高考数学答题模板：第3讲空间中的平行与垂直问题Word版含解析

第 3 讲空间中的平行与垂直问题
例 4 如下图，在四棱锥P—ABCD 中，底面 ABCD 是边长为a 的正方形， E、 F 分别为 PC、
2
BD 的中点，侧面PAD ⊥底面 ABCD ，且 PA＝ PD ＝2 AD .
(1)求证： EF ∥平面 PAD ；
(2)求证：平面 PAB⊥平面 PCD .
审题破题(1) 依据中位线找线线平行关系，再利用线面平行的判断定理．(2)先利用线面垂直的判断定理，再利用性质定理．
证明 (1)连结 AC，则 F 是 AC 的中点，又∵ E 为 PC 的中点，
∴在△CPA 中， EF ∥PA，
又∵PA? 平面 PAD ，
EF?平面 PAD，
∴EF∥平面 PAD .
(2)∵平面 PAD ⊥平面 ABCD ，
平面 PAD∩平面 ABCD ＝ AD ，
又∵CD⊥ AD ，
∴ CD⊥平面 PAD ，∴ CD ⊥ PA.
2
又 PA＝PD＝2 AD，
∴△ PAD 是等腰直角三角形，
且∠APD ＝ 90°，即 PA⊥ PD.
又∵CD∩ PD ＝ D，∴ PA⊥平面 PCD ，
又∵PA? 平面 PAB ，
∴平面 PAB⊥平面 PCD .
建立答题模板
第一步：将题目条件和图形联合起来；
第二步：依据条件找寻图形中的平行、垂直关系；
第三步：和要证结论相联合，找寻已知的垂直、平行关系和要证关系的联系；
第四步：严格依据定理条件书写解题步骤.
对点训练 4 如图，四棱锥 P－ABCD 中， AB⊥ AC， AB⊥ PA， AB∥ CD ， AB＝ 2CD ， E，F ， G，M， N 分别为 PB ，AB，BC ，PD ， PC 的中点．
(1)求证： CE∥平面 PAD；
(2)求证：平面 EFG ⊥平面 EMN .
证明 (1)方法一取 PA 的中点 H，连结 EH，DH .
又 E为 PB的中点，
1
所以 EH 綊2AB.
1
又 CD 綊2AB，所以 EH 綊 CD.
所以四边形DCEH 是平行四边形，所以CE∥ DH .
又 DH ? 平面 PAD， CE?平面 PAD.
所以 CE∥平面 PAD.
1
方法二连结 CF .由于 F 为 AB 的中点，所以AF＝2AB.
1
又 CD＝2AB，所以 AF＝ CD .
又 AF∥ CD ，所以四边形 AFCD 为平行四边形．所以 CF ∥AD ，
又 AD? 平面 PAD， CF ?平面 PAD，所以 CF ∥平面 PAD .
由于 E， F 分别为 PB，AB 的中点，所以EF∥ PA.
又 PA? 平面 PAD ，EF ?平面 PAD ，所以 EF ∥平面 PAD .
由于 CF∩ EF＝F，故平面CEF ∥平面 PAD .
又 CE? 平面 CEF ，所以 CE∥平面 PAD.
(2)由于 E、 F 分别为 PB、 AB 的中点，所以 EF ∥PA.
又由于 AB⊥ PA，所以 EF ⊥ AB，同理可证AB⊥ FG .
又由于 EF∩ FG＝ F， EF? 平面 EFG ， FG? 平面 EFG .
所以 AB⊥平面 EFG.
又由于 M， N 分别为 PD ，PC 的中点，所以MN ∥CD ，又 AB∥ CD ，所以 MN∥ AB，所以 MN⊥平面 EFG .
又由于 MN ? 平面 EMN ，所以平面EFG ⊥平面 EMN .。