2020年上海市民办华光高级中学高一数学文测试题含解析

2020年上海市民办华光高级中学高一数学文测试题含
解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 对于任意向量，下列说法正确的是（）
A. B.
C. D.
参考答案：
A
由题意，根据向量加法的三角形法则，且三角形两边之差小于第三边，则
，同理，所以，故正确答案为A.
2. 长方体ABCD- A1B1C1D1，AB=1，AD=2，AA1=3，则异面直线A1B1与AC1所成角的余弦值为
A. B. C. D.
参考答案：
A
【分析】
由题，找出，故(或其补角)为异面直线与所成角，然后解出答案即可.
【详解】如图，连接，由，(或其补角)为异面直线与
所成角，
由已知可得，则
．．即异面直线与所成
角的余弦值为．
故选：A．
【点睛】本题考查了异面直线的夹角问题，找平行线，找出夹角是解题的关键，属于较为基础题.
3. 函数y=的定义域为（）
A．{x|x≥1}B．{x|x≥1或x=0} C．{x|x≥0}D．{x|x=0}
参考答案：
B
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】根据函数y的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可．
【解答】解：∵函数y=，
∴|x|（x﹣1）≥0，
解得|x|≥0或x﹣1≥0，
即x≥1或x=0；
所以函数y的定义域为{x|x≥1或x=0}．
故选：B．
4. 已知, , 则的值为 ( )
A． B． C． D．参考答案：
A
5. 设O是正方形ABCD的中心，则向量是（）
A、相等的向量
B、平行的向量
C、有相同起点的向量
D、模相等的向量
参考答案：
D
6. 在△ABC中，a=2，b=，c=1，则最小角为（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
【考点】HR：余弦定理．
【分析】由题意，C最小，根据余弦定理cosC=，可得结论．
【解答】解：由题意，C最小，根据余弦定理可得cosC===，∵0＜C＜π，
∴C=．
故选B．
【点评】本题考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，正确运用余弦定理是关键．7. （5分）三个数20.3，0.32，log0.32的大小顺序是（）
A．0.32＜log0.32＜20.3 B．0. 32＜20.3＜log0.32
C．log0.32＜20.3＜0.32 D．log0.32＜0.32＜20.3
参考答案：
D
考点：对数值大小的比较．
专题：函数的性质及应用．
分析：利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
解答：解：∵20.3＞1，0＜0.32＜1，log0.32＜0，
∴log0.32＜0.32＜20.3，
故选：D．
点评：本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．
8. （5分）直线x﹣y+8=0的倾斜角的度数是（）
A．30°B．45°C．60°D．135°
参考答案：
B
考点：直线的倾斜角．
专题：直线与圆．
分析：由直线方程求出直线的斜率，再由倾斜角的正切值等于斜率求得倾斜角．解答：由x﹣y+8=0，得y=x+8，
∴直线的斜率为1，
设其倾斜角为α（0°≤α＜180°），
由tanα=1，得α=45°．
点评：本题考查了直线的倾斜角，考查了倾斜角与斜率的关系，是基础题．
9. 函数在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为
Ａ、Ｂ、
Ｃ、Ｄ、
参考答案：
A
略
10. 设，，，若则的取值是( )
A.18
B.15
C.3
D.0
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知正四棱锥的底面边长是6，高为，则该正四棱锥的侧面积为▲．参考答案：
48
12. 函数在上单调递增，则实数k的取值范围是 ________.
略
13. 已知函数，若在区间上有且只有1个零点，则实数的取值范围是▲．
参考答案：
或
由题方程在区间上有且只有1解，即方程在区间上有且只有1解，从而函数图象与直线有且只有
一个公共点。

作出函数的图象，
结合图象知或
14. 要设计两个矩形框架，甲矩形的面积是1m2，长为xm，乙矩形的面积为9m2，长为ym，若甲矩形的一条宽与乙矩形一条宽之和为1m，则x+y的最小值为．
参考答案：
16m
【考点】基本不等式．
【分析】利用矩形的面积计算公式、“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：由题意可得： +=1，x，y＞0．
则x+y=（x+y）=10++≥10+2≥16．当且仅当y=3x=12时取等号．故答案为：16m．
15. 已知，且是方程的两根，则
_____
参考答案：
略
16. 已知集合，且，则实数m的值为_______.
参考答案：
3
17. 设f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x+e x（e为自然对数的底数），则f（ln6）的值为．
参考答案：
ln6﹣
【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．
【分析】由x＜0时的解析式，先求出f（﹣ln6），再由f （x）是定义在R上的奇函数，f（﹣x）=﹣f（x），得到答案．
【解答】解：∵当x＜0时，f （x）=x+e x，
∴f（﹣ln6）=﹣ln6+e﹣ln6=﹣ln6
又∵f （x）是定义在R上的奇函数，
∴f（ln6）=﹣f（﹣ln6）=ln6﹣
故答案为：ln6﹣
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC，该曲线段是函数（A＞0，ω＞0），x∈[﹣4，0]时的图象，且图象的最高点为B（﹣1，2）．赛道的中间部分为长千米的直线跑道CD，且
CD∥EF．赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧．
（1）求ω的值和∠DOE的大小；
（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF上，一个顶点在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，且∠POE=θ，求当“矩形草坪”的面积取最大值时θ的值．
参考答案：
【考点】已知三角函数模型的应用问题；三角函数的最值．
【分析】（1）依题意，得A=2，．根据周期公式T=可得ω，把B的坐标代入结合已知可得φ，从而可求∠DOE的大小；
（2）由（1）可知OD=OP，矩形草坪的面积S关于θ的函数，有，结合正弦函数的性质可求S取得最大值．
【解答】解：（1）由条件，得A=2，．
∵，∴．
∴曲线段FBC的解析式为．
当x=0时，．又CD=，∴．（2）由（1），可知．
又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点P在弧DE上，故．设∠POE=θ，，“矩形草坪”的面积为
=．
∵，故取得最大值．
19. （I）解不等式: ；
（II）解关于的不等式: .
参考答案：
解：（I）原不等式等价于
所以
故原不等式的解集为
II）原不等式可化为
综上：不等式的解集为：
略
20. 某小区提倡低碳生活，环保出行，在小区提供自行车出租．该小区有40辆自行车供小区住户租赁使用，管理这些自行车的费用是每日92元，根据经验，若每辆自行车的日租金不超过5元，则自行车可以全部出租，若超过5元，则每超过1元，租不出的自行车就增加2辆，为了便于结算，每辆自行车的日租金x元只取整数，用f（x）元表示出租自行车的日纯收入（日纯收入=一日出租自行车的总收入﹣管理费用）
（1）求函数f（x）的解析式及其定义域；
（2）当租金定为多少时，才能使一天的纯收入最大？
参考答案：
【考点】函数最值的应用．
【分析】（1）利用函数关系建立各个取值范围内的净收入与日租金的关系式，写出该分段函数，是解决该题的关键，注意实际问题中的自变量取值范围；
（2）利用一次函数，二次函数的单调性解决该最值问题是解决本题的关键．注意自变量取值区间上的函数类型．应取每段上最大值的较大的即为该函数的最大值．
【解答】解：（1）由题意：当0＜x≤5且x∈N*时，f（x）=40x﹣92 …（1分）
当x＞5且x∈N*时，f（x）=[40﹣2（x﹣5）]x﹣92=﹣2x2+50x﹣92 …
∴…
其定义域为{x|x∈N*且x≤40}…（6分）
（2）当0＜x≤5且x∈N*时，f（x）=40x﹣92，
∴当x=5时，f（x）max=108（元）…（8分）当x＞5且x∈N*时，f（x）=﹣2x2+50x﹣92=﹣2（x﹣）2+
∵开口向下，对称轴为x=，
又∵x∈N*，∴当x=12或13时f（x）max=220（元）…（10
分）
∵220＞108，∴当租金定为12元或13元时，一天的纯收入最大为220
元…（12分）
【点评】本题考查学生的函数模型意识，注意分段函数模型的应用．将每一段的函数解析式找准相应的函数类型，利用相关的知识进行解决．
21. 已知函数f（x）=sin2x+cos2x．
（1）当x∈[0，]时，求f（x）的取值范围；
（2）求函数y=f（x）的单调递增区间．
参考答案：
【考点】三角函数中的恒等变换应用．
【分析】（1）函数f（x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），由x∈[0，]，得，由此能求出f（x）的取值范围．
（2）由f（x）=2sin（2x+），得函数y=f（x）的单调递增区间满足条件﹣
，k∈Z，由此能求出函数y=f（x）的单调递增区间．
【解答】解：（1）函数f（x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），
∵x∈[0，]，∴，
当2x+=时，f（x）min=f（0）=2sin=1，
当2x+=时，f（x）max=f（）=2sin=2．
∴f（x）的取值范围[1，2]．
（2）∵f（x）=2sin（2x+），
∴函数y=f（x）的单调递增区间满足条件：
﹣，k∈Z，
解得kπ﹣≤x≤，k∈Z，
∴函数y=f（x）的单调递增区间为[，k]．k∈Z．
22. （本题共12分）已知是等差数列的前项和，满足；是数列的前项和，满足：。

（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前项和。

参考答案：
（1）解：设等差数列的公差，则有
所以
┄┄┄┄┄┄┄ 3分
两式相减得：且也满足，所以是以2为公比的等比数列，又因为所以
┄┄┄┄┄┄┄ 7分
（2）解：
所以：
┄┄┄┄┄┄┄┄ 12分。