高考数学(理)二轮专题复习课件：第二部分 思想方法专项突破2-1-4
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2．在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数(或 参数)，将其看做是“主元”，而把其他变元看做是常量，从而达 到减少变元简化运算的目的．
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2018大二轮 ·数学(理)
[自我挑战Ⅲ] 设 y＝(log2x)2＋(t－2)log2x－t＋1，若 t 在[－2,2]上变化时，y 恒取正值，则 x 的取值范围是________．
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[自我挑战Ⅰ] 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a，b， c 成等差数列，则1c＋oscAos＋AccoossCC＝________.
第9页
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解析：令 a＝b＝c，则△ABC 为等边三角形， 且 cos A＝cos C＝12， 代入所求式子，得1c＋oscAos＋AccoossCC＝1＋12＋12×12 12＝45. 答案：45
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解得－23＜x＜1. 故当 x∈－23，1时，对满足－1≤a≤1 的一切 a 的值，都有 g(x)＜0.
答案：－23，1
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1．本题是把关于 x 的函数转化为在[－1,1]内关于 a 的一次函 数小于 0 恒成立的问题．
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角度二 正与反的转化 [典例 2] 若对于任意 t∈[1,2]，函数 g(x)＝x3＋m2 ＋2x2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数 m 的取值范围是________．
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解析：g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2， 若 g(x)在区间(t,3)上总为单调函数， 则①g′(x)≥0 在(t,3)上恒成立， 或②g′(x)≤0 在(t,3)上恒成立．(正反转化) 由①得 3x2＋(m＋4)x－2≥0，即 m＋4≥2x－3x， 当 x∈(t,3)时恒成立，∴m＋4≥2t －3t，t∈[1,2]恒成立，
解析：当 a＝0 时，函数 f(x)＝－3x，x∈[－1,1]，显然满足条 件，故排除选项 A，B；
当 a＝－32时，函数 f(x)＝32x3－92x，f′(x)＝92x2－92＝92(x2－1)， 当－1≤x≤1 时，f′(x)≤0，所以 f(x)在[－1,1]上单调递减， 所以 f(x)min＝f(1)＝32－92＝－3，满足条件，故排除 C. 综上，选 D.
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Hale Waihona Puke 2018大二轮 ·数学(理)
则 m＋4≥－1，即 m≥－5；
由②得 3x2＋(m＋4)x－2≤0，即 m＋4≤2x－3x， 当 x∈(t,3)时恒成立，
则 m＋4≤23－9，即 m≤－337. ∴函数 g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的 m 的取值范围为
－337，－5. 答案：－337，－5
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角度一 特殊与一般的转化
[典例 1] 已知函数 f(x)＝(a－3)x－ax3 在[－1,1]上的最小值为
－3，则实数 a 的取值范围是( D )
A．(－∞，－1]
B．[12，＋∞)
C．[－1,12]
D.－32，12
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常用的“特殊元素”有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊 图形、特殊角、特殊位置等．对于选择题，在题设条件都成立的情 况下，用特殊值探求正确选项，即通过对特殊情况的研究来判断一 般规律；对于填空题，当结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答 案是一个定值时，可以用特殊值代替变化的不定量．
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专题一 思想方法突破
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角度一 角度二 角度三
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四 转化与化归思想
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转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种 手段将问题通过变换使之转化，进而解决问题的一种方法．一般总 是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变 换转化为易解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问 题.
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解析：设 y＝f(t)＝(log2x－1)t＋(log2x)2－2log2x＋1，则 f(t)是一 次函数，当 t∈[－2,2]时，f(t)＞0 恒成立，则由ff2－＞20＞，0，
即lloogg22xx22－－14＞log02，x＋3＞0， 解得 log2x＜－1 或 log2x＞3. 即 0＜x＜12或 x＞8，故 x 的取值范围是0，12∪(8，＋∞)． 答案：0，12∪(8，＋∞)
第22页
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解析：由题意，知 g(x)＝3x2－ax＋3a－5， 令 φ(a)＝(3－x)a＋3x2－5，－1≤a≤1.(主次转化)
对－1≤a≤1，恒有 g(x)＜0，即 φ(a)＜0，
∴φφ1－＜10＜，0，
D
即33xx22－ ＋xx－ －28＜ ＜00， ，
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角度三 主与次的转化 [典例 3] 已知函数 f(x)＝x3＋3ax－1，g(x)＝f′(x)－ax－5， 其中 f′(x)是 f(x)的导函数．对满足－1≤a≤1 的一切 a 的值，都有 g(x)＜0，则实数 x 的取值范围为________．
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1．本题是正与反的转化，由于不为单调函数有多种情况，先 求出其反面，体现“正难则反”的原则．
2．题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少， 从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”及 否定性命题情形的问题中．
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[自我挑战Ⅱ]
由命题“存在 x0∈R，使 e|x0－1|－m≤0”是假命题，得 m 的取
值范围是(－∞，a)，则实数 a 的取值是( C )
A．(－∞，1)
B．(－∞，2)
C．1
D．2
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解析：选 C.命题“存在 x0∈R，使 e|x0－1|－m≤0”是假命题， 可知它的否定形式“任意 x∈R，使 e|x－1|－m＞0”是真命题，可得 m 的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a)与(－∞，1)为同一区间， 故 a＝1.
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[自我挑战Ⅲ] 设 y＝(log2x)2＋(t－2)log2x－t＋1，若 t 在[－2,2]上变化时，y 恒取正值，则 x 的取值范围是________．
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[自我挑战Ⅰ] 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a，b， c 成等差数列，则1c＋oscAos＋AccoossCC＝________.
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解析：令 a＝b＝c，则△ABC 为等边三角形， 且 cos A＝cos C＝12， 代入所求式子，得1c＋oscAos＋AccoossCC＝1＋12＋12×12 12＝45. 答案：45
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解得－23＜x＜1. 故当 x∈－23，1时，对满足－1≤a≤1 的一切 a 的值，都有 g(x)＜0.
答案：－23，1
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1．本题是把关于 x 的函数转化为在[－1,1]内关于 a 的一次函 数小于 0 恒成立的问题．
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角度二 正与反的转化 [典例 2] 若对于任意 t∈[1,2]，函数 g(x)＝x3＋m2 ＋2x2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数 m 的取值范围是________．
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解析：g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2， 若 g(x)在区间(t,3)上总为单调函数， 则①g′(x)≥0 在(t,3)上恒成立， 或②g′(x)≤0 在(t,3)上恒成立．(正反转化) 由①得 3x2＋(m＋4)x－2≥0，即 m＋4≥2x－3x， 当 x∈(t,3)时恒成立，∴m＋4≥2t －3t，t∈[1,2]恒成立，
解析：当 a＝0 时，函数 f(x)＝－3x，x∈[－1,1]，显然满足条 件，故排除选项 A，B；
当 a＝－32时，函数 f(x)＝32x3－92x，f′(x)＝92x2－92＝92(x2－1)， 当－1≤x≤1 时，f′(x)≤0，所以 f(x)在[－1,1]上单调递减， 所以 f(x)min＝f(1)＝32－92＝－3，满足条件，故排除 C. 综上，选 D.
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则 m＋4≥－1，即 m≥－5；
由②得 3x2＋(m＋4)x－2≤0，即 m＋4≤2x－3x， 当 x∈(t,3)时恒成立，
则 m＋4≤23－9，即 m≤－337. ∴函数 g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的 m 的取值范围为
－337，－5. 答案：－337，－5
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角度一 特殊与一般的转化
[典例 1] 已知函数 f(x)＝(a－3)x－ax3 在[－1,1]上的最小值为
－3，则实数 a 的取值范围是( D )
A．(－∞，－1]
B．[12，＋∞)
C．[－1,12]
D.－32，12
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常用的“特殊元素”有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊 图形、特殊角、特殊位置等．对于选择题，在题设条件都成立的情 况下，用特殊值探求正确选项，即通过对特殊情况的研究来判断一 般规律；对于填空题，当结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答 案是一个定值时，可以用特殊值代替变化的不定量．
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转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种 手段将问题通过变换使之转化，进而解决问题的一种方法．一般总 是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变 换转化为易解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问 题.
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解析：设 y＝f(t)＝(log2x－1)t＋(log2x)2－2log2x＋1，则 f(t)是一 次函数，当 t∈[－2,2]时，f(t)＞0 恒成立，则由ff2－＞20＞，0，
即lloogg22xx22－－14＞log02，x＋3＞0， 解得 log2x＜－1 或 log2x＞3. 即 0＜x＜12或 x＞8，故 x 的取值范围是0，12∪(8，＋∞)． 答案：0，12∪(8，＋∞)
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解析：由题意，知 g(x)＝3x2－ax＋3a－5， 令 φ(a)＝(3－x)a＋3x2－5，－1≤a≤1.(主次转化)
对－1≤a≤1，恒有 g(x)＜0，即 φ(a)＜0，
∴φφ1－＜10＜，0，
D
即33xx22－ ＋xx－ －28＜ ＜00， ，
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角度三 主与次的转化 [典例 3] 已知函数 f(x)＝x3＋3ax－1，g(x)＝f′(x)－ax－5， 其中 f′(x)是 f(x)的导函数．对满足－1≤a≤1 的一切 a 的值，都有 g(x)＜0，则实数 x 的取值范围为________．
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1．本题是正与反的转化，由于不为单调函数有多种情况，先 求出其反面，体现“正难则反”的原则．
2．题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少， 从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”及 否定性命题情形的问题中．
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由命题“存在 x0∈R，使 e|x0－1|－m≤0”是假命题，得 m 的取
值范围是(－∞，a)，则实数 a 的取值是( C )
A．(－∞，1)
B．(－∞，2)
C．1
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解析：选 C.命题“存在 x0∈R，使 e|x0－1|－m≤0”是假命题， 可知它的否定形式“任意 x∈R，使 e|x－1|－m＞0”是真命题，可得 m 的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a)与(－∞，1)为同一区间， 故 a＝1.