2021-2022学年广西河池市八校高二(上)第一次联考数学试卷(理科)(附答案详解)

2021-2022学年广西河池市八校高二（上）第一次联考数
学试卷（理科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知集合A={(x,y)|x2+y2=4，x≥0}，B={(s,t)|s=t−1}，则集合A∩B的
元素个数为()
A. 5
B. 1
C. 4
D. 6
2.已知m，n，c为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列说法正确的
是()
A. 若m//α，n⊂α，则m//n
B. 若m⊂α，n⊂β且α//β，则m//n
C. α//β，m//β，则m//α
D. 若α∩β=m，β∩γ=n，γ∩α=c且m//n，则m//c
3.已知圆x2+y2−2x+8y+13=0被直线y=mx−1截得的弦长为2√3，则m=
()
A. 2
B. −4
3C. √2 D. 4
3
4.用1，2，3三个数字组成的没有重复数字的三位数中，其中三位数为奇数的概率是
()
A. 2
3B. 1
3
C. 1
2
D. 3
4
5.已知向量a⃗=(4,6),b⃗ =(m,8)且a⃗⊥(a⃗−b⃗ )，则m=()
A. 2
B. 1
C. −2
D. 4
6.将函数f(x)=sin(2x+π
3)的图象向右平移π
3
个单位，得到的函数图象的一条对称轴
的方程为()
A. x=−π
16B. x=π
12
C. x=−π
12
D. x=π
7.在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若√3bsinA=acosB，则cosB=
()
A. √2
2B. 1
2
C. −1
2
D. √3
2
8.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a4+a6=10，则S9=()
A. 38
B. 50
C. 36
D. 45
9.已知△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若a+b=4，c=√7，C=π
3
，则△ABC的面积为()
A. 3√3
4
B. 2√3
C. 4
D. 3√2
10.已知等比数列{a n}中，a2=2，a5=−16，则公比q=()
A. 2
B. −2
C. −1
2D. 1
2
11.已知△ABC中，a=2√2，b=√3，B=π
6
，那么满足条件的△ABC()
A. 有两个解
B. 有一个解
C. 无解
D. 不确定
12.下列结论正确的是()
A. 对于实数a，b，一定存在实数c使c为a，b的等差数列
B. 对于实数a，b，一定存在实数c使c为a，b的等比数列
C. 若等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，则S n=a1(1−q n)
1−q
D. 若数列{a n}的前n项和为S n是关于n的一元二次函数，则{a n}是等差数列
二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.数列{a n}的前五项是1，2，√7，√10，√13，则{a n}的一个通项公式为______．
14.记S n为等比数列{a n}的前n项，若a1=2，且3S1、2S2、S3成等差数列，则S10=______．
15.如图△ABC中，已知点D在BC边上，∠DAC=π
2，cos∠BAC=−√15
8
，AB=4，AD=3，
则CD=______．
16.已知数列{a n}满足a n+2−a n=1+(−1)n且a1=2，a2=3，则S20=______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.某企业质管部门，对某条生产线上生产的产品随机抽取100件进行相关数据的对比，
并对每个产品进行综合评分(满分100分)，如图是这100件产品的综合评分的频率分布直方图．若将综合评分大于等于80分以上的产品视为优等品．
(1)求这100件产品中优等品的件数；
(2)求这100件产品的综合评分的中位数．
18. 如图，从山顶A 到山脚C 有两条线路供游人选择，一条
从A 沿直线路径步行到达C ，另一条从A 乘缆车到达B 后，然后沿直线路径BC 步行到C ，已知AB =1040米，经测量得cosC =3
5，sinA =5
13(且A 为锐角)． (1)求路径AC 的长；
(2)甲从A 以50m/min 的速度沿AC 步行1min 后，乙乘缆车以130m/min 的速度驶向B ，求甲出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最小．
19. 设等差数列{a n }的前n 项和为T n ，已知a 1=−16，a 3+a 5=−20．
(1)求{a n }的通项公式；
(2)设b n =|a n |(n ∈N +)，求数列{b n }的前n 项和S n ．
20. 已知函数f(x)=ln(√x 2+1−x)．
(1)判断f(x)的奇偶性；
(2)设g(x)={f(x),x ≥0
ax +b,x <0，若g(x)为R 上的单调函数，求实数a ，b 的取值范围．
21. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且2acosB +2bcosA =ac ．
(1)求a 的值； (2)若A =2π3
，求△ABC 周长的取值范围．
22. 已知数列{a n }的前n 项和S n =2n+1+A ，若{a n }为等比数列．
(1)求实数A 及{a n }的通项公式；
(2)设b n =log 2a n ，求数列{a n b n }的前n 项和T n ．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：集合A表示半圆x2+y2=4(x≥0)上的点构成的集合，集合B表示直线x= y−1上的点构成的集合，
则集合A∩B的元素为半圆x2+y2=4(x≥0)与直线x=y−1交点，
画出图形，如图所示，
由图像可知半圆x2+y2=
4(x≥0)与直线x=y−1
只有一个交点，
所以集合A∩B的元素个数
为1，
故选：B．
由题意可知集合A表示半圆
x2+y2=4(x≥0)上的点构成的集合，集合B表示直线x=y−1上的点构成的集合，画出图形可知半圆x2+y2=4(x≥0)与直线x=y−1的交点个数，从而得到集合A∩B 的元素个数．
本题主要考查了集合的交集运算，考查了数形结合的数学思想，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：对于A、若m//α，n⊂α，则m//n或m与n异面，故A错误；
对于B、若m⊂α，n⊂β且α//β，则m//n或m与n异面，故B错误；
对于C、若α//β，m//β，则m//α或m⊂α，故C错误；
对于D、∵m//n，n⊂γ，m⊄γ，∴m//γ，
∵γ∩α=c，m⊂α，∴m//c，故D正确．
故选：D．
由直线与平面平行分析线面关系判定A；由两平行平面内两直线的位置关系判定B；由平面与平面平行、直线与平面平行分析线面关系判定C；直接证明D正确．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
【解析】解：圆的方程即(x−1)2+(y+4)2=4，
所以圆心为(1,−4)，半径为2，
设圆心到直线的距离为d，则2√4−d2=2√3，解得d=1，
据此可得：
√1+m2=1，解得m=−4
3
．
故选：B．
首先的圆的圆心和半径，然后求得圆心到直线的距离，最后结合点到直线距离公式即可求得m的值．
本题主要考查圆的弦长公式，点到直线距离公式及其应用等知识，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：∵用数字1，2，3组成没有重复数字的三位数，基本事件总数n=A33=6，其中三位数是奇数包含的基本事件数m=C21⋅A22=4，
∴三位数是奇数的概率为p=m
n =4
6
=2
3
．
故选：A．
求出基本事件总数和其中三位数是奇数包含的基本事件个数，由此能求出其中三位数是奇数的概率．
本题考查古典概型概率的求法，考查排列组合等基础知识，是基础题．
5.【答案】B
【解析】解：∵向量a⃗=(4,6),b⃗ =(m,8)，且a⃗⊥(a⃗−b⃗ )，
∴a⃗⋅(a⃗−b⃗ )=a⃗2−a⃗⋅b⃗ =(16+36)−(4m+48)=0，∴m=1，
故选：B．
由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得m的值．
本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．
【解析】解：将函数f(x)=sin(2x+π
3)的图象向右平移π
3
个单位长度，
得到函数g(x)=sin(2x−π
3)的图象，令2x−π
3
=kπ+π
2
，求得x=kπ
2
+5π
12
，k∈Z，
则函数g(x)的图象的对称轴防为x=kπ
2+5π
12
，k∈Z，
令k=−1，可得g(x)图象的一条对称轴可以是x=−π
12
，
故选：C．
由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：因为√3bsinA=acosB，
由正弦定理得√3sinBsinA=sinAcosB，
因为sinA>0，
所以√3sinB=cosB，即tanB=√3
3
，
由B为三角形内角得B=π
6
则cosB=√3
2
．
故选：D．
由已知结合正弦定理及同角基本关系进行化简可求tanB，进而可求B．
本题主要考查了正弦定理，同角基本关系在求解三角中的应用，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：由{a n}是等差数列，得S9=9
2(a1+a9)=9
2
(a4+a6)=9
2
×10=45．
故选：D．
直接利用S9=9
2(a1+a9)=9
2
(a4+a6)进行求解即可．
本题考查等差数列的性质，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．9.【答案】A
【解析】解：因为a+b=4，c=√7，C=π
3
，
由余弦定理得cosC=a2+b2−c2
2ab =(a+b)2−2ab−7
2ab
=16−2ab−7
2ab
，
解得ab=3，
则△ABC的面积S=1
2absinC=1
2
×3×√3
2
=3√3
4
．
故选：A．
由已知结合余弦定理先求出ab，然后结合三角形面积公式可求．
本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于基础题．10.【答案】B
【解析】解：根据题意，等比数列{a n}中，a2=2，a5=−16，
则q3=a5a
2
=−8，则q=−2；
故选：B．
根据题意，由等比数列的通项公式可得q3=a5a
2
=−8，变形可得答案．
本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的性质，属于基础题．
11.【答案】A
【解析】解：△ABC中，a=2√2，b=√3，B=π
6
，
由正弦定理得，a
sinA =b
sinB
，sinA=asinB
b
=2√2×
1
2
√3
=√6
3
<1，
由a>b，所以A∈(0,π)，所以A的值有2个，那么满足条件的△ABC有两个解．故选：A．
根据正弦定理与三角形的大边对大角关系，即可判断满足条件的△ABC有两个．本题考查了解三角形的应用问题，也考查了边角关系判断问题，是基础题．
12.【答案】A
，为a，b的等差数列，因此正【解析】解：A.对于实数a，b，一定存在实数c使c=a+b
2
确；
B.对于实数a，b，不一定存在实数c使c为a，b的等比数列，例如a=0，b=1，因此不正确；
C.等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，则q=1时，S n=na1；q≠1时，S n=a1(1−q n)
，
1−q
因此不正确；
D.数列{a n}的前n项和为S n是关于n的一元二次函数，则{a n}不一定是等差数列，例如
S n=n2+n+1，因此不正确．
故选：A．
A.取c=a+b
，可得c为a，b的等差数列，即可判断出正误；
2
B.取a=0，b=1，根据等比数列的定义即可判断出正误；
C.对q分类讨论，即可判断出正误；
D.取S n=n2+n+1，即可判断出正误．
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式及其定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
13.【答案】a n=√3n−2
【解析】解：根据题意，对于数列{a n}，a1=√3×1−2=1，
a2=√3×2−2=√4=2，
a3=√3×3−2=√7，
a4=√3×4−2=√10，
……
故a n=√3n−2，
故答案为：a n=√3n−2．
根据题意，分析数列的各项变化的规律，归纳可得答案．
本题考查数列的表示方法，涉及数列的通项公式的定义，属于基础题．
14.【答案】310−1
【解析】解：3S1、2S2、S3成等差数列，
所以4(a1+a2)=3a1+(a1+a2+a3)，
整理得a3=3a2，
所以公比q=3，
所以S10=2×(1−310)
1−3
=310−1，
故答案为310−1．
由条件3S1、2S2、S3成等差数列先求出公比，代入求和公式运算．本题考查了等比数列前n项和，属于基础题．
15.【答案】12
【解析】解：由题意可知∠BAC=∠BAD+π
2且cos∠BAC=−√15
8
，
∴cos∠BAD=7
8
，
在△ABD中，由余弦定理得，BD=√AB2+AD2−2AB⋅ADcos∠BAD=
√16+9−2×4×3×7
8
=2，
cos∠ADB=AD2+DB2−AB2
2BD⋅DA =9+4−16
2×2×3
=−1
4
，
∴在直角三角形△ADC中，∠DAC=π
2
，
cos∠ADC=−cos∠ADB=1
4=AD
DC
，
∴CD=12，
故答案为：12．
利用题中的条件计算出BD的长，在三角形ABD中利用余弦定理计算出角∠ADB的余弦值，即可解出．
本题考查了三角形的几何计算，学生的数学运算能力，属于基础题．
16.【答案】140
【解析】解：根据题意，数列{a n}满足a n+2−a n=1+(−1)n，n∈N∗，a1=2，
又由a1=2，则a3−a1=1+(−1)1=0，则有a1=a3=2，
则a 5−a 3=1+(−1)3=0，则有a 3=a 5=2，
则a 7−a 5=1+(−1)5=0，则有a 5=a 7=2，
则a 9−a 7=1+(−1)7=0，则有a 5=a 9=2，
同理数列的奇数项都是2，
又由a 2=3，则a 4−a 2=1+(−1)2=2，则有a 4=5，
则a 6−a 4=1+(−1)4=2，则有a 6=7，
则a 8−a 6=1+(−1)6=2，则有a 8=9，
所以数列的偶数项是等差数列，公差为2，
则该数列的前20项之和S 20=(a 1+a 3+a 5+⋅⋅⋅+a 17+a 19)+(a 2+a 4+a 6+⋅⋅⋅+a 20)=20+(3×10+
10×92×2)=140，
故答案为：140．
根据题意，由数列的递推公式求出数列的前20项，相加即可得答案．
本题考查数列的求和，注意分析数列的特点，确定求和的方法，
17.【答案】解：(1)由频率和为1得：(0.005+0.010+0.025+a +0.020)×10=1， 解得a =0.040，
所以优等品件数为(0.02+0.04)×10×100=60．
(2)设综合评分的中位数为x ，
则(0.005+0.010+0.025)×l0+0.040×(x −80)=0.5，
解得x =82.5，
所以综合评分的中位数为82.5．
【解析】(1)首先由频率和为1求出a 的值，然后可算出答案；
(2)设综合评分的中位数为x ，根据频率分布直方图可得(0.005+0.010+0.025)×10+0.040×(x −80)=0.5，解出即可．
本题考查由直方图求频数、频率，考查频率公式，频率分布直方图坐标轴的应用，属于基础题．
18.
【答案】解：(1)在△ABC 中，cosC =35，sinA =513，A 为锐角，所以sinC =45，cosA =1213， 所以sinB =sin(A +C)=sinAcosC +cosAsinC =513×35+1213×45=6365，
由正弦定理AC
sinB =AB
sinC
，解得AC=ABsinB
sinC
=1040×
63
65
4
5
=1260，
所以路径AC的长为1260米．
(2)假设甲出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，
此时，甲行走了50t米，乙距离A处130(t−1)米，
由余弦定理得：
d2=(50t)2+16900(t−1)2−2⋅50t⋅130(t−1)×12
13 =7400t2−21800t+16900
=100(74t2−218t+169)，1≤t≤9，
所以当t=218
2×74=109
74
时，即甲出发109
74
分钟后，乙在缆车上与甲的距离最小．
【解析】(1)利用三角恒等变换求出sinB，再利用正弦定理求出AC的值．
(2)设甲出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，利用余弦定理列出关于t的二次函数，从而求得函数取最小值时对应t的值．
本题考查了余弦定理，锐角三角函数的定义应用问题，也考查了数形结合思想，是中档题．
19.【答案】解：(1)等差数列{a n}的前n项和为T n，已知a1=−16，a3+a5=−20．可得−16+2d−16+4d=−20，解得d=2，
所以{a n}的通项公式：a n=−16+(n−1)×2=2n−18．
(2)2n−18=0，解得n=9，所以数列从第十项起，以后各项为整数，
b n=|a n|(n∈N+)，数列{b n}的前n项和S n．
当n≤9时，S n=−(na1+n(n−1)
2
⋅d)=16n−n2−n=15n−n2．
当n>9时，S n=na1+n(n−1)
2
⋅d−2S9=−16n+n2−n+144=n2−17n+144．
∴S n={15−n 2,n≤9
n2−17n+144,n>9
．
【解析】(1)利用等差数列的通项公式求解公差，然后求解通项公式．
(2)判断数列{a n}变号的项，然后转化求解数列{b n}的前n项和S n．
本题考查等差数列的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
20.【答案】解：(1)f(x)=ln(√x2+1−x)定义域为R，
=−ln(√1+x2−x)=−f(x)，
则f(−x)=ln(√x2+1+x)=
√1+x2−x
所以f(x)为奇函数；
(2)因为f(x)=ln(√x2+1−x)=
，
√1+x2+x
单调递减，
当x≥0时，y=
√1+x2+x
根据复合函数单调性可知，当x≥0时，f(x)单调递减且f(x)≤0，
又g(x)为R上的单调函数，
故y=ax+b在x<0时单调递减且b≥f(0)=0，
所以a<0，b≥0．
【解析】(1)先判断函数的定义域，然后检验f(−x)与f(x)的关系即可判断；
(2)先判断f(x)的单调性，然后结合复合函数单调性及一次函数单调性与参数关系可求．本题主要考查了函数奇偶性及单调性的应用，还考查了分段函数单调性的应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)因为2acosB+2bcosA=ac，
由正弦定理得2sinAcosB+2sinBcosA=asinC，
即2sin(A+B)=asinC，
所以2sinC=asinC，
因为sinC>0，
所以a=2；
(2)因为A=2π
，
3
)2，
由余弦定理得a2=4=b2+c2+bc=(b+c)2−bc≥(b+c)2−(b+c
2
当且仅当b=c时取等号，
，
解得b+c≤4√3
3
因为b+c>a=2，
所以4<a+b+c≤2+4√3
3
+2].
故△ABC周长a+b+c的取值范围(4,4√3
3
【解析】(1)由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简，即可求解a；
(2)由已知结合余弦定理及三角形两边之和大于第三边可求三角形周长范围．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式，还考查了三角形三边关系的应用，属于中档题．
22.【答案】解：(1)根据题意，数列{a n}的前n项和S n=2n+1+A，
则a1=S1=22+A=4+A，
a2=S2−S1=(23+A)−(22+A)=4，
a3=S3−S2=(24+A)−(23+A)=8，
又由{a n}为等比数列，则a1×a3=(a2)2，即(4+A)×8=42=16，
解可得A=−2，
则a1=4−2=2，即数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，则a n=2n，
(2)设b n=log2a n，则设b n=log2a n=log22n=n，
则a n b n=n×2n，
故T n=1×2+2×22+3×23+⋯…+n×2n，①
则有2T n=1×22+2×23+⋯…+(n−1)×2n+n×2n+1，②
①−②可得：−T n=2+22+23+⋯…+2n−n×2n+1=(1−n)2n+1−2，
变形可得：T n=(n−1)2n+1+2，
故T n=(n−1)2n+1+2．
【解析】(1)根据题意，求出数列{a n}前三项的表达式，由等比数列的性质可得关于A的方程，解可得A的值，即可得等比数列的首项和公比，计算可得答案；
(2)根据题意，由(1)的结论，求出数列{a n b n}的通项公式，由错位相减法分析可得答案．本题考查数列的求和，涉及等比数列的通项公式以及前n项和公式的应用，属于中档题．。