届高考数学一轮总复习 第6章 不等式、推理与证明 第六节 直接证明和间接证明课件 文 新人教A版
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证明
角度三：与函数、方程、不等式结合的证明题
3．已知函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝a＋bx－
1 2
x2＋
1 3
x3，函数y
＝f(x)与函数y＝g(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线．
(1)求a，b的值；
(2)证明：f(x)≤g(x)．
解析
[方法归纳] 综合法证题的思路
考点三 反证法 重点保分型考点——师生共研
考点一 分析法 基础送分型考点——自主练透
[题组练透] 1．已知a≥b＞0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.
证明：要证明 2a3－b3≥2ab2－a2b 成立， 只需证 2a3－b3－2ab2＋a2b≥0， 即 2a(a2－b2)＋b(a2－b2)≥0，即(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0. ∵a≥b＞0，∴a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0， 从而(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0 成立， ∴2a3－b3≥2ab2－a2b.
答案：D
2．设a＝lg 2＋lg 5，b＝ex(x＜0)，则a与b的大小关系为
A．a＞b
B．a＜b
()
C．a＝b
D．a≤b
答案：A
1．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性， 常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等 分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学 问题成立．
考点二 综合法 常考常新型考点——多角探明
[命题分析] 综合法证明问题是历年高考的热点问题，也是必考问 题之一．通常在解答题中出现． 常见的命题角度有： (1)立体几何证明题； (2)数列证明题； (3)与函数、方程、不等式结合的证明题．
[题点全练]
角度一：立体几何证明题 1．如图，在三棱锥 P-ABC 中，D，E，F 分
[即时应用]
已知x∈R，a＝x2＋
1 2
，b＝2－x，c＝x2－x＋1，试证明a，
b，c至少有一个不小于1.
证明：假设a，b，c均小于1，即a<1，b<1，c<1， 则有a＋b＋c<3， 而a＋b＋c＝2x2－2x＋12＋3＝2x－122＋3≥3， 两者矛盾，所以假设不成立， 故a，b，c至少有一个不小于1.
[典例引领] 设{an}是公比为q的等比数列． (1)推导{an}的前n项和公式； (2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．
解析
[由题悟法] 反证法证明问题的3步骤 (1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面 (否定命题)成立；(否定结论) (2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的 推理，导出矛盾——与已知条件、已知的定义、公理、定 理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾) (3)立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于 “反设”的谬误．既然原命题结论的反面不成立，从而肯 定了原命题成立．(命题成立)
2．间接证明 反证法：一般地，假设原命题_不__成__立__，经过正确的推理， 最后得出 矛盾叫做反证法．
[小题体验]
1．要证a2＋b2－1－a2b2≤0只要证明
()
A．2ab－1－a2b2≤0
B．a2＋b2－1－a4＋2 b4≤0
C．a＋2b2－1－a2b2≤0 D．(a2－1)(b2－1)≥0
2．(易错题)已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数 列，A，B，C的对边分别为a，b，c. 求证：a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c.
证明
[谨记通法] 1．利用分析法证明问题的思路 分析法的证明思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此 结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定 义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命 题得证．如“题组练透”第 2 题． 2．分析法证明问题的适用范围 当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过 程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别 是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法．
别为棱 PC，AC，AB 的中点．已知 PA ⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5. 求证：(1)直线 PA∥平面 DEF； (2)平面 BDE⊥平面 ABC.
证明
角度二：数列证明题 2．(2014·江苏高考节选)设数列{an}的前n项和为Sn.若对任
意正整数n，总存在正整数m，使得Sn＝am，则称{an} 是“H数列”． (1)若数列{an}的前n项和Sn＝2n(n∈N*)，证明：{an}是 “H数列”； (2)证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数 列”{bn}和{cn}，使得an＝bn＋cn(n∈N*)成立．
第六节
直接证明和间接证明
1．直接证明 直接证明中最基本的两种证明方法是综合法 和分析法．
(1)综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定 理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结 论成立，这种证明方法叫做综合法． 综合法又称为：由因导果法(顺推证法)．
(2)分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成 立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定 一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等) 为止，这种证明方法叫做分析法． 分析法又称为： 执果索因法 (逆推证法)．
2．利用反证法证明数学问题时，没有用假设命题推理而推 出矛盾结果，其推理过程是错误的．
[小题纠偏] 1．用分析法证明不等式 3＋ 7＜2 5成立时，________把
“ 3＋ 7＜2 5”作为已知条件．(填“能”或“不能”) 答案：不能 2．用反证法证明“如果 a＞b，那么 a3＞b3”时假设的内容为 ________． 答案：a3≤b3
角度三：与函数、方程、不等式结合的证明题
3．已知函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝a＋bx－
1 2
x2＋
1 3
x3，函数y
＝f(x)与函数y＝g(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线．
(1)求a，b的值；
(2)证明：f(x)≤g(x)．
解析
[方法归纳] 综合法证题的思路
考点三 反证法 重点保分型考点——师生共研
考点一 分析法 基础送分型考点——自主练透
[题组练透] 1．已知a≥b＞0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.
证明：要证明 2a3－b3≥2ab2－a2b 成立， 只需证 2a3－b3－2ab2＋a2b≥0， 即 2a(a2－b2)＋b(a2－b2)≥0，即(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0. ∵a≥b＞0，∴a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0， 从而(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0 成立， ∴2a3－b3≥2ab2－a2b.
答案：D
2．设a＝lg 2＋lg 5，b＝ex(x＜0)，则a与b的大小关系为
A．a＞b
B．a＜b
()
C．a＝b
D．a≤b
答案：A
1．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性， 常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等 分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学 问题成立．
考点二 综合法 常考常新型考点——多角探明
[命题分析] 综合法证明问题是历年高考的热点问题，也是必考问 题之一．通常在解答题中出现． 常见的命题角度有： (1)立体几何证明题； (2)数列证明题； (3)与函数、方程、不等式结合的证明题．
[题点全练]
角度一：立体几何证明题 1．如图，在三棱锥 P-ABC 中，D，E，F 分
[即时应用]
已知x∈R，a＝x2＋
1 2
，b＝2－x，c＝x2－x＋1，试证明a，
b，c至少有一个不小于1.
证明：假设a，b，c均小于1，即a<1，b<1，c<1， 则有a＋b＋c<3， 而a＋b＋c＝2x2－2x＋12＋3＝2x－122＋3≥3， 两者矛盾，所以假设不成立， 故a，b，c至少有一个不小于1.
[典例引领] 设{an}是公比为q的等比数列． (1)推导{an}的前n项和公式； (2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．
解析
[由题悟法] 反证法证明问题的3步骤 (1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面 (否定命题)成立；(否定结论) (2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的 推理，导出矛盾——与已知条件、已知的定义、公理、定 理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾) (3)立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于 “反设”的谬误．既然原命题结论的反面不成立，从而肯 定了原命题成立．(命题成立)
2．间接证明 反证法：一般地，假设原命题_不__成__立__，经过正确的推理， 最后得出 矛盾叫做反证法．
[小题体验]
1．要证a2＋b2－1－a2b2≤0只要证明
()
A．2ab－1－a2b2≤0
B．a2＋b2－1－a4＋2 b4≤0
C．a＋2b2－1－a2b2≤0 D．(a2－1)(b2－1)≥0
2．(易错题)已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数 列，A，B，C的对边分别为a，b，c. 求证：a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c.
证明
[谨记通法] 1．利用分析法证明问题的思路 分析法的证明思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此 结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定 义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命 题得证．如“题组练透”第 2 题． 2．分析法证明问题的适用范围 当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过 程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别 是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法．
别为棱 PC，AC，AB 的中点．已知 PA ⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5. 求证：(1)直线 PA∥平面 DEF； (2)平面 BDE⊥平面 ABC.
证明
角度二：数列证明题 2．(2014·江苏高考节选)设数列{an}的前n项和为Sn.若对任
意正整数n，总存在正整数m，使得Sn＝am，则称{an} 是“H数列”． (1)若数列{an}的前n项和Sn＝2n(n∈N*)，证明：{an}是 “H数列”； (2)证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数 列”{bn}和{cn}，使得an＝bn＋cn(n∈N*)成立．
第六节
直接证明和间接证明
1．直接证明 直接证明中最基本的两种证明方法是综合法 和分析法．
(1)综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定 理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结 论成立，这种证明方法叫做综合法． 综合法又称为：由因导果法(顺推证法)．
(2)分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成 立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定 一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等) 为止，这种证明方法叫做分析法． 分析法又称为： 执果索因法 (逆推证法)．
2．利用反证法证明数学问题时，没有用假设命题推理而推 出矛盾结果，其推理过程是错误的．
[小题纠偏] 1．用分析法证明不等式 3＋ 7＜2 5成立时，________把
“ 3＋ 7＜2 5”作为已知条件．(填“能”或“不能”) 答案：不能 2．用反证法证明“如果 a＞b，那么 a3＞b3”时假设的内容为 ________． 答案：a3≤b3