处有定义，且x1＜x2时，必有f(x1)＞f(x2)
C．在其有定义的任何区间(x1，x2)内，f(x)必是单调增加的
D．在点x1及x2处有定义，且x1＜x2时，必有f(x1)＜f(x2)
正确答案：A
解析：f(x)的定义域是(－∞，3)∪(3，+∞)，f(x)在区间(一∞，3)及(3，+∞)上均是单调减少的．故任意不包含点x=3在内的区间(x1，x2)上，函数f(x)均单调减少．故选A．另外选项B错误，可举反例：x0＜3＜x2，则知识模块：一元函数微分学
2．以下4个命题：①设f(x)是(－∞，+∞)上连续的奇函数，则∫－∞+∞f(x)dx必收敛，且∫－∞+∞f(x)dx=0；②设f(x)在(－∞，+∞)上连续，且∫－RRf(x)dx存在，∫－∞+∞f(x)dx出必收敛，且∫－∞+∞f(x)dx=∫－RRf(x)dx；
③若∫－∞+∞f(x)dx与∫－∞+∞g(x)dx都发散，则∫－∞+∞[f(x)+g(x)]dx未必发散；④若∫－∞0f(x)dx与∫0+∞f(x)dx都发散，则∫－∞+∞f(x)dx未必发散．正确的个数为( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
正确答案：A
解析：∫－∞+∞f(x)dx收敛则对任意常数a，使∫－∞af(x)dx和∫a∞+∞f(x)dx都收敛，此时∫－∞+∞f(x)dx=∫－∞af(x)dx+∫a+∞f(x)dx．设f(x)=x，则f(x)是(－∞，+∞)上连续的奇函数，且∫－RRf(x)dx=0．但是∫－∞0f(x)dx=∫－∞0xdx=∞，∫0+∞f(x)dx=∫0+∞xdx=∞，故∫－∞+∞f(x)如发散，这表明命题①，②，④都不是真命题．设f(x)=x，g(x)=－x，由上面讨论可知∫－∞+∞f(x)dx与∫－∞+∞g(x)dx都发散，但∫－∞+∞[f(x)+g(x)]dx收敛，这表明命题③是真命题．故应选A．知识模块：一元函数积分学
3．曲线x2+y2+z2=a2与x2+y2=2az(a＞0)的交线是( )
A．抛物线
B．双曲线
C．圆
D．椭圆
正确答案：C
解析：x2+y2+z2=a2表示球心在原点、半径为以的球面，而x2+y2=2az表示顶点在原点、开口向上的旋转抛物面，即可知它们的交线是圆．应选C．知识模块：向量代数与空间解析几何
4．两条平行直线L1：之间的距离为( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：D
解析：两条平行直线之间的距离就是一直线上的点到另一直线的距离，在L1上取点M1(x1，y1，z1)，则M1到L2的距离(如图1．4—2)其中M2(x2，y2，z2)是L2上的点，s2是L2的方向向量．所以应选
D．知识模块：向量代数与空间解析几何
5．三个非零向量a，b与c，则a×b+b×c+c×a=0是a，b，c共面的( ) A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充分必要条件
D．既非充分又非必要条件
正确答案：A
解析：设a×b+b×c+c×a=0，即n×b=－b×c－c×a，于是(a×b).c=－(b×c).c－(c×a).c，混合积中有两向量相同，则该混合积为零，所以(a×b).c=0．于是a，b，c共面．反之，设a，b，c共面，例如取a=i，b=j，c=i+j，显然它们共面，又a×b+b×c+c×a=i×j+j×(i+j)+(i+j)×i=k－k－k=－k≠0，所以条件不必要．知识模块：向量代数与空间解析几何
6．若函数则函数G(x，y)=( )
A．x+y
B．x－y
C．x2－y2
D．(x+y)2
正确答案：B
解析：于是=(x－y)xyf(t)=(x－y)u，即G(x，y)=x－y．知识模块：多元函数微分学
7．设三元函数点M(0，0，0)，始于点M的单位向量l=(cosα，cosβ，cos γ)．考虑点M处的偏导数则( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：D
解析：存在，故应选
D．知识模块：多元函数微分学
8．设曲线г为x2+y2+z2=1，z=z0(｜z0｜＜1)，由z轴正向往负向看去为逆时针方向，则曲线积分∫г(x2+y2)dx+(y2+xz)dy+(z2+xy)dz的值为( ) A．0
B．1
C．－1
D．
正确答案：A
解析：设P：x2+yz，Q=y2+xz，R=z2+xy，则由斯托克斯公式可得其中∑是平面z=z0内且以г曲线为边界的那部分的上侧．知识模块：多元函数积分学
9．设f(x)，f’(x)为已知的连续函数，则方程y’+f’(x)y=f(x)f’(x)的通解(其中C为任意常数)是( )
A．y=f(x)+Ce－f(x)
B．y=f(x)+1+Ce－f(x)
C．y=f(x)－C+Ce－f(x)
D．y=f(x)－1+Ce－f(x)
正确答案：D
解析：由一阶非齐次线性微分方程的通解公式得y=e－∫f’(x)dx[C+∫f(x)ef’(x)e∫f’(x)dxdx] =e－f(x)[C+∫f(x)def(x)]=Ce－f(x)+f(x)－1，其中C为任意常数．知识模块：常微分方程
10．设以下的A，B，C为某些常数，微分方程y’’+2y’－3y=exsin2x有特解形如( )
A．ex(A+Bcox2x+Csin2x)
B．ex(Ax+Bcos2x+Csin2x)
C．ex(A+Bxcos2x+Cx sin 2x)
D．xex(A+Bcos2x+Csin2x)
正确答案：B
解析：y’’+2y’－y=exsin2x=对应齐次方程的通解为y=C1ex+C2e－3x，自由项所对应的特解形式y1*=Axex；自由项为所对应的特解形式为y2*=ex(Bcos 2x+Csin 2x)．因此本题所对应的特解形式为y*=y1*+y2*=ex(Ax+Bcos 2x+Csin 2x)．选
B．知识模块：常微分方程
填空题
11．落在平静水面的石头，产生同心波纹，若最外一圈波半径的增大率总是6 m／s，问在2s末扰动水面面积的增大率为______m2／s．
正确答案：144π
解析：设在t时刻最外圈波的半径为r(t)，扰动水面面积为s(t)，则s(t)=πr2(t)，故s’(t)=2πr(t)r’(t)，由题知r’(t)=6，r(t)=6t，所以s’(2)=2πr(2).6=144π(m2／s)．知识模块：一元函数微分学
12．设=______．
正确答案：0
解析：因为知识模块：一元函数微分学
13．若则f(x)=_______．
正确答案：其中C为任意常数
解析：令t=x2，则知识模块：一元函数积分学
14．若φ(r)是在(0，+∞)上具有一阶连续导数的函数，div[φ(r)r]=r2，其中r=(x，y，z)，r=｜r｜，则φ(r)=______．
正确答案：r2+Cr－3(C为任意常数)
解析：根据散度的定义，原方程可化为化简得线性方程rφ’(r)+3φ(r)=r2，解之得φ(r)=r2+Dr－3(C为任意常数)．知识模块：多元函数积分学
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．求极限
正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续
16．已知求f(x)．
正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续
17．设函数y=f(x)由参数方程所确定，其中φ(t)具有二阶导数，且已知证明：函数φ(t)满足方程
正确答案：因为由题设故(1+t)φ’’(t)－φ’(t)=3(1+t)2，即涉及知识点：一元函数微分学
18．设f(x)在[a，b]上连续，a＜x1＜x2＜…＜xn＜b，试证：在[a，b]内存在ξ，使得
正确答案：因为f(x)在[a，b]上连续，所以m≤f(x)≤M，其中m，M分别为f(x)在[a，b]上的最小值和最大值．则对于任意x∈[a，b]有m≤f(x1)≤M，(1)m ≤f(x2)≤M，(2) ……m≤f(xn)≤M，(n)(1)+(2)+…+(n)得mn≤f(x1)+f(3x2)+…+f(xn)≤nM，故由介值定理可得存在ξ∈[a，b]，使得涉及知识点：一元函数微分学
19．设函数f(x)与g(x)在区间[a，b)]上连续且均单调增加，证明：∫abf(x)dx∫abg(x)dx≤(b一a)∫abf(x)g(x)dx．
正确答案：作F(x)=∫axf(t)dt∫axg(t)dt－(x－a)∫axf(t)g(t)dt，有F(a)=0，F’(x)=f(x)∫axg(t)dt+g(x)∫axf(t)dt－∫axf(t)g(t)dt－(x－a)f(x)g(x) =∫axf(x)g(t)dt+∫axf(t)g(x)dt－∫axf(t)g(t)dt－∫axf(x)g(x)dt =∫ax[f(x)－f(t)][g(t)－g(x)]dt 由于a≤t≤x且f(x)与g(x)均单调增加，故可知F’(x)＜0．又x＞a，于是有F(b)＜F(a)=0．证毕．涉及知识点：一元函数微分学20．设求∫f(x)dx．
正确答案：当x＞1时，∫f(x)dx=∫2dx=2x+C1；当0≤x≤1时，∫f(x)dx=∫xdx=+C2；当x＜0时，∫f(x)dx=∫sinxdx=－cosx+C3．因为f(x)在(－∞，1)内连续，所以∫f(x)dx在(－∞，1)内存在，因而∫f(x)dx在x=0处连续可导，因此C3=1+C2．又因x=1为f(x)的第一类间断点，所以在包含x=1的区间内f(x)的原函数不存在，故此处的C1和C2是两个相互独立的常数．涉及知识点：一元函数积分学
21．计算
正确答案：由分部积分法可知又因为f(1)=0．=－∫01e－xdx= e－x｜01= e －1－1．涉及知识点：一元函数积分学
22．设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，证明：至少存在一点ξ∈(a，b)，使得f(ξ)∫0ξg(x)dx=g(ξ)∫aξf(x)dx．
正确答案：记G(x)=G(x)∫xbg(t)dt－g(x)∫axf(t)dt，则可以求得G(x)的原函数为F(x)=∫axf(r)dt∫xbg(t)dt+C，其中C为任意常数．因为f(x)，g(x)在[a，b]上连续，所以F(x)：①在[a，b]上连续；②在(a，b)内可导；③F(a)=F(b)=C，即
F(x)在[a，b]上满足罗尔定理，所以，至少存在一点ξ∈(a，b)，使得F’(ξ)=0，即f(ξ)∫ξbg(x)dx=g(ξ)∫aξf(x)dx．涉及知识点：一元函数积分学
23．设函数f(x，y)连续，且f(x，y)=x+yf(u，v)dudv，其中D由y=1，x=2围成，求f(x，y)．
正确答案：设两边求二重积分，则
解析：这是一道综合题目，表面看来很复杂，但只要分析清楚了并不难．首先可以知道积分两边再求二重积分就可解决了．知识模块：多元函数积分学
24．设p(x)在[a，b]上非负连续，f(x)与g(x)在[a，b]上连续且有相同的单调性，其中D={(x，y)｜a≤x≤b，a≤y≤b)，比较的大小，并说明理由．
正确答案：I1－I2=p(x)p(y)g(y)[f(x)－f(y)]dxdy，由于D关于直线y=x对称，所以I1－I2又可以写成I1－I2=p(x)p(y)g(x)[f(y)－f(x)]dxdy，所以2(I1－I2)=p(x)p(y)[g(y)－g(x)][f(x)－f(y)]dxdy．因g(x)与f(x)的单调性相同，所以[f(x)－f(y)][g(x)－g(y)]≥0，又p(x)在[a，b]上非负连续，从而知I1－I2≤0，即I1≤I2．涉及知识点：多元函数积分学
25．计算其中∑为球面x2+y2+z2=1的外侧．
正确答案：(第二型化第一型) 球面∑：x2+y2+z2=1的外侧单位法向量为n0=(x，y，z)，将第二型曲面积分化为第一型曲面积分，得涉及知识点：多元函数积分学
26．判别下列正项级数的敛散性：
正确答案：(1)显然，收敛，则由比较审敛法知，收敛．(2)因收敛，则由比较审敛法知，收敛．(3) 涉及知识点：无穷级数
27．判别级数的敛散性．
正确答案：这是交错级数，但不易判别｜un｜≥｜un－1｜，因此不能使用莱布尼茨判别法．为了能确定一般项为的级数的敛散性，需使用泰勒公式．由泰勒公式，由于条件收敛，故原级数发散．涉及知识点：无穷级数
28．将函数展开成x－2的幂级数，并求出其收敛范围．
正确答案：令u=x－2，于是x=u+2，成立的范围是且｜u｜＜1，即｜u｜＜1．从而知即有1＜x＜3．又因当x=3时，上述级数发散，当x=1时，上述级数收敛，且当x=1时，f(x)连续，故知收敛范围为1≤x＜3．涉及知识点：无穷级数
29．求y’2－yy’’=1的通解．
正确答案：上式中，当时，取负号，其中C1，C2为任意常数．上式中，当时，取负号，其中C1’，C3’为任意常数．涉及知识点：常微分方程。