20-21版：1.4.2 微积分基本定理(一)（步步高）

12x2－13x3＋ln
x21
＝12×22－13×23＋ln
2－12－13＋ln
1
＝ln 2－56.
(2)
π 2 0
cos2
x 2
sin2
x 2
dx
；
解
π 2 0
cos2
x 2
sin2
x 2
dx＝
π
2 cos xdx ＝sin
0
x
π
|02 ＝1.
(3)ʃ94 x(1＋ x)dx.
解 ʃ94 x(1＋ x)dx
反思 感悟
分段函数的定积分的求法 (1)利用定积分的性质转化为各区间上定积分的和计算. (2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值符号，转化为分段函数 的定积分再计算.
1＋2x，0≤x≤1，
跟踪训练2 (1)f(x)＝ x2，1<x≤2，
求ʃ20f(x)dx.
解 ʃ20f(x)dx ＝ʃ10(1＋2x)dx＋ʃ21x2dx ＝(x＋x2)|10＋ 13x321＝2＋73＝133.
本课结束
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PART TWO
多维探究
一、求定积分
命题角度1 求简单函数的定积分 例1 计算定积分： (1)ʃ10(2x＋ex)dx；
解 ʃ10(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|10 ＝(1＋e1)－(0＋e0)＝e.
(2)ʃ211x－3cos
xdx；
解
ʃ211x－3cos
xdx＝(ln
x－3sin
x)|21
跟踪训练3 已知x∈(0,1]，f(x)＝ʃ10 (1－2x＋2t)dt，则f(x)的值域是___[0_,_2_)__.
解析 f(x)＝ʃ10(1－2x＋2t)dt ＝(t－2xt＋t2)|10＝－2x＋2(x∈(0,1]). ∴f(x)的值域为[0,2).
3 随堂演练
PART THREE
1.若ʃa12x＋1xdx＝3＋ln 2，则 a 的值是
反思
感悟 (1)当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和的形式， 便于求得函数F(x). (2)由微积分基本定理求定积分的步骤 第一步：求被积函数f(x)的一个原函数F(x). 第二步：计算函数的增量F(b)－F(a).
跟踪训练1 计算定积分：
(1)ʃ21x－x2＋1xdx；
解
ʃ21x－x2＋1xdx＝
二、利用定积分求参数
例3 (1)已知t>0，f(x)＝2x－1，若 ʃt0 f(x)dx＝6，则t＝___3___； 解析 ʃt0f(x)dx＝ʃt0(2x－1)dx＝t2－t＝6， 解得t＝3或－2，∵t>0，∴t＝3.
(2)已知2≤ʃ21 (kx＋1)dx≤4，则实数k的取值范围为__23_，__2___.
解析 ʃ21(kx＋1)dx＝ 12kx2＋x21＝32k＋1. 由 2≤32k＋1≤4，得23≤k≤2.
引申探究 1.若将本例(1)中的条件改为ʃt0f(x)dx＝f 2t ，求 t. 解 由 ʃt0f(x)dx＝ʃt0(2x－1)dx＝t2－t， 又 f 2t ＝t－1，∴t2－t＝t－1，得 t＝1.
3 2.
C.12
√D.
3 2
1234
3.已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，ʃ10 f(x)dx＝－2.求a，b，c的值.
解 ∵f(－1)＝2，∴a－b＋c＝2，
①
f′(x)＝2ax＋b，f′(0)＝b＝0，
②
ʃ10f(x)dx＝ʃ10(ax2＋c)dx＝ 13ax3＋cx10
第一章 §1.4 定积分与微积分基本定理
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义. 2.会利用微积分基本定理求函数的积分.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
知识梳理 题型探究 随堂演练
1 知识梳理
PART ONE
知识点 微积分基本定理
(1)微积分基本定理 ①条件：F′(x)＝f(x)，且f(x)在[a，b]上可积. ②结论：ʃbaf(x)dx＝ F(b)－F(a) . ③符号表示：ʃbaf(x)dx＝_F_(x_)_ab__＝ F(b)－F(a) .
＝(ln 2－3sin 2)－(ln 1－3sin 1) ＝ln 2－3sin 2＋3sin 1.
(3)
π 2 0
sin
x 2
cos
x 2
2
dx
解
∵sin
2x－cos
2x2＝1－2sin
x 2cos
2x＝1－sin x，
∴
π 2 0
sin
x 2
cos
x 2
2dx
＝
π 2 0
1 sin x
(2)常见函数的定积分公式
①ʃbaCdx＝Cxab (C 为常数). ②ʃbaxndx＝n＋1 1xn＋1ba(n≠－1).
③ʃbasin
xdx＝－cos
x b a
.④ʃbacos
xdx＝sin
x b a
.
⑤ʃba 1xdx＝ln xba(b>a>0).⑥ʃbaexdx＝exab . ⑦ʃbaaxdx＝lnaxaba(a>0，且 a≠1).
＝13a＋c＝－2，
③
由①②③可得a＝6，b＝0，c＝－4.
1234
4x－2π，0≤x≤π2，
4.已知
f(x)＝ cos
x，π2<x≤π，
计算：ʃπ0f(x)dx.
1234
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.求定积分的一些常用技巧 (1)对被积函数，要先化简，再求积分. (2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和. (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分. 2.由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要 把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x轴下方的 图形面积要取定积分的相反数.
(2)求ʃ2－2|x2－x|dx 的值.
x2－x，－2≤x<0， 解 ∵|x2－x|＝x－x2，0≤x≤1，
x2－x，1<x≤2， ∴ʃ2－2|x2－x|dx
＝ʃ0－2(x2－x)dx＋ʃ10(x－x2)dx＋ʃ21(x2－x)dx
＝13x3－12x20－2＋12x2－13x310＋ 13x3－12x221 ＝134＋16＋56＝137.
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.若F′(x)＝f(x)，则F(x)唯一.( × ) 2.微积分基本定理中，被积函数f(x)是原函数F(x)的导数.( √ )
3.应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数.
(√ )
2 题型探究
＝ʃ94(
x＋x)dx＝
2 3
3
x2
1 2
x2
9 4＝ 2 33 Nhomakorabea92
1 2
92
2 3
3
42
1 2
42
＝
271. 6
命题角度2 求分段函数的定积分
sin x，0≤x<π2， 例 2 (1)求函数 f(x)＝1，π2≤x≤2，
x－1，2<x≤4
在区间[0,4]上的定积分；
π
2
解 ʃ40f(x)dx＝ 2 sin xdx＋ π 1dx＋ʃ42(x－1)dx 0
2.若将本例(1)中的条件改为 ʃt0f(x)dx＝F(t)，求F(t)的最小值.
解 F(t)＝ʃt0f(x)dx＝t2－t＝t－122－14(t>0)， 当 t＝12时，F(t)min＝－14.
反思
感悟 (1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用 微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提. (2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f(x)、积分上限 与积分下限、积分区间与函数F(x)等概念.
A.5
B.4
C.3
解析 ʃa12x＋1xdx＝ʃa12xdx＋ʃa11xdx ＝x2|a1＋ln x|a1＝a2－1＋ln a＝3＋ln 2，
解得a＝2.
√D.2
1234
2.
π 3 0
1
2
sin
2
2
d
等于
A.－
3 2
B.－12
解析
π 3 0
1
2
sin
2
2
d
π
＝ 3 cosd ＝sin θ 0
π
|03＝
dx
＝(x＋cos
π
x) |02
＝π2＋cos
π2－(0＋cos
0)＝π2－1.
(4)ʃ30(x－3)(x－4)dx.
解 ∵(x－3)(x－4)＝x2－7x＋12， ∴ʃ30(x－3)(x－4)dx＝ʃ30(x2－7x＋12)dx ＝13x3－72x2＋12x30 ＝13×33－72×32＋12×3－0＝227.
2
π
＝(－cos x) |02
x |2π
2
1 2
x2
x
|42
＝1＋2－π2＋(4－0)＝7－π2.
(2)求定积分ʃ20|x2－1|dx.
解 ∵|x2－1|＝1－x2，x∈[0，1， x2－1，x∈[1，2]，
又x－x33′＝1－x2，x33－x′＝x2－1， ∴ʃ20|x2－1|dx＝ʃ10|x2－1|dx＋ʃ21|x2－1|dx ＝ʃ10(1－x2)dx＋ʃ21(x2－1)dx ＝x－x3310＋x33－x21＝1－13＋83－2－13＋1＝2.